辽宁省朝阳市2021-2022学年九年级上学期期中数学试题

试卷更新日期：2021-12-07 类型：期中考试

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一、单选题

1. 在下列图形中，是中心对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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2. 关于 $x$ 一元二次方程 $(a - 1) x^{2} + x + a^{2} - 1 = 0$ 的一个根是0，则 $a$ 的值为（）

A、1或-1 B、1 C、-1 D、0

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3. 设A（ $- 2$ ， $y_{1}$ ），B（ $- 1$ ， $y_{2}$ ），C（3， $y_{3}$ ）是抛物线 $y = - x^{2} + 1$ 上的三点，则 $y_{1}$ ， $y_{2}$ ， $y_{3}$ 的大小关系为（）

A、 $y_{2} > y_{1} > y_{3}$ B、 $y_{1} > y_{3} > y_{2}$ C、 $y_{3} > y_{2} > y_{1}$ D、 $y_{3} > y_{1} > y_{2}$

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4. 方程 $x^{2} - 3 x + 2 = 0$ 的根的情况是（）

A、只有一个实数根 B、没有实数根 C、有两个相等的实数根 D、有两个不相等的实数根

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5. 二次函数 $y = 2 {(x - 1)}^{2} - 5$ 的图象的开口方向，对称轴和顶点坐标为（）

A、开口向上，对称轴为直线 $x = - 1$ ，顶点 $(- 1 ， - 5)$ B、开口向上，对称轴为直线 $x = 1$ ，顶点（1，5） C、开口向下，对称轴为直线 $x = 1$ ，顶点（1， $- 5$ ） D、开口向上，对称轴为直线 $x = 1$ ，顶点（1， $- 5$ ）

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6. 如图， $R t Δ A B C$ 中， $∠ A B C = 90 °$ ， $A B = 6$ cm， $B C = 8$ cm，动点 $P$ 从点 $A$ 出发沿 $A B$ 边以 $1$ cm /秒的速度向点 $B$ 移动，点 $Q$ 从点 $B$ 出发，沿 $B C$ 边以 $2$ cm /秒的速度向点 $C$ 移动，如果点 $P$ ， $Q$ 分别从点 $A$ ， $B$ 同时出发，在运动过程中，设点 $P$ 的运动时间为 $t$ ，则当 $Δ B P Q$ 的面积为 $8$ cm²时， $t$ 的值（）

A、2或3 B、2或4 C、1或3 D、1或4

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7. 如图，抛物线 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 与 $x$ 轴交于点 $(- 3 ， 0)$ ，其对称轴为直线 $x = - \frac{1}{2}$ ，结合图象分析下列结论：① $a b c > 0$ ；② $3 a + c > 0$ ；③当 $x < 0$ 时， $y$ 随 $x$ 的增大而增大；④一元二次方程 $c x^{2} + b x + a = 0$ 的两根分别为 $x_{1} = - \frac{1}{3}$ ， $x_{2} = \frac{1}{2}$ ；⑤若 $m ， n (m < n)$ 为方程 $a (x + 3) (x - 2) + 3 = 0$ 的两个根，则 $m < - 3$ 且 $n > 2$ ，其中正确的结论有（）个．

A、2 B、3 C、4 D、5

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8. 如图，在 $Rt △ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $∠ A = 60 °$ ， $A B = 8$ .点P是 $A B$ 边上的一个动点，过点P作 $P D ⊥ A B$ 交直角边于点D，设 $A P$ 为x， $△ A P D$ 的面积为y，则下列图象中，能表示y与x的函数关系的图象大致是（）

A、 B、 C、 D、

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9. 二次函数 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 的大致图象如图所示，关于该二次函数，下列说法错误的是（）

A、函数有最小值 B、对称轴是直线 $x = \frac{1}{2}$ C、当 $x < \frac{1}{2}$ 时，y随x的增大而减小 D、当 $- 1 < x < 2$ 时， $y > 0$

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10. 在平面直角坐标系中，一个蜘蛛最初在点 $A (p ， 0)$ （ $p$ 是常数，且 $p > 1$ ），第一次爬到射线 $O A$ 绕 $O$ 点逆时针旋转 $60 °$ 方向上的 $A_{1}$ 点，且 $O A_{1} = P O A$ ；第二次爬到射线 $O A_{1}$ 绕 $O$ 点逆时针旋转 $60 °$ 方向上的 $A_{2}$ 点，且 $O A_{2} = p O A_{1}$ ；…；第 $2021$ 次爬行到 $A_{2021}$ 点的坐标是（）

A、 $(p^{2021} ， 0)$ B、 $(\frac{1}{2} p^{2022} ， \frac{\sqrt{3}}{2} p^{2021})$ C、 $(p^{- 2021} ， 0)$ D、 $(\frac{1}{2} p^{2022} ， - \frac{\sqrt{3}}{2} p^{2022})$

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二、填空题

11. 在平面直角坐标系中，点P（﹣3，1）关于坐标原点中心对称的点P′的坐标是.

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12. 一元二次方程x²﹣x＝0的根是．

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13. 若 $(m + 1) x^{2} - x + 2 = 0$ 是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是.

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14. 将抛物线 $y = 2 {(x - 1)}^{2}$ 先向左平移1个单位后所得到的新抛物线的解析式为．

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15. 如图，已知线段 $A B$ 的长为 $a$ ，以 $A B$ 为边在 $A B$ 的下方作正方形 $A C D B$ ．取 $A B$ 边上一点 $E$ ，以 $A E$ 为边在 $A B$ 的上方作正方形 $A E N M$ ．过 $E$ 作 $E F$ 丄 $C D$ ，垂足为 $F$ 点．若正方形 $A E N M$ 与四边形 $E F D B$ 的面积相等，则 $A E$ 的长为．

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16. 退休的李老师借助自家15米的院墙和总长度为30米的围栏，在院墙外设计一个矩形花圃种植花草．为方便进出，他在如图所示的位置安装了一个1米宽的门，如果设和墙相邻的一边长为x米，花圃面积为y平方米，则y与x之间的函数关系式为．

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三、解答题

17. 解方程： $x^{2} + 2 x - 5 = 0$ ．

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18. 如图，矩形绿地的长、宽各增加 $x m$ ，写出扩充后的绿地的面积y与x的关系式．

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19. 在如图所示的网格中按要求画出图形，并回答问题：

⑴画出 $△ A B C$ 以点O为旋转中心顺时针旋转 $90 °$ 后的 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ ；

⑵画出 $△ A B C$ 关于点O的中心对称图形 $△ A_{2} B_{2} C_{2}$ ．

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20. 对于实数u、v，定义一种运算“*”为： $u * v = u v + v$ ．若关于x的方程 $x * (a * x) = - \frac{1}{4}$ 有两个相等的实数根，求满足条件的实数a的值．

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21. 已知二次函数y＝（m²﹣2）x²﹣4mx+n的图象的对称轴是直线x＝2，且最高点在直线y＝ $\frac{1}{2}$ x+1上，求这个二次函数的表达式．

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22. 某种病毒传播非常快，如果一个人被感染，经过两轮感染后就会有121个人被感染.

(1)、每轮感染中平均一个人会感染几个人？

(2)、若病毒得不到有效控制，3轮感染后，被感染的人会不会超过1300人？

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23. 某宾馆有50间相同的客房，当房间的定价为每天180元时，房间会全部住满.统计表明：当房价每上调10元时，就会有一个房间空闲，宾馆需对有客人居住的房间每天支出20元的各种费用.设该宾馆房价上调x元（x为10的正整数倍）时，相应的住房数为y间.

(1)、求y与x的函数关系式.

(2)、房价为多少时，宾馆的利润最大？最大利润是多少？

(3)、若老板决定每住进去一间房就捐出a元（0＜a≤40）给当地福利院，同时要保证房间定价在180元至360元之间波动时（包括两端点），利润随x的增大而增大，求a的取值范围.

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24. $△ A B C$ 中， $∠ B = 90 °$ ， $A B = 5 cm$ ， $B C = 6 cm$ ，点 $P$ 从点 $A$ 开始沿边 $A B$ 向终点 $B$ 以 $1 cm/s$ 的速度移动，与此同时，点 $Q$ 从点 $B$ 开始沿边 $B C$ 向终点 $C$ 以 $2 cm/s$ 的速度移动．如果 $P$ 、 $Q$ 分别从 $A$ 、 $B$ 同时出发，当点 $Q$ 运动到点 $C$ 时，两点停止运动．设运动时间为 $t$ 秒．

(1)、填空： $B Q =$ ， $P B =$ （用含 $t$ 的代数式表示）；

(2)、当 $t$ 为何值时， $P Q$ 的长度等于 $5 cm$ ？

(3)、是否存在 $t$ 的值，使得 $△ P B Q$ 的面积等于 $4 {cm}^{2}$ ？若存在，请求出此时 $t$ 的值；若不存在，请说明理由．

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25. 如图，已知二次函数 $y = x^{2} + m x + n$ 的图象经过点 $A (0 ， 3)$ ，且对称轴是直线 $x = 2$ ．该函数图象和x轴交于B，C两点（点B在点C的左侧）．

(1)、求该函数解析式；

(2)、求B，C两点的坐标；

(3)、点P是直线AC下方抛物线上的一个动点，过点P作 $P Q ⊥ A C$ ，垂足为Q，求PQ的最大值．

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