江西省吉安市2021-2022学年九年级上学期期中数学试题

试卷更新日期：2021-12-07 类型：期中考试

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一、单选题

1. 下列方程是一元二次方程的是（）

A、 $x + 2 y = 1$ B、 $2 x (x - 1) = 2 x^{2} + 3$ C、 $3 x + \frac{1}{x} = 4$ D、 $x^{2} - 2 = 0$

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2. 如图，下列四个条件中，能判定平行四边形ABCD为菱形的是（）

A、∠ADB＝90° B、OA＝OB C、OA＝OC D、AB＝BC

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3.
如图所示，随机闭合开关K₁ ， K₂ ， K₃中的两个，则能让两盏灯泡同时发光的概率为（）

A、 $\frac{1}{6}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{2}{3}$

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4. 已知线段AB的长度为2，点C是线段AB的黄金分割点，则AC的长度为（）

A、 $\frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ B、 $\frac{3 - \sqrt{5}}{2}$ C、 $\sqrt{5} - 1$ 或 $3 - \sqrt{5}$ D、 $\frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ 或 $\sqrt{5} - 2$

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5. 关于x的一元二次方程 $k x^{2} + 3 x - 1 = 0$ 有实数根，则k的取值范围是（）

A、 $k \leq \frac{9}{4}$ B、 $k \geq - \frac{9}{4}$ 且 $k \neq 0$ C、 $k \geq - \frac{9}{4}$ D、 $k > - \frac{9}{4}$ 且 $k \neq 0$

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6. 如图所示，在平面直角坐标系xOy中，将矩形OABC沿OB对折，使点A落在点 $A_{1}$ 处，若点B的坐标为 $(2 \sqrt{3} ， 2)$ ，则点 $A_{1}$ 的坐标为（）

A、 $(\sqrt{3} ， 3)$ B、 $(\sqrt{3} ， \frac{5}{2})$ C、 $(2 \sqrt{3} ， 3)$ D、 $(2 \sqrt{3} ， \frac{5}{2})$

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二、填空题

7. 若 $\frac{a}{b} = \frac{4}{3}$ ，则 $\frac{a + b}{b} =$ ．

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8. 已知 $x_{1} ， x_{2}$ 是一元二次方程 $x^{2} + x + m = 0$ 的两个根，且 $x_{1} + x_{2} = 2 + x_{1} x_{2}$ ，则 $m =$ ．

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9. 如图所示，已知D为 $△ A B C$ 边AB上一点， $A D = 3 B D$ ，DE∥BC，交AC于E， $A E = 6$ ，则 $E C =$ ．

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10. 从 $1 ， - 1 ， 0$ 三个数中任取两个不同的数作为点的坐标，则该点在坐标轴上的概率是．

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11. 如图所示，在正方形ABCD中，点P在AC上， $P E ⊥ A B$ ， $P F ⊥ B C$ ，垂足分别为E，F， $E F = 3$ ，则DP的长为．

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12. 在菱形ABCD中， $∠ B = 45 °$ ， $A B = 4$ ，点P是射线BC上一动点，（不与B，C重合），连接PA，PD，当 $△ P A D$ 是等腰三角形时，BP的长为．

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三、解答题

13.

(1)、解方程 ${(3 x - 1)}^{2} - 25 = 0$

(2)、如图所示， $△ A B C$ 中， $D G ∥ E C ， E G ∥ B C ，$ 求证： $\frac{A E}{A B} = \frac{A D}{A E}$

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14. 已知 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 是 $Δ A B C$ 的三边长，且 $\frac{a}{5} = \frac{b}{4} = \frac{c}{6} \neq 0$ .

(1)、求 $\frac{2 a + b}{3 c}$ 的值；

(2)、若 $Δ A B C$ 的周长为90，求各边的长.

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15. 如图所示，四边形ABCD是正方形， $△ E D C$ 是等边三角形，请仅用无刻度的直尺分别按下列要求做图（保留作图痕迹）．

(1)、在图1中，作CD的中点M．

(2)、在图2中，在CD边上作一点N，使 $C N = \frac{1}{4} C D$ ．

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16. 已知关于x的一元二次方程ax²＋bx＋1＝0（a≠0）有两个相等的实数根，求 $\frac{a b^{2}}{{(a - 2)}^{2} + b^{2} - 4}$ 的值．

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17. 已知，如图，点D是△ABC的边AB的中点，四边形BCED是平行四边形，

(1)、求证：四边形ADCE是平行四边形；

(2)、当△ABC满足什么条件时，平行四边形ADCE是矩形？

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18. 如图，有两部不同型号的手机(分别记为A，B)和与之匹配的2个保护盖(分别记为a，b)散乱地放在桌子上．

(1)、若从手机中随机取一部，再从保护盖中随机取一个，求恰好匹配的概率；

(2)、若从手机和保护盖中随机取两个，用画树状图法或列表法求恰好匹配的概率．

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19. 如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE=∠B．

(1)、求证：△ADF∽△DEC；

(2)、若AB=8，AD=6 $\sqrt{3}$ ，AF=4 $\sqrt{3}$ ，求AE的长．

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20. 因魔幻等与众不同的城市特质，以及抖音等新媒体的传播，重庆已成为国内外游客最喜欢的旅游目的地城市之一．著名“网红打卡地”磁器口在2018年五一长假期间，接待游客达20万人次，预计在2020年五一长假期间，接待游客将达28.8万人次．在磁器口老街，美食无数，一家特色小面店希望在五一长假期间获得好的收益，经测算知，该小面成本价为每碗6元，借鉴以往经验：若每碗卖25元，平均每天将销售300碗，若价格每降低1元，则平均每天多销售30碗．

(1)、求出2018至2020年五一长假期间游客人次的年平均增长率；

(2)、为了更好地维护重庆城市形象，店家规定每碗售价不得超过20元，则当每碗售价定为多少元时，店家才能实现每天利润6300元？

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21.
如图1，在正方形ABCD中，P是对角线BD上的一点，点E在AD的延长线上，且PA=PE，PE交CD于F．

(1)、证明：PC=PE；

(2)、求∠CPE的度数；

(3)、
如图2，把正方形ABCD改为菱形ABCD，其他条件不变，当∠ABC=120°时，连接CE，试探究线段AP与线段CE的数量关系，并说明理由．

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22. 如图，四边形ACDE是证明勾股定理时用到的图形，a，b，c是Rt△ABC和Rt△BED边长，易知AE＝ $\sqrt{2}$ c，这时我们把关于x的形如ax²+ $\sqrt{2}$ cx+b＝0的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”．

(1)、写出一个“勾系一元二次方程” ．

(2)、求证：关于x的“勾系一元二次方程”ax²+ $\sqrt{2}$ cx+b＝0必有实数根．

(3)、若x＝﹣1是“勾系一元二次方程”ax²+ $\sqrt{2}$ cx+b＝0的一个根，且△ABC的面积是25，求四边形ACDE的周长．

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23. 如图所示，点B坐标为 $(6 ， 0)$ ，点A坐标为 $(6 ， 12)$ ，动点P从点O开始沿OB以每秒1个单位长度的速度向点B移动，动点Q从点B开始沿BA以每秒2个单位长度的速度向点A移动，如果P，Q分别从O，B同时出发，用t（秒）表示移动的时间 $(0 < t \leq 6)$ ．

(1)、用含t的式子来表示 $B P =$ ． $A Q =$ ．

(2)、当t为何值时，以点P、B、Q为顶点的三角形与 $△ A O B$ 相似？

(3)、若四边形OPQA的面积为y，试写出y与t的函数关系式，并求出t取何值时，四边形OPQA的面积最小？

(4)、在y轴上是否存在点E，使点P、Q在移动过程中，以B、E、Q、P为顶点的四边形的面积是一个常数？若存在请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．

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