浙江省浙南名校联盟2021-2022学年高一上学期数学期中联考试卷

试卷更新日期：2021-12-06 类型：期中考试

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | - 2 \leq x < 0}$ ， $B = {- 2 ， - 1 ， 0 ， 1}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 ${- 2 ， - 1 ， 0 ， 1}$ B、 ${- 1 ， 0 ， 1}$ C、 ${- 2 ， - 1}$ D、 ${- 2 ， - 1 ， 0}$

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2. 函数 $f (x) = \ln (x + 2) + \frac{1}{x - 3}$ 的定义域为（）

A、 $(- 2 ， + \infty)$ B、 $[- 2 ， + \infty)$ C、 $(- 2 ， 3) \cup (3 ， + \infty)$ D、 $[- 2 ， 3) \cup (3 ， + \infty)$

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3. 设 $a = \log_{\frac{1}{2}} 3$ ， $b = {(\frac{2}{3})}^{0.3}$ ， $c = 2^{\frac{1}{3}}$ ，则a ， b ， c的大小关系是（）

A、 $b < a < c$ B、 $c < b < a$ C、 $c < a < b$ D、 $a < b < c$

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4. 已知 $p$ ： $\forall x \in [2 ， 3)$ ， $x^{2} - a \geq 0$ ，则p成立的一个充分不必要条件可以是（）

A、 $a > 4$ B、 $a < 4$ C、 $a < 9$ D、 $a > 9$

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5. 对 $a ， b \in R$ ，记 $\max {a ， b} = {\begin{array}{l} a ， a \geq b \\ b ， a < b \end{array}$ ，函数 $f (x) = \max {\sqrt{| x |} ， x^{- 2}}$ 的图象可能是（）

A、 B、 C、 D、

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6. 已知函数 $f (x) = \frac{a x^{2} + b x + 2021}{x^{2}}$ 在区间 $[2021 ， 2022]$ 上的最大值是M ，最小值是m ，则 $M - m$ （）

A、与 $a$ 无关，且与 $b$ 无关 B、与 $a$ 无关，但与 $b$ 有关 C、与 $a$ 有关，但与 $b$ 无关 D、与 $a$ 有关，且与 $b$ 有关

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7. Logistic模型是常用数学模型之一，可用于流行病学领域.有学者根据所公布的数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例 $I (t)$ （ $t$ 的单位：天）的Logistic模型： $I (t) = \frac{K}{1 + e^{12 - \frac{t}{4}}}$ ，其中 $K$ 为最大确诊病例数.当 $I (t_{0}) = 0.05 K$ 时，标志着已初步遏制疫情，则 $t_{0}$ 约为 $(\ln 19 \approx 3)$ （）

A、35 B、36 C、60 D、40

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8. 已知函数 $f (x) = | x + 1 | + | x + 2 | + \cdot \cdot \cdot + | x + 2021 | + | x - 1 | + | x - 2 | + \cdot \cdot \cdot + | x - 2021 | (x \in R)$ ，且实数 $a$ 满足 $f (a^{2} - a - 2) = f (a + 1)$ ，则实数 $a$ 的取值范围为（）

A、 $a = 3$ 或 $a = 1$ 或 $\frac{1 - \sqrt{13}}{2} \leq a \leq \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$ B、 $a = 3$ 或 $a = 1$ C、 $a = 3$ 或 $a = - 1$ D、 $a = 3$ 或 $a = 1$ 或 $a = - 1$

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二、多选题

9. 下列函数中，既是奇函数又在区间 $(0 ， + \infty)$ 上单调递增的是（）

A、 $f (x) = \frac{1}{x}$ B、 $f (x) = x^{3} + x$ C、 $f (x) = e^{x} - e^{- x}$ D、 $f (x) = \ln (| x | + 1)$

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10. 若 $- 1 < a < b < 1$ ， $2 < c < 3$ ，则下列不等式正确的是（）

A、 $a c < b c$ B、 $a b < a c$ C、 $- 2 < a - b < 0$ D、 $- 4 < (a - b) c < 0$

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11. 若定义在 $R$ 上的函数 $f (x)$ 满足 $f (x) = {\begin{array}{l} 2021 ， x 为有理数 \\ 0 ， x 为无理数 \end{array}$ ，则下列说法成立的是（）

A、存在无理数 $t_{0}$ ， $\forall x \in R$ ， $f (x + t_{0}) = f (x)$ B、对任意有理数 $t$ ，有 $f (x + t) = f (x)$ C、 $\forall x \in R$ ， $f (f (x)) = 2021$ D、 $\exists x ， y \in R$ ， $f (x + y) = f (x) + f (y)$

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12. 设集合 $M = {a_{1} ， a_{2} ， a_{3} ， \cdot \cdot \cdot ， a_{n}}$ （其中 $n \geq 2$ ，且 $n \in N$ ），如果集合 $M$ 中的元素满足 $a_{1} a_{2} a_{3} \cdot \cdot \cdot a_{n} = a_{1} + a_{2} + a_{3} + \cdot \cdot \cdot + a_{n}$ ，就称集合M为“完美集”，则下列说法正确的是（）

A、若 $M = {a_{1} ， a_{2}}$ 是“完美集”，则 $a_{1} + a_{2} > 4$ B、 $M = {a_{1} ， a_{2} ， a_{3}}$ （其中 $a_{1} ， a_{2} ， a_{3} \in Z$ ），则存在无穷多个 $M$ 是“完美集” C、 $M = {a_{1} ， a_{2} ， a_{3}}$ （其中 $a_{1} ， a_{2} ， a_{3} \in Z^{+}$ ），若 $M$ 是“完美集”，则 $M = {1 ， 2 ， 3}$ D、不存在 $M = {a_{1} ， a_{2} ， a_{3} ， a_{4}}$ 为“完美集”，其中 $a_{1} ， a_{2} ， a_{3} ， a_{4} \in Z$ ，且 $a_{1} a_{2} a_{3} a_{4} \neq 0$

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三、填空题

13. ${(\frac{1}{9})}^{\frac{1}{2}} + {(π - 3)}^{0} + \lg 2 + \lg 5 =$ .

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14. 二次不等式 $a x^{2} + b x + 1 > 0$ 的解集为 ${x | - 1 < x < \frac{1}{3}}$ ，则 $a + b =$ .

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15. 已知 $\sqrt{a}$ ， $\sqrt{b}$ ， $\sqrt{c}$ 分别为一个直角三角形的三边长，其中斜边长为 $\sqrt{c}$ ，则 $\frac{c^{2} + 1}{a} + \frac{c^{2} + 1}{b}$ 的最小值为.

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16. 设 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的偶函数，且当 $x \geq 0$ 时， $f (x) = e^{x}$ ，若对任意的 $x \in [0 ， b + 1]$ ，不等式 $f (x + b) \geq {(f (x))}^{2}$ 恒成立，则实数 $b$ 的取值范围为.

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四、解答题

17. 已知集合 $A = {x | x^{2} + x - 6 < 0}$ ，集合 $B = {x | m - 1 < x < 3 m - 1}$ .

(1)、当 $m = 2$ 时，求 $(∁_{R} A) \cap B$ ；

(2)、若 $A \cup B = A$ ，求正实数 $m$ 的取值范围.

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18. 已知函数 $f (x) = \log_{3} (x - 1)$ .

(1)、若 $f (x_{0} + 2) + f (x_{0} - 2) = 0$ ，求 $x_{0}$ 的值；

(2)、记函数 $g (x) = f (x^{2} - x + 2) - f (x)$ ，求 $g (x)$ 的值域.

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19. 设函数 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的奇函数，且 $f (x) = \frac{x + a}{x^{2} + b x + 1}$ .

(1)、求实数 $a$ ， $b$ 的值；

(2)、当 $x \in [\sqrt{3} ， 2]$ ，不等式 $f (x) \geq m x (x^{2} - 2)$ 有解，求实数 $m$ 的取值范围.

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20. 温州某农家乐度假区，为了吸引顾客，将对农家乐内一块凸五边形区域进行开发利用，如图所示（单位：百米）.具体要求为：以CD为边，在剩余的边上取一点P ， $△ C D P$ 区域将种植各种观赏花朵､农业采摘等项目，剩下部分将开发餐饮､儿童娱乐等设施.若记 $| A P | = x$ ， $△ C D P$ 的面积为 $f (x)$ .

(1)、求 $f (x)$ 的解析式；

(2)、根据以往农家乐旅游收入和成本运营情况， $△ C D P$ 区域的创收金额（万元）跟面积成正比，比例系数为2，剩下区域的创收金额（万元）跟面积成反比，比例系数为32，求该农家乐创收金额的最大值.

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21. 设函数 $f (x) = \frac{2^{x} + m}{2^{x} - m}$ ，其中 $m < 0$ .

(1)、判断并用定义证明函数 $f (x)$ 的单调性；

(2)、若存在区间 $[a ， b]$ ，函数 $f (x)$ 在 $[a ， b]$ 上的值域恰好为 $[- \frac{1}{2^{a}} ， - \frac{1}{2^{b}}]$ ，求实数 $m$ 的取值范围.

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22. 已知函数 $f (x) = a x^{2} - 2 (a + 1) x + 3$ ， $g (x) = | x - a |$ ，其中 $a > 0$ .

(1)、当 $a = 1$ 时，有 $g (f (t)) = 2$ ，求实数 $t$ 的值；

(2)、若对任意的实数 $x_{1} ， x_{2} \in [1 ， 2]$ ，都有不等式 $| f (x_{1}) - g (x_{2}) | \leq 2$ 成立，求实数 $a$ 的取值范围.

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