浙江省温州市新力量联盟2021-2022学年高一上学期数学期中联考试卷

试卷更新日期：2021-12-06 类型：期中考试

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一、单选题

1. 设集合 $A = {x | x > 3}$ ，则（）

A、 $\emptyset \in A$ B、 $0 \in A$ C、 $2 \in A$ D、 $4 \in A$

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2. 若 $a \in R$ ，则“ $a = 1$ ”是“ $| a | = 1$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充分必要条件 D、既非充分又非必要条件

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3. 下列四组中， $f (x)$ 与 $g (x)$ 表示同一函数的是（）

A、 $f (x) = x$ ， $g (x) = \sqrt{x^{2}}$ B、 $f (x) = x$ ， $g (x) = {(\sqrt{x})}^{2}$ C、 $f (x) = x^{2}$ ， $g (x) = \frac{x^{3}}{x}$ D、 $f (x) = | x |$ ， $g (x) = {\begin{array}{l} x, (x \geq 0) \\ - x, (x < 0) \end{array}$

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4. 命题“ $\forall x \in R ， x^{2} + 1 > 0$ ”的否定是（）

A、 $\forall x \in R ， x^{2} + 1 < 0$ B、 $\forall x \in R ， x^{2} + 1 \leq 0$ C、 $\exists x_{0} \in R ， x_{0}^{2} + 1 \leq 0$ D、 $\exists x_{0} \in R ， x_{0}^{2} + 1 < 0$

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5. 已知 $a > 0$ ，将 $\frac{a^{2}}{\sqrt{a \cdot \sqrt[3]{a^{2}}}}$ 表示成分数指数幂，其结果是（）

A、 $a^{\frac{1}{3}}$ B、 $a^{\frac{1}{4}}$ C、 $a^{\frac{7}{6}}$ D、 $a^{\frac{3}{2}}$

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6. 三国时期赵爽所制的弦图由四个全等的直角三角形构成，该图可用来解释下列哪个不等式（）

A、如果 $a > b ， b > c$ ，那么 $a > c$ ； B、如果 $a > b > 0$ ，那么 $a^{2} > b^{2}$ ； C、对任意实数 $a$ 和 $b$ ，有 $a^{2} + b^{2} \geq 2 a b$ ，当且仅当 $a = b$ 时等号成立； D、如果 $a > b$ ， $c > 0$ ，那么 $a c > b c$ ．

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7. 我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”.在数学学习中和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数图象的特征，如函数 $y = 2^{| x |} - x^{2}$ 的大致图象是（）

A、 B、 C、 D、

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8. 若实数 $x$ 、 $y$ 满足 $2020^{x} - 2020^{y} < 2021^{- x} - 2021^{- y}$ ，则（）

A、 $x - y < 0$ B、 $x - y > 0$ C、 $\frac{y}{x} < 1$ D、 $\frac{y}{x} > 1$

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二、多选题

9. 已知集合 $A = {- 2 ， - 1 ， 0 ， 1} ， B = {x | (x - 1) (x + 2) \leq 0}$ ，则（）

A、 $A \cap B = {- 2 ， - 1 ， 0 ， 1}$ B、 $A \cup B = {- 2 ， - 1 ， 0 ， 1}$ C、 $A \cap B = {- 1 ， 0 ， 1}$ D、 $A \cup B = {x | - 2 \leq x \leq 1}$

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10. 对于任意实数a，b，c，d，有以下四个命题，其中正确的是（）

A、若 $a > b$ ， $c > d$ ，则 $a c > b d$ B、若 $a c^{2} > b c^{2}$ ，则 $a > b$ C、若 $a > b$ ，则 $\frac{1}{a} < \frac{1}{b}$ D、若 $a > b$ ， $c > d$ ，则 $a - d > b - c$

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11. 若一系列函数的解析式和值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，例如函数 $y = x^{2} ， x \in [1 ， 2]$ 与函数 $y = x^{2} ， x \in [- 2 ， - 1]$ 为“同族函数”.下面函数解析式中能够被用来构造“同族函数”的是（）

A、 $f (x) = \frac{1}{x^{2}}$ B、 $f (x) = \frac{1}{x}$ C、 $f (x) = x + \frac{1}{x}$ D、 $f (x) = 2^{x} + 2^{- x}$

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12. 高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设 $x \in R$ ，用 $[x]$ 表示不超过 $x$ 的最大整数，则 $y = [x]$ 称为高斯函数，例如： $[- 3.5] = - 4$ ， $[2.1] = 2$ ．已知函数 $f (x) = \frac{e^{x}}{1 + e^{x}} - \frac{1}{2}$ ，则关于函数 $g (x) = [f (x)]$ 的叙述中正确的是（）

A、 $g (x)$ 是偶函数 B、 $f (x)$ 是奇函数 C、 $f (x)$ 在 $R$ 上是增函数 D、 $g (x)$ 的值域是 ${- 1 ， 0 ， 1}$

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三、填空题

13. 函数 $f (x) = \sqrt{x + 1} + \frac{2}{x - 1}$ 的定义域是.

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14. 已知幂函数 $y = f (x)$ 图像过点 $(2 ， \sqrt{2})$ ，则该幂函数的解析式是

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15. 在创全国文明城区的活动中，督查组对城区的评选设计了 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， $x_{3}$ ， $x_{4}$ 四项多元评价指标，并通过经验公式 $S = \frac{x_{1}}{x_{2}} + \frac{x_{3}}{x_{4}}$ 来计算各城区的综合得分， $S$ 的值越高则评价效果越好.若某城区在自查过程中各项指标显示为 $0 < x_{3} < x_{4} < x_{2} < x_{1}$ ，则下阶段要把其中一个指标的值增加 $1$ 个单位，而使得 $S$ 的值增加最多，那么该指标应为.(填入 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， $x_{3}$ ， $x_{4}$ 中的一个)

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16. 若实数 $x ， y \geq 0$ 满足 $x + 3 y - x y = 1$ ，求 $3 x + 4 y$ 的最小值为.

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四、解答题

17.

(1)、求值： $8^{0.25} \times \sqrt[4]{2} + {(\frac{1}{16})}^{- \frac{1}{2}}$ ；

(2)、已知 $5^{m} = 2$ ， $5^{n} = 3$ ，求 $5^{4 m - 3 n}$ 的值.

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18. 已知集合 $A = {x | - 1 \leq x \leq 3} ， B = {x | m + 1 \leq x \leq 2 m + 3}$ ．

(1)、当 $m = 1$ 时，求 $∁_{R} (A \cap B)$ ；

(2)、若 $A \cup B = A$ ，求实数 $m$ 的取值范围．

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19. 已知函数 $f (x) = x^{2} - a x + b$ $(a ， b \in R)$ .

(1)、若不等式 $f (x) > 0$ 的解集为 $(- \infty ， - 1) \cup (2 ， + \infty)$ ，求实数 $a$ ， $b$ 的值.

(2)、当 $b = 0$ 时，解关于 $x$ 的不等式 $f (x) \leq 0$ .

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20. 已知函数 $f (x) = 2^{x} - a \cdot 2^{- x}$ （ $x \in R ， a$ 是实常数）是奇函数.

(1)、求实数 $a$ 的值

(2)、用定义法证明函数 $f (x)$ 的单调性，并求不等式 $f (x^{2} + 2 x) + f (x - 4) > 0$ 的解集；

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21. 由于人们响应了政府的防控号召，2020年的疫情得到了有效的控制，生产生活基本恢复常态，某赏花园区投资了30万元种植鲜花供市民游赏，据调查，花期为30天，园区从某月1号至30号开放，每天的旅游人数 $f (x)$ 与第 $x$ 天近似地满足 $f (x) = 8 + \frac{8}{x}$ （千人），且游客人均消费 $g (x)$ 近似地满足 $g (x) = 143 - | x - 22 |$ （元）， $1 \leq x \leq 30$ ， $x \in N$ .

(1)、求该园区第 $x$ 天的旅游收入 $p (x)$ （单位：千元）的函数关系式；

(2)、记（1）中 $p (x)$ 的最小值为 $m$ ，若以0.3 $m$ （千元）作为资金全部用于回收投资成本，试问该园区能否收回投资成本？

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22. 已知函数 $y = f (x) = 4^{x} - 2^{x + 1} + k$ 的定义域是 $[- 1 ， + \infty)$ ，令 $y = g (x) = f (x) + f (- x)$ ．

(1)、写出 $y = g (x)$ 的定义域，并求 $y = g (x)$ 的最小值；

(2)、若对于任意 $y = g (x)$ 的定义域中的实数 $x_{1}$ 、 $x_{2}$ 、 $x_{3}$ 、 $x_{4}$ 、 $x_{5}$ ， $k g (x_{5}) > g (x_{1}) + g (x_{2}) + g (x_{3}) + g (x_{4})$ 恒成立，求实数 $k$ 的取值范围．

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