浙江省温州十校联合体2021-2022学年高一上学期数学期中联考试卷

试卷更新日期：2021-12-06 类型：期中考试

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一、单选题

1. 已知集合 $U = R$ ，集合 $A = {x \in R | x \leq 1}$ ， $B = {x \in R | | x - 2 | \leq 1}$ ，则 $(C_{U} A) \cap B =$ （）

A、 $(1 ， 3)$ B、 $(1 ， 3]$ C、 $[1 ， 3]$ D、 $[1 ， 3)$

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2. 函数 $f (x) = \ln x + \frac{x^{2} - 1}{x - 1}$ 的定义域是（）

A、 $(0 ， + \infty)$ B、 $[0 ， + \infty)$ C、 $(0 ， 1) \cup (1 ， + \infty)$ D、 $[0 ， 1) \cup (1 ， + \infty)$

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3. 命题“ $\exists a \in R$ ，使得 $a^{2} + a < 2$ ”的否定是（）

A、 $\forall a \in R$ ，都有 $a^{2} + a \geq 2$ B、 $\exists a \in R$ ，使得 $a^{2} + a \geq 2$ C、 $\forall a \in R$ ，都有 $a^{2} + a < 2$ D、 $\forall a \in R$ ，都有 $a^{2} + a > 2$

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4. 若正实数 $x$ ， $y$ 满足 $\frac{2}{x} + \frac{1}{4 y} = 1$ ，则 $x y$ 的最小值是（）

A、4 B、 $\sqrt{2}$ C、 $2 \sqrt{2}$ D、2

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5. 已知 $x \neq 0$ ，则“ $\frac{1}{x} < 2021$ ”是“ $x > 2022$ ”的（）条件

A、必要不充分 B、充分不必要 C、充分且必要 D、既不充分也不必要

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6. 函数 $f (x) = 2^{| x - 1 |}$ 的图象大致是（）

A、 B、 C、 D、

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7. 函数 $f (x)$ 是定义在 $[- 1 ， 1]$ 上的奇函数，且 $f (x)$ 在 $[0 ， 1]$ 上单调递减，则关于 $x$ 的不等式 $f (x - 1) + f (2 x - 3) \geq 0$ 的解集是（）

A、 $(- \infty ， \frac{4}{3}]$ B、 $[1 ， \frac{4}{3}]$ C、 $[1 ， 2]$ D、 $[\frac{4}{3} ， 2]$

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8. 已知二次函数 $f (x) = a (x^{2} - x) + c (a \neq 0)$ ，存在互不相同的三个实数 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， $x_{3}$ ，使得 $f (x_{1}) - a x_{2} = f (x_{2}) - a x_{3} = f (x_{3}) - a x_{1} = 0$ ，则（）

A、 $a < c$ B、 $a > c$ C、 $a^{2} < a c$ D、 $a^{2} > a c$

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二、多选题

9. 实数 $a$ ､ $b$ 满足 $1 < a < 3$ ， $2 < b < 7$ ，则下列结论正确的有（）

A、 $3 < a + b < 10$ B、 $1 < b - a < 4$ C、 $2 < a b < 21$ D、 $2 < \frac{b}{a} < \frac{7}{3}$

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10. 下列函数中，属于奇函数并且值域为 $R$ 的有（）

A、 $f (0) + f (2) \geq 2 f (1)$ B、 $y = \ln (\sqrt{x^{2} + 1} - x)$ C、 $y = \frac{3}{x} - x$ D、 $y = 2^{- x} - 2^{x}$

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11. 狄里克雷（Dirichlet ， PeterGustavLejeune ， 1805~1859）是德国数学家，对数论､数学分析和数学物理有突出贡献，是解析数论的创始人之一.1837年他提出函数是 $x$ 与 $y$ 之间的一种对应关系的现代观点.用其名字命名的“狄里克雷函数”： $D (x) = {\begin{matrix} 1 ， & x 是有理数 \\ 0 ， & x 是无理数 \end{matrix}$ ，下列叙述中正确的是（）

A、 $D (x)$ 是偶函数 B、 $D (x + 1) = D (x)$ C、 $D (x + \sqrt{2}) = D (x)$ D、 $D (D (x)) = 1$

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12. 对于函数 $f (x) = x + \frac{a}{x}$ （ $x > 0$ ， $a$ 为常数），下列结论正确的是（）

A、当 $a < 0$ 时， $f (x)$ 为递增函数 B、当 $a = 2$ 时，函数 $f (x)$ 的最小值是2 C、当 $a > 0$ 时，关于 $x$ 的方程 $f (x) = f (x + 1)$ 有唯一解 D、当 $a = 1$ 时，函数 $f (f (x))$ 单调区间与函数 $f (x)$ 单调区间相同

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三、填空题

13. 已知集合 $A = {- 2 ， 2 - a^{2} ， a}$ ，若 $1 \in A$ ，则实数 $a =$ .

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14. 函数 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的奇函数，当 $x > 0$ 时， $f (x) = x^{2} - \frac{1}{x}$ ，则不等式 $f (x) > 0$ 的解集是.

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15. 某商品以每件3元的价格出售时，销售量为8万件.经过调查，单价每提高0.1元，销售量减少2000件，要使该商品销售总收入不少于24.48元，该商品单价的定价（元）范围是.

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16. 已知正实数 $a$ ， $b$ 满足 $a + b + \frac{2}{a} + \frac{5}{b} = 9$ ，则 $\frac{2}{a} - \frac{4}{b}$ 的最小值是.

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四、解答题

17. 求值

(1)、 $\sqrt[4]{4} \times 8^{\frac{1}{2}} + \ln \sqrt{e} - 2021^{0}$ ；

(2)、已知 $5^{x} = 3$ ， $0$ ，求 $5^{\frac{4 x - y}{2}}$ 的值.

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18. 已知 $a \in R$ ，集合 $A = {x | a + 1 \leq x \leq 2 a - 1}$ ， $B = {x | - 1 \leq x \leq 5}$ .

(1)、当 $a = 3$ 时，求 $A \cap B$ ；

(2)、若 $A \cup B = B$ ，求实数 $a$ 的取值范围.

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19. 设 $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ，函数 $f (x) = \log_{a} (2 + x) - \log_{a} (2 - x)$ 的图象过点 $(1 ， 1)$ .

(1)、求 $a$ 的值及函数 $f (x)$ 的定义域；

(2)、判断函数 $f (x)$ 的奇偶性并给出证明；

(3)、解不等式： $f (x) > 1$ .

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20. 已知函数 $f (x) = m x^{2} - 2 x + 1 (m > 0)$ ， $g (x) = x - \frac{1}{x}$

(1)、若函数 $f (x)$ 在区间 $[1 ， 2]$ 上是单调函数，求实数 $m$ 的取值范围；

(2)、对于任意实数 $x_{1} \in (2 ， 3)$ 及任意实数 $x_{2} \in [2 ， 5]$ ，不等式 $f (x_{1}) < g (x_{2})$ 恒成立，求实数 $m$ 的取值范围.

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21. 已知函数 $f (x) = m x^{2} - n x + 2$ ，不等式 $f (x) \leq 0$ 的解集为 $[1 ， 2]$ .

(1)、求实数 $m$ ， $n$ 的值；

(2)、设 $φ (x) = \frac{1}{x} \cdot f (x) (x \neq 0)$ 若不等式 $φ (2^{x}) - k \cdot 2^{x} \geq 1$ 在 $x \in [1 ， 2]$ 上恒成立，求实数 $k$ 的取值范围；

(3)、若 $f (| 2^{x} - 1 |) + λ \cdot | 2^{x} - 1 | + 1 = 0$ 恰有两个不同的实数解，求实数 $λ$ 的取值范围.

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