浙江省台州市“十校联盟”2021-2022学年高一上学期数学期中联考试卷

试卷更新日期：2021-12-06 类型：期中考试

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一、单选题

1. 已知全集 $U = {1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 ， 6}$ ， $A = {2 ， 3 ， 4 ， 5}$ ， $B = {2 ， 3 ， 6}$ ，则 $B \cup (∁_{U} A) =$ （）

A、 ${6}$ B、 ${1 ， 6}$ C、 ${2 ， 3 ， 6}$ D、 ${1 ， 2 ， 3 ， 6}$

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2. 命题“ $\forall x \in R, x^{2} - 2 x + 1 \geq 0$ ”的否定是（）

A、 $\exists x \in R, x^{2} - 2 x + 1 \leq 0$ B、 $\exists x \in R, x^{2} - 2 x + 1 \geq 0$ C、 $\exists x \in R, x^{2} - 2 x + 1 < 0$ D、 $\forall x \in R, x^{2} - 2 x + 1 < 0$

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3. 设 $x \in R$ ，则“ $| x - 1 | < 1$ ”是“ $x^{2} < 4$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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4. 下列各组函数表示同一函数的是（）

A、 $f (x) = \sqrt{x^{2}}, g (x) = {(\sqrt{x})}^{2}$ B、 $f (x) = 1, g (x) = x^{0}$ C、 $f (x) = x + 1, g (x) = \frac{x^{2} - 1}{x - 1}$ D、 $f (x) = x, g (x) = \sqrt[3]{x^{3}}$

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5. 下列函数中，既是奇函数又是增函数的为

A、 $y = x + 1$ B、 $y = - x^{2}$ C、 $y = \frac{1}{x}$ D、 $y = x | x |$

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6. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} x^{2} ， x \leq 0 ， \\ 1 - 2 x ， x > 0 ， \end{array}$ 则 $f (f (- 1)) =$ （）

A、1 B、5 C、-1 D、-5

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7. 定义在 $R$ 上的奇函数 $f (x)$ 满足 $f (1) = 0$ 且在 $(0 ， + \infty)$ 上单调递减，则不等式 $\frac{f (x)}{x} < 0$ 的解集是（）

A、 $(- 1 ， 0) \cup (1 ， + \infty)$ B、 $(- 1 ， 0) \cup (0 ， 1)$ C、 $(- \infty ， - 1) \cup (1 ， + \infty)$ D、 $(- \infty ， - 1) \cup (0 ， 1)$

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8. 高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，用他的名字命名了“高斯函数”.设 $x \in R$ ，用 $[x]$ 表示不超过 $x$ 的最大整数，则 $y = [x]$ 称为高斯函数.例如： $[- 3.5] = - 4$ ， $[2.1] = 2$ ，已知函数 $f (x) = x - [x]$ ，则下列选项中，正确的是（）

A、 $f (x)$ 的最大值为1，没有最小值 B、 $f (x)$ 的最小值为0，没有最大值 C、 $f (x)$ 没有最大值，没有最小值 D、 $f (x)$ 的最大值为1，最小值为0

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二、多选题

9. 以下四个选项表述正确的有（）

A、 $0 \in \emptyset$ B、 $\emptyset \subseteq {0}$ C、 ${a, b} \subseteq {b, a}$ D、 $\emptyset \in {0}$

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10. 设x，y为实数，满足 $1 \leq x \leq 4$ ， $0 < y \leq 2$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $1 < x + y \leq 6$ B、 $1 < x - y \leq 2$ C、 $0 < x y \leq 8$ D、 $\frac{x}{y} \geq 2$

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11. 已知 $f (x) = a x^{2} + b x + c$ ，不等式 $f (x) > 0$ 的解集是 ${x | 1 < x < 3}$ ，下列说法正确的是（）

A、 $a > 0$ B、 $a + b + c = 0$ C、关于 $x$ 的不等式 $c x^{2} + b x + a > 0$ 的解集是 ${x | \frac{1}{3} < x < 1}$ D、如果 $f (m) > 0$ ，则 $f (m + 2) < 0$

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12. 设函数 $f (x) = x | x | + b x + c$ ，给出下列四个命题正确的是（）

A、 $c = 0$ 时， $f (x)$ 是奇函数 B、 $b = 0$ ， $c > 0$ 时，方程 $f (x) = 0$ 只有一个实数根 C、方程 $f (x) = 0$ 至多有两个实数根 D、 $f (x)$ 的图像关于 $(0 ， c)$ 对称

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三、填空题

13. 已知集合 $A = {- 2 ， - 1 ， 0 ， 1}$ ，集合 $B = {y | y = | x | ， x \in A}$ ，则 $B =$ .

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14. 函数 $f (x) = \frac{1}{\sqrt{x + 3}} + \sqrt{1 - x}$ 定义域为；

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15. 设 $x > 0 ， y > 0$ ，满足 $x + y = 1$ ，若不等式 $\frac{4}{x} + \frac{1}{y} \geq m^{2} - 8 m$ 恒成立，则实数 $m$ 的范围是.

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16. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} - x^{2} - a x - 5 ， (x \leq 1) \\ \frac{a}{x} ， (x > 1) \end{array}$ 是 $R$ 上的函数，且满足对于任意的 $x_{1} \neq x_{2}$ ，都有 $(x_{1} - x_{2}) [f (x_{1}) - f (x_{2})] > 0$ 成立，则 $a$ 取值范围是.

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四、解答题

17. 已知集合 $A = {x | - 2 < x \leq 5}$ ， $B = {x | m \leq x < m + 3 ， m \in R}$ .

(1)、当 $m = 3$ 时，求 $A \cap B$ .

(2)、若 $A \cup B = A$ ，求实数m的取值范围.

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18. 已知函数 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的奇函数，且当 $x \geq 0$ 时， $f (x) = x^{2} - 2 x$ .

(1)、求函数 $f (x)$ $(x \in R)$ 的解析式；

(2)、作出函数 $f (x)$ $(x \in R)$ 的图像，并根据图像写出函数 $f (x)$ 的单调区间.

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19. 已知幂函数 $f (x) = (m^{2} + m - 5) x^{m}$ 在 $(0 ， + \infty)$ 上单调递增.

(1)、求 $f (x)$ 的解析式；

(2)、若 $f (x) > 3 x + k - 1$ 在 $[- 1 ， 1]$ 上恒成立，求实数 $k$ 的取值范围.

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20. 设函数 $f (x) = \frac{a x + b}{x^{2} + 1}$ 是定义在 $(- 1 ， 1)$ 上的奇函数，且 $f (\frac{1}{2}) = \frac{4}{5}$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的解析式；

(2)、判断 $f (x)$ 在 $(- 1 ， 1)$ 上的单调性，并用单调性定义证明.

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21. 某乡镇响应“绿水青山就是金山银山”的号召，因地制宜的将该镇打造成“生态水果特色小镇”.经调研发现：某珍稀水果树的单株产量 $W$ （单位：千克）与施用肥料 $x$ （单位：千克）满足如下关系： $W (x) = {\begin{matrix} 5 (x^{2} + 3) ， & 0 \leq x \leq 2 \\ 50- \frac{50}{x + 1} ， & 2 < x \leq 5 \end{matrix}$ ，肥料成本投入为 $10 x$ 元，其它成本投入（如培育管理､施肥等人工费） $20 x$ 元.已知这种水果的市场售价大约为15元/千克，且销路畅通供不应求.记该水果树的单株利润为 $f (x)$ （单位：元）.

(1)、求 $f (x)$ 的函数关系式；

(2)、当施用肥料为多少千克时，该水果树的单株利润最大？最大利润是多少？

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22. 已知二次函数 $f (x)$ 满足 $f (x + 1) + f (x - 1) = 2 x^{2} - 4 x$

(1)、求函数 $f (x)$ 的解析式；

(2)、若 $g (x) = f (x) - (m - 2) x$ ， $x \in [1 ， 2]$ ，求
① $g (x)$ 的最小值 $h (m)$ ，

②讨论关于 $m$ 的方程 $| h (m) + 5 | = k$ 的解的个数.

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