浙江省宁波市金兰教育合作组织2021-2022学年高一上学期数学期中联考试卷

试卷更新日期：2021-12-06 类型：期中考试

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一、单选题

1. 已知集合 $M = {x | - 1 < x < 1}$ ， $N = {x | 0 < x < 2}$ ，则 $M \cup N =$ （）

A、 ${x | - 1 < x < 2}$ B、 ${x | 0 < x < 1}$ C、 ${x | - 1 < x < 1}$ D、 ${x | 1 < x < 2}$

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2. 命题“ $\forall x \in Z$ ， $x \in Q$ ”的否定是（）

A、 $\forall x \notin Z$ ， $x \in Q$ B、 $\forall x \in Z$ ， $x \notin Q$ C、 $\exists x \in Z$ ， $x \notin Q$ D、 $\exists x \in Z$ ， $x \in Q$

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3. 已知 $a < b$ ，则一定有（）

A、 $\frac{1}{a} < \frac{1}{b}$ B、 $\frac{1}{a} > \frac{1}{b}$ C、 $a^{2} < b^{2}$ D、 $a^{3} < b^{3}$

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4. 下列函数中，既是偶函数，又在 $(0 ， + \infty)$ 是单调递减的是（）

A、 $y = - x + 1$ B、 $y = \frac{3}{| x |}$ C、 $y = \sqrt{x}$ D、 $y = x^{\frac{4}{3}}$

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5. 幂函数 $y = (m^{2} - 2 m - 2) x^{2 m - 1}$ 的图象不过原点，则（）

A、 $m = 3$ B、 $m = - 1$ C、 $m = 3$ 或 $m = - 1$ D、 $- 1 < m < 3$

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6. 函数 $f (x)$ 为偶函数，当 $x \in (0 ， + \infty)$ 时， $f (x) = 2 x^{2} - 7 x$ ，则当 $x \in (- \infty ， 0)$ 时， $f (x) =$ （）

A、 $f (x) = - 2 x^{2} + 7 x$ B、 $f (x) = - 2 x^{2} - 7 x$ C、 $f (x) = 2 x^{2} - 7 x$ D、 $f (x) = 2 x^{2} + 7 x$

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7. 函数 $f (x) = - x^{2} + 4 x$ ，则 $f [f (x)] \geq 0$ 恒成立的解集是（）

A、 $[0 ， 2]$ B、 $[0 ， 4]$ C、 $[2 ， 4]$ D、 $[- 4 ， 4]$

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8. 如图一直角墙角，两边的长度足够长，P处有一棵树与两墙的距离分别是am、4 m，其中 $0 < a < 12$ ，不考虑树的粗细，现在想用16m长的篱笆，借助墙角围成一个矩形的花圃ABCD，设此矩形花圃的最大面积为S（单位： $m^{2}$ ），若将这棵树围在花圃内，则函数 $S = f (a)$ 的图象大致是（）

A、 B、 C、 D、

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二、多选题

9. 已知集合 $A = {x | x \leq 3}$ ，集合 $B = {x | x \leq m + 1}$ ，能使 $A \subseteq B$ 成立的充分不必要条件有（）

A、 $m > 0$ B、 $m > 1$ C、 $m > 3$ D、 $m > 4$

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10. 已知定义在 $R$ 上的奇函数 $f (x)$ 为减函数，偶函数 $g (x)$ 在区间 $[0 ， + \infty)$ 上的图象与 $f (x)$ 的图象重合，则下列不等式中正确的有（）

A、 $f (2) < g (1)$ B、 $f (- 1) < g (2)$ C、 $f (1) > g (- 2)$ D、 $f (- 2) < g (- 1)$

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11. 已知 $x > 0$ ， $y > 0$ ，且 $\frac{1}{x} + \frac{4}{y} = 1$ ，若 $x + \frac{y}{4} \geq m^{2} - 3 m$ 恒成立，则实数 $m$ 的可能值是（）

A、-4 B、-1 C、0 D、4

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12. 函数 $f (x)$ 的定义域为 $D$ ，集合 $M \subseteq D$ ，若存在非零实数 $t$ ，使得任意 $x \in M$ ，都有 $x + t \in D$ ，且 $f (x + t) > f (x)$ ，则称 $f (x)$ 为 $M$ 上的 $t -$ 增长函数，则下列说法中正确的是（）

A、函数 $f (x) = x$ ，则 $f (x)$ 是区间 $[- 1 ， 0]$ 上的 $2 -$ 增长函数 B、函数 $f (x) = x^{2}$ ，则 $f (x)$ 是区间 $[- 1 ， 0]$ 上的 $2 -$ 增长函数 C、函数 $f (x) = | x |$ ，则 $f (x)$ 是区间 $[- 4 ， - 2]$ 上的 $9 -$ 增长函数 D、函数 $f (x)$ 是定义域为 $R$ 的奇函数，当 $x \geq 0$ 时， $f (x) = | x - 2 | - 2$ ，则 $f (x)$ 为 $R$ 上的 $9 -$ 增长函数

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三、填空题

13. 函数 $y = \sqrt{- x^{2} + x + 6} + \frac{1}{x - 2}$ 的定义域为．

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14. 求值： $\sqrt[3]{{(- 2)}^{3}} + {(- \frac{π}{5})}^{0} - {0.25}^{\frac{1}{2}} \times {(\frac{- 1}{\sqrt{2}})}^{4} =$ ．

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15. 函数是定义在 $R$ 的偶函数，对任意的 $x_{1} ， x_{2} \in [0 ， + \infty) (x_{1} \neq x_{2})$ ，有 $\frac{f (x_{2}) - f (x_{1})}{x_{2} - x_{1}} > 0$ ，若 $f (\frac{1}{2}) = 0$ ，则 $f (x + \frac{1}{2}) < 0$ 的解集为．

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16. 函数 $f (x) = {\begin{array}{l} | x | ， x \leq m \\ 2 x^{2} - m x - m ， x > m \end{array}$ ，若存在实数 $b$ ，使得关于 $x$ 的方程 $f (x) = b$ 有三个不同的根，则 $m$ 的取值范围是．

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四、解答题

17. 设全集 $U = R$ ，集合 $A = {x | - 1 \leq x < 4}$ ， $B = {x | 1 + 2 a \leq x \leq 5 a}$

(1)、若 $a = 1$ ，求 $A \cap B$ ， $B \cap (∁_{U} A)$ ；

(2)、若 $A \cup B = A$ ，求实数 $a$ 的取值范围．

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18. 已知函数 $f (x) = \frac{m x + n}{4 + x^{2}} (m \neq 0)$ 是定义在 $R$ 上的奇函数，且 $f (1) = \frac{2}{5}$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 的解析式；

(2)、判断函数 $f (x)$ 在区间 $(0 ， 2)$ 上的单调性，并用定义法证明．

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19. 已知正实数 $x$ ， $y$ 满足

(1)、 $2 x + 3 y = 10$ ，求 $x y$ 的最大值；

(2)、 $x > y$ 且 $x + y = 2$ ，求 $\frac{4}{x + 3 y} + \frac{1}{x - y}$ 的最小值．

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20. 现有三个条件：①对任意的 $x \in R$ 都有 $f (x + 2) - f (x) = 8 x + 6$ ；②不等式 $f (x) < 0$ 的解集为 ${x | - \frac{1}{2} < x < 1}$ ；③函数 $y = f (x)$ 的图象过点 $(2 ， 5)$ ．请你在上述三个条件中任选两个补充到下面的问题中，并求解．已知二次函数 $f (x) = a x^{2} + b x + c$ ，且满足________（填所选条件的序号）．

(1)、求函数 $f (x)$ 的解析式；

(2)、设 $g (x) = f (x) - (m - 1) x + 1$ ，若函数 $g (x)$ 在区间 $[1 ， 2]$ 上的最小值为 $- 2$ ，求实数 $m$ 的值．

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21. 某污水处理厂在国家环保部门的支持下，引进新设备，新上了一个从生活垃圾中提炼化工原料的项目.经测算，该项目月处理成本 $y$ （元）与月处理量 $x$ （吨）之间的函数关系可以近似地表示为 $y = {\begin{array}{l} \frac{1}{3} x^{3} - 80 x^{2} + 5040 x ， x \in [120 ， 144) \\ \frac{1}{2} x^{2} - 200 x + 80000 ， x \in [144 ， 500) \end{array}$ ，且每处理一吨生活垃圾，可得到能利用的化工原料的价值为200元，若该项目不获利，政府将给予补贴.

(1)、当 $x \in [200 ， 300]$ 时，判断该项目能否获利，如果获利，求出最大利润；如果不获利，则政府每月至少需要补贴多少元才能使该项目不亏损?

(2)、该项目每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低?

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22. 设常数 $a \in R$ ，函数 $f (x) = x | 2 x - a |$

(1)、若 $a = 4$ ，求 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、若 $f (x)$ 为奇函数，且关于 $x$ 的不等式 $m x + f (x) \geq 1$ 在 $x \in [1 ， 2]$ 内有解，求实数 $m$ 的取值范围；

(3)、当 $a > 0$ 时， $g (x) = \frac{x^{2} - a}{x}$ ，若任意 $t \in [3 ， 4]$ ，存在 $x_{i} \in [3 ， 4] (i = 1 ， 2)$ ，且 $x_{1} \neq x_{2}$ ，使 $f (x_{i}) = g (t)$ ，求实数 $a$ 的取值范围．

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