浙江省绿谷高中联盟2021-2022学年高一上学期数学期中联考试卷

试卷更新日期：2021-12-06 类型：期中考试

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一、单选题

1. 已知全集 $U = {- 1 ， 0 ， 1 ， 2 ， 3}$ ，集合 $A = {0 ， 1 ， 2}$ ， $B = {- 1 ， 0 ， 1}$ ，则 $(∁_{U} A) \cap B =$

A、 ${- 1}$ B、 ${0 ， 1}$ C、 ${- 1 ， 2 ， 3}$ D、 ${- 1 ， 0 ， 1 ， 3}$

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2. 命题 $“ \exists x \in R ， x^{2} - 3 x - 4 \leq 0 ”$ 的否定是（）

A、 $\exists x \in R ， x^{2} - 3 x - 4 \geq 0$ B、 $\exists x \in R ， x^{2} - 3 x - 4 > 0$ C、 $\forall x \in R ， x^{2} - 3 x - 4 > 0$ D、 $\forall x \in R ， x^{2} - 3 x - 4 \leq 0$

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3. 已知 $a ， b \in R$ ，则“ $a b > 0$ ”是“ $a > 0$ 且 $b > 0$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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4. 下列各组函数表示同一函数的是（）

A、 $f (x) = \frac{x^{2} - 1}{x + 1} ， g (x) = x - 1$ B、 $f (x) = x^{2} - 2 x - 1 ， g (t) = t^{2} - 2 t - 1$ C、 $f (x) = \sqrt{x^{2}} ， g (x) = {(\sqrt{x})}^{2}$ D、 $f (x) = \sqrt{x + 1} \cdot \sqrt{x - 1} ， g (x) = \sqrt{x^{2} - 1}$

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5. 给出下列4个等式：① $\sqrt[4]{{(- 4)}^{2}} = \pm 2$ ；② $\sqrt[3]{2 x^{2}} = {(16 x^{8})}^{\frac{1}{12}}$ ；③ ${log}_{2} 8 = 4$ ；④ $4^{{log}_{4} 2} = 2$ .其中一定正确的有（）

A、0个 B、1个 C、2个 D、3个

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6. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} x - 1 ， x \leq 0 \\ x^{2} ， x > 0 \end{array}$ ，则满足 $f (x + 1) < 4$ 的实数 $x$ 的取值范围为（）

A、 $(- 1 ， 0)$ B、 $(- \infty ， 4)$ C、 $(- \infty ， 0) \cup (0 ， 1)$ D、 $(- \infty ， 1)$

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7. 已知定义域为 $R$ 的奇函数 $f (x)$ 在区间 $(- \infty ， 0)$ 上单调递减，且 $f (1) = 0$ ，则不等式 $\frac{f (x) - f (- x)}{x - 1} > 0$ 的解集为（）

A、 $(- 1 ， 0)$ B、 $(- 1 ， 0) \cup (0 ， 1)$ C、 $(- \infty ， - 1) \cup (0 ， 1)$ D、 $(- \infty ， 0) \cup (1 ， + \infty)$

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8. 已知函数 $f (x)$ 是定义在 $(- \infty ， 0) \cup (0 ， + \infty)$ 上的偶函数，且当 $x > 0$ 时， $f (x) = {\begin{array}{l} {(x - 2)}^{2} ， 0 < x \leq 4 \\ \frac{1}{2} f (x - 4) ， x > 4 \end{array}$ ，则方程 $f (x) = 1$ 解的个数为（）

A、4 B、6 C、8 D、10

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二、多选题

9. 已知函数 $y = a^{x}$ ， $y = b^{x} (a ， b > 0$ 且 $a \neq 1 ， b \neq 1)$ 的图象如图所示，则下列结论正确的是（）

A、 $a > b > 1$ B、 $0 < a < b < 1$ C、 $2^{a} < 2^{b}$ D、 $b > a > 1$

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10. 若函数 $f (x) = {\begin{array}{l} - x^{2} - 2 x ， x \leq a \\ - x ， x > a \end{array}$ 存在最大值，则实数 $a$ 可能的值是（）

A、-3 B、-2 C、2 D、3

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11. 下列说法正确的有（）

A、对 $\forall x \in R ，$ $x + \frac{1}{x + 1}$ 的最小值为1； B、若正实数 $x ， y$ 满足 $2 x + y = 1$ ，则 $\sqrt{2 x} + \sqrt{y}$ 的最大值为 $\sqrt{2}$ ； C、已知 $x > - 1 ， y > 0$ ，且 $x + y = 2$ ，则 $\frac{1}{x + 1} + \frac{4}{y}$ 的最小值为3； D、已知 $a > 0 ， b > 0$ ，且 $2 a + b = a b - 1$ ，则 $a + 2 b$ 的最大最为 $5 + 2 \sqrt{6}$ .

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12. 已知 $a ， b \in R$ ，且 $a + b \leq - 1$ ，关于 $x$ 的不等式 $x^{2} + a x + b - 1 \leq 0$ 在 $x \in [- 2 ， 1]$ 上恒成立，则下列结论正确的有（）

A、 $a + 2 b \leq - \frac{8}{3}$ B、 $b \leq - \frac{5}{3}$ C、 $2 a - b \leq 2$ D、 $2 a - b \geq 3$

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三、填空题

13. 已知幂函数 $y = f (x)$ 的图象经过点（2，4），则 $f (5) =$ .

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14. 若不等式 $a x^{2} + b x + 4 > 0$ 的解集为 ${x | - 2 < x < 1}$ ，则 $a + b =$ .

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15. 函数 $f (x) = \frac{2 x}{x + 1} ， x \in [2 ， 3]$ 的值域是.

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16. 已知不等式 $| x - 1 | + | x - 2 | \geq a$ 恒成立，则实数 $a$ 的取值范围是.

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17. 已知函数 $f (x)$ 具有如下性质：①值域为 $[0 ， + \infty)$ ；②单调递增区间为 $[1 ， + \infty)$ ，③ $f (x + 1)$ 为偶函数.试写出一个符合要求的函数解析式 $f (x) =$ .

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18. 设全集 $U = {2 ， 3 ， 5 ， 6 ， 9}$ ，对其子集引进“势”的概念：①空集的“势”最小；②非空子集的元素越多，其“势”越大；③若两个子集的元素个数相同，则子集中最大的元素越大，子集的“势”就越大，最大的元素相同，则第二大的元素越大，子集的“势”就越大，依次类推.若将全部的子集按“势”从小到大的顺序排列，则排在第23位的子集是.

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四、解答题

19. 已知全集为实数集 $R$ ，集合 $A = {x | x^{2} \leq 7 x - 6}$ ，非空集合 $B = {x | 3 - 2 a \leq x \leq 1 + a}$ .

(1)、当 $a = 2$ 时，求 $A \cap B$ ， $(∁_{R} A) \cup (∁_{R} B)$ ；

(2)、若 $A \cap B = A$ ，求实数 $a$ 的取值范围.

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20. 已知函数 $f (x) = \frac{x}{x^{2} + a x + 1}$ 是定义在 $[- 1 ， 1]$ 上的奇函数.

(1)、求函数 $f (x)$ 的解析式；

(2)、判断函数 $f (x)$ 的单调性并证明；

(3)、解不等式 $f (2 t - 1) + f (t) < 0$ .

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21. 2022年浙江省第十七届运动会将在金华举行.主办方在建造运动会主体育场时需建造隔热层，并要求隔热层的使用年限为15年.已知每厘米厚的隔热层建造成本是4万元，设每年的能源消耗费用为 $C$ （万元），隔热层厚度为 $x$ （厘米），两者满足关系式： $C (x) = \frac{k}{2 x + 5}$ （ $k$ 为常数， $0 \leq x \leq 10$ ）.若无隔热层，则每年的能源消耗费用为6万元.15年的总维修费用为10万元.记 $f (x)$ 为15年的总费用.（总费用=隔热层的建造成本费用 $+$ 使用15年的能源消耗费用 $+ 15$ 年的总维修费用）.

(1)、求 $f (x)$ 的表达式；

(2)、当隔热层的厚度为多少厘米时， $15$ 年的总费用 $f (x)$ 最小？并求 $f (x)$ 的最小值.

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22. 已知函数 $f (x) = 2^{x} + k \cdot 2^{- x}$ .

(1)、若 $f (x)$ 在 $(1 ， + \infty)$ 是增函数，求实数 $k$ 的取值范围；

(2)、若 $f (x) + 1 < k \cdot 2^{x}$ 在 $[2 ， + \infty)$ 上恒成立，求实数 $k$ 的取值范围.

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23. 已知函数 $f (x)$ 的定义域为 $D$ ，若存在 $x_{0} \in D$ ，使得 $f (x_{0}) = x_{0}$ 成立，则称 $x_{0}$ 为 $f (x)$ 的一个“不动点”.已知函数 $f (x) = a x^{2} + b x + b - 2 (a \neq 0)$ .

(1)、当 $a = 1 ， b = - 1$ 时，求函数 $f (x)$ 的不动点；

(2)、若对任意的实数 $b$ ，函数 $f (x)$ 恒有两个不动点，求实数 $a$ 的取值范围；

(3)、在（2）的条件下，若 $y = f (x)$ 图象上两点 $A$ ､ $B$ 的横坐标是函数 $f (x)$ 的不动点，且 $A B$ 的中点 $C$ 在函数 $g (x) = - x + \frac{2 a^{2} - 4 a + 3}{a - a^{2}}$ 的图象上，求实数 $b$ 的最大值.（参考公式： $A (x_{1} ， y_{1})$ ， $B (x_{2} ， y_{2})$ 两点的中点坐标为 $(\frac{x_{1} + x_{2}}{2} ， \frac{y_{1} + y_{2}}{2})$ .）

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