浙江省杭州地区（含周边）重点中学2021-2022学年高一上学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2021-12-06 类型：期中考试

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {0 ， 1 ， 2，3}$ ， $B = {1 ， 3 ， 5 ， 7}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 ${0 ， 2}$ B、 ${1，3}$ C、 ${5，7}$ D、 ${0，1，2，3，5，7}$

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2. 命题“ $\forall x \in Q ， x^{3} + x + 1 \neq 0$ ”的否定是（）

A、 $\forall x \in Q ， x^{3} + x + 1 = 0$ B、 $\forall x \in Q ， x^{3} + x + 1 \neq 0$ C、 $\exists x \in Q ， x^{3} + x + 1 = 0$ D、 $\exists x \in Q ， x^{3} + x + 1 \neq 0$

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3. 已知 $a = 2^{1.2}$ ， $b = 2^{-}^{0.8}$ ， $c = {(\frac{3}{2})}^{1.2}$ ，则 $a ， b ， c$ 的大小关系是（）

A、 $c < b < a$ B、 $c < a < b$ C、 $b < a < c$ D、 $b < c < a$

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4. 设 $a \in R$ ，则“ $a > 10$ ”是“ $\frac{1}{a} < \frac{1}{10}$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既非充分又非必要条件

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5. 网上购物常常看到下面这样一张表，第一行可以理解为脚的长度，第二行是我们习惯称呼的“鞋号”．为了穿得舒适，鞋子不能挤脚，也不能过长．

SIZE 尺码对照表

中国鞋码实际标注

(同国际码) mm

220

225

230

235

240

245

250

255

260

265

中国鞋码习惯叫法

(同欧码)

一个篮球运动员的脚长为282 mm，则从表格数据可以推算出，他最适合穿的鞋号是（）

A、45 B、46 C、47 D、48

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6. 在平面直角坐标系中同时作出函数 $y = x + a$ 和 $y = a^{x} (a > 0 ， a \neq 1)$ 的图象，可能是（）

A、 B、 C、 D、

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7. 下列函数中，在 $[0 ， + \infty)$ 上单调递增且满足“ $\forall x ， y \in [0 ， + \infty) ， f (\frac{x + y}{2}) \geq \frac{f (x) + f (y)}{2}$ ”的是（）

A、 $f (x) = x^{2}$ B、 $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ C、 $f (x) = 2^{x}$ D、 $f (x) = {(\frac{1}{2})}^{x}$

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8. 若定义在 $R$ 上的函数 $f (x)$ 满足 $\forall x \in R ， f (x) + f (2 - x) = 0$ ，函数 $f (x)$ 在 $(- \infty ， 1)$ 上单调递减且 $f (5) = 0$ ，则满足 $x f (x - 2) \geq 0$ 的实数 $x$ 的取值范围是（）

A、 $[- 1 ， 3] \cup [7 ， + \infty)$ B、 $[- 7 ， - 1] \cup [0 ， 3]$ C、 $[- 1 ， 0] \cup [3 ， + \infty)$ D、 $[- 1 ， 0] \cup [3 ， 7]$

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二、多选题

9. 已知 $a ， b ， c ， d \in R$ ，下列命题中正确的是（）

A、若 $a^{2} > b^{2}$ ，则 $a > | b |$ B、若 $a > b ， c < d$ ，则 $a - c > b - d$ C、若 $b < a < 0 ， c < 0$ ，则 $\frac{c}{a} < \frac{c}{b}$ D、若 $a c^{2} > b c^{2}$ ，则 $a > b$

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10. 下列各组函数中，相同的函数有（）

A、函数 $y = 4^{x}$ 与函数 $y = {(2^{x})}^{2}$ B、函数 $y = \sqrt[4]{{(x + 1)}^{4}}$ 与函数 $y = x + 1$ C、函数 $s = 4 t ， t \in [0 ， + \infty)$ 与函数 $y = 4 x ， x \in [0 ， + \infty)$ D、函数 $y = x^{2} ， x \in {0 ， 2}$ 与函数 $y = 2 x ， x \in {0 ， 2}$

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11. 已知函数 $f (x) = | a x + \frac{b}{x} | (a ， b \in R)$ ，下列判断正确的是（）

A、 $f (x)$ 是偶函数 B、当 $a = 1$ 时， $f (x)$ 在 $(\sqrt{| b |} ， + \infty)$ 上单调递增 C、当 $a b > 0$ 时， $f (x)$ 的值域是 $[2 \sqrt{a b} ， + \infty)$ D、关于 $x$ 的方程 $f (x) = 1$ 的不同实根个数可以是 $0 ， 2 ， 3 ， 4$ 个

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12. 设正整数 $n = a_{0} \cdot 3^{0} + a_{1} \cdot 3^{1} + \dots + a_{k - 1} \cdot 3^{k - 1} + a_{k} \cdot 3^{k}$ ，其中对于任意 $0 \leq i \leq k$ ， $a_{i} \in {0 ， 1 ， 2}$ ．函数 $f ： N_{+} \to N$ 满足 $f (n) = a_{0} + a_{1} + \dots + a_{k}$ ．则（）

A、 $f (3 n) = f (n)$ B、 $f (3 n + 4) = f (9 n + 10)$ C、 $f (3 n + 5) = f (n) + 2$ D、 $f (9^{n} + 5) = 4$

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三、填空题

13. 若幂函数 $f (x) = (n^{2} + n - 1) x^{n^{2} - 2 n} (n \in Z)$ 是偶函数，则 $n =$ ．

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14. 已知正实数 $a ， b$ 满足 $a b = 2 a + b + 6$ ，则 $2 a + b$ 的最小值是．

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15. 以下是面点师制作兰州拉面的一个数学模型：如图所示，在数轴上截取与闭区间 $[0 ， 4]$ 对应的线段，该线段长度为4个单位．将该线段对折后（坐标4对应的点与原点重合），线段数目翻倍，再将每根线段都均匀地拉成长度为4个单位的线段，这一过程称为一次操作（例如在第一次操作完成后，原来的坐标1和3对应的点被拉到坐标2，原来的坐标2对应的点被拉到坐标4，等等）．接下来的每次操作都在上一次操作的基础上进行同样的流程．在第 $n$ 次操作完成后 $(n \geq 1)$ ，原闭区间 $[0 ， 4]$ 上恰好被拉到坐标4的点有若干个，这若干个点在第一次操作之前所对应的坐标形成一个集合，记为 $L_{n}$ ，例如 $L_{1} = {2}$ ．则集合 $L_{3}$ 可以用列举法表示为．

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16. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} \begin{array}{l} - x^{2} + 1 ， x \leq 0 \\ 2^{x} ， x > 0 \end{array} \end{array}$ ，若对任意 $x \in [- 1 ， 1]$ ，均有 $f (x^{2} + t x) \leq {(f (x + 1))}^{2}$ ，则实数 $t$ 的取值范围是．

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四、解答题

17. 已知函数 $y = \frac{1}{\sqrt{- x^{2} + 5 x + 6}}$ 的定义域为集合 $A$ ，集合 $B = {x \in R | 2 m - 1 \leq x \leq 2 - m} .$

(1)、若 $m = - 1$ ，求 $A \cap (∁_{R} B)$ ；

(2)、在① $A \cup B = A$ ② $A \cap B = \emptyset$ 这两个条件中选择一个作为已知条件，补充到下面的问题中，并求解．
问题：若 ▲ ，求实数 $m$ 的取值范围．

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．

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18. 已知函数 $f (x) = {(\frac{1}{3})}^{10 - a x}$ ，其中 $a$ 是不为零的常数．

(1)、若 $f (3) = \frac{1}{3}$ ，求使得 $f (x) \geq 9$ 的实数 $x$ 的取值范围；

(2)、若 $f (x)$ 在区间 $[- 1 ， 2]$ 上的最大值为 $81$ ，求实数 $a$ 的值．

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19. 已知 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的奇函数，且当 $x > 0$ 时， $f (x) = \frac{3 - x}{x + 1}$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 在 $R$ 上的解析式；

(2)、利用函数单调性的定义证明：函数 $f (x)$ 在 $(- \infty ， 0)$ 上单调递减．

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20. 已知函数 $f (x) = (x - a) (x + 1)$ ，其中 $a \in R$ ．

(1)、若关于 $x$ 的不等式 $f (x) < 5$ 的解集为 $(- 2 ， 4)$ ，求实数 $a$ 的值；

(2)、若存在 $x \in [1 ， 3]$ ，使得 $f (x) \geq x - a - 4$ ，求实数 $a$ 的取值范围．

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21. 用水清洗一堆蔬菜上残留的农药，用水越多洗掉的农药也越多，但总还有农药残留在蔬菜上．设用 $x$ 单位量的水清洗一次后，蔬菜上残留的农药量与本次清洗之前残留的农药量之比为函数 $f (x)$ ．

(1)、试规定 $f (0)$ 的值，并解释其实际意义；

(2)、根据题意，写出函数 $f (x)$ 的两个性质；

(3)、若 $f (x) = \frac{f (0)}{1 + 2 x^{2}}$ ．现有 $a (a > 0)$ 单位量的水，可以清洗一次，也可以把水平均分成 $2$ 份后清洗两次，试问用哪种方案清洗后蔬菜上残留的农药比较少？说明理由．

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22. 设集合 $M = {x \in R | f (x) = x}$ ， $N = {x \in R | f (f (x)) = x}$ ．

(1)、若 $f (x) = x^{2} - 1$ ，求集合 $M$ 和 $N$ （用列举法表示）；

(2)、求证： $M \subseteq N$ ；

(3)、若 $f (x) = x^{2} - 2 x + c$ ，且 $M = N$ ，求实数 $c$ 的取值范围．

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