浙江省S9联盟2021-2022学年高一上学期数学期中联考试卷

试卷更新日期：2021-12-06 类型：期中考试

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一、单选题

1. 若 $x \in {1 ， 2 ， x^{2}}$ ，则 $x$ 的可能值为（）

A、0，2 B、0，1 C、1，2 D、0，1，2

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2. 函数 $y = \frac{| x |}{x} + \sqrt{1 - x}$ 的定义域是（）

A、 $(- \infty ， 1]$ B、 $(- \infty ， 0) \cup (0 ， 1)$ C、 $(0 ， 1)$ D、 $(- \infty ， 0) \cup (0 ， 1]$

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3. 已知命题 $p$ ： $\exists x_{0} \in (1 ， 3)$ ， $x_{0}^{2} - 4 x_{0} + 3 < 0$ ，则命题 $p$ 的否定是（）

A、 $\exists x_{0} \in (1 ， 3)$ ， $x_{0}^{2} - 4 x_{0} + 3 \geq 0$ B、 $\exists x_{0} \notin (1 ， 3)$ ， $x_{0}^{2} - 4 x_{0} + 3 < 0$ C、 $\forall x \in (1 ， 3)$ ， $x^{2} - 4 x + 3 \geq 0$ D、 $\forall x \notin (1 ， 3)$ ， $x^{2} - 4 x + 3 < 0$

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4. 设 $a ， b ， c \in R$ ，且 $a > b$ ，则下列不等式一定成立的是（）

A、 $a^{2} > b^{2}$ B、 $a c > b c$ C、 $\frac{2}{a} < \frac{2}{b}$ D、 $a - c > b - c$

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5. 设 $a \in R$ ，则“ $a < 2$ ”是“ $\frac{a - 2}{a^{2} + 4} < 0$ ”成立的（）

A、充要条件 B、充分不必要条件 C、必要不充分条件 D、既不充分也不必要条件

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6. 设 $a > 0$ ，则 $a + \frac{3 a + 4}{a}$ 的最小值为（）

A、 $2 \sqrt{3 a + 4}$ B、7 C、4 D、5

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7. 已知定义在 $[m - 5 ， 3 - 2 m]$ 上的奇函数 $f (x)$ ，当 $x > 0$ 时， $f (x) = x^{2} + 2 x$ ，则 $f (m)$ 的值为（）

A、8 B、0 C、-8 D、4

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8. 已知 $f (x) = {\begin{matrix} x^{2} - 2 a x + a^{2} ， x \leq 0 \\ x + \frac{1}{x} - a ， x > 0 \end{matrix}$ ，若 $f (0)$ 是 $f (x)$ 的最小值，则实数 $a$ 的取值范围为（）

A、 $[- 2 ， 0]$ B、 $[0 ， 1]$ C、 $[- 2 ， 1]$ D、 $[1 ， 2]$

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二、多选题

9. 下列命题中为假命题的是（）

A、 $\forall x_{0} \in Z$ ， $x_{0}^{2} \geq 1$ B、 $\exists x_{0} \in Q$ ， $x_{0}^{2} = 3$ C、 $\forall x_{0} \in R$ ， $x_{0}^{2} - 2 x_{0} - 3 > 0$ D、 $\exists x_{0} \in N$ ， $| x_{0} | \leq 0$

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10. 下列命题正确的是（）

A、若 $a \neq 0$ ，则 $a^{2} +$ $\frac{1}{a^{2}} > 2$ B、若 $a < 0$ ，则 $a + \frac{4}{a} \geq - 4$ C、若 $a > 0$ ， $b > 0$ ，则 $a + b \geq 2 \sqrt{a b}$ D、若 $a < 0$ ， $b < 0$ ，则 $\frac{a}{b} + \frac{b}{a} \geq 2$

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11. 已知函数 $f (x) = {\begin{matrix} x^{2} ， x \geq 0 \\ - x^{2} ， x < 0 \end{matrix}$ ，则下列结论中正确的是（）

A、 $f (\sqrt{2}) = 2$ B、若 $f (m) = 9$ ，则 $m = \pm 3$ C、 $f (x)$ 是奇函数 D、 $f (x)$ 在 $R$ 上是单调递增函数

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12. 已知关于 $x$ 的不等式 $a x^{2} + b x + c \geq 0$ 的解集为 ${x | - 3 \leq x \leq 4}$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $a > 0$ B、不等式 $b x + c > 0$ 的解集为 ${x | x > - 12}$ C、不等式 $c x^{2} - b x + a < 0$ 的解集为 ${x | x < - \frac{1}{4}$ 或 $x > \frac{1}{3}}$ D、 $4 a + 2 b + c > 0$

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三、填空题

13. 已知幂函数 $y = f (x)$ 的图象过点 $(2 ， \sqrt{2})$ ，则 $f (25) =$ .

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14. 已知全集 $U = R$ ，集合 $A = {x | x > 1}$ ， $B = {x | x > 2$ 或 $x < - 3}$ ，则 $A \cap (∁_{U} B) =$ .

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15. 若函数 $f (x) = {\begin{matrix} x^{2} ， x \geq 2 \\ f (x + 1) + 1 ， x < 2 \end{matrix}$ ，则 $f (0) =$ .

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16. 函数 $g (x) = a x + 2 (a > 0)$ ， $f (x) = x^{2} + 2 x$ ，对 $\forall x_{1} \in [- 3 ， 0]$ ， $\exists x_{0} \in [- 3 ， 0]$ 使 $g (x_{1}) = f (x_{0})$ 成立，则实数 $a$ 的取值范围是.

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四、解答题

17. 求下列不等式的解集.

(1)、 $6 - 2 x^{2} - x < 0$

(2)、 $\frac{x - 2}{x + 4} \leq 0$

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18. 集合 $A = {x | x^{2} - 2 x - 8 \leq 0}$ ，集合 $B = {x | m - 2 \leq x \leq 2 m - 1}$ .

(1)、当 $m = 5$ 时，求 $A \cup B$ ；

(2)、若 $A \cap B = B$ ，求实数 $m$ 的取值范围.

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19. 已知不等式 $x^{2} - 3 x + 1 + a \geq 0$ .

(1)、若该不等式对于任意实数 $x$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围；

(2)、若存在实数 $x \in [1 ， 4]$ 使得该不等式成立，求实数 $a$ 的取值范围.

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20. 近年来，中美贸易摩擦不断.特别是美国对我国华为的限制.尽管美国对华为极力封锁，百般刁难，并不断加大对各国的施压，拉拢他们抵制华为5G ，然而这并没有让华为却步.华为在2019年不仅净利润创下记录，海外增长同样强劲.今年，我国的华为为了进一步增加市场竞争力，计划在2021年利用新技术生产某款新手机.通过市场分析，生产此款手机全年需投入固定成本250万，每生产 $x$ （千部）手机，需另投入成本 $R (x)$ 万元，且 $R (x) = {\begin{matrix} 10 x^{2} + 100 x ， 0 < x < 30 \\ 601 x + \frac{10000}{x} - 7250 ， x \geq 30 \end{matrix}$ ，由市场调研知，每部手机售价0.6万元，且全年内生产的手机当年能全部销售完.

(1)、求出2021年的利润 $W (x)$ （万元）关于年产量 $x$ （千部）的函数关系式；（利润=销售额－成本）

(2)、2021年产量为多少（千部）时，企业所获利润最大？最大利润是多少？

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21. 已知函数 $f (x) = \frac{x - a}{1 + x^{2}}$ 是定义在 $(- 1 ， 1)$ 上的奇函数.

(1)、求函数 $f (x)$ 的解析式；

(2)、用定义证明函数 $f (x)$ 在 $(- 1 ， 1)$ 上是增函数；

(3)、若 $\forall x \in (0 ， 1)$ 使得不等式 $\frac{1}{f (x)} + \frac{k}{f (2 x)} > 0$ 恒成立，求实数 $k$ 的取值范围.

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