山东省潍坊市2021-2022学年八年级上学期期中数学试题

试卷更新日期：2021-12-06 类型：期中考试

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一、单选题

1. 下列交通标志图案是轴对称图形的是

A、 B、 C、 D、

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2. 当 $x = 1$ 时，下列分式没有意义的是（）

A、 $\frac{x + 1}{x}$ B、 $\frac{x}{x - 1}$ C、 $\frac{x - 1}{x}$ D、 $\frac{x}{x + 1}$

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3. 如图，AC=BD ， AO=BO ， CO=DO ， ∠D=30°，∠A=95°，则∠AOC等于（）

A、 $60 °$ B、 $55 °$ C、 $50 °$ D、 $45 °$

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4. 如图，在△ABC中，AB的垂直平分线交AB于点D ，交BC于点E ，连接AE ．若BC＝5，AC＝4，则△ACE的周长为（　　）

A、9 B、10 C、13 D、14

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5. 下列计算正确的是（）

A、 $a^{2} + 2 a^{2} = 3 a^{4}$ B、 $x^{3} \div x^{3} = 1$ C、 $a \div b \cdot \frac{1}{b} = a$ D、 ${(- \frac{3}{2 a})}^{3} = - \frac{9}{8 a^{3}}$

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6. 如图，将矩形纸片 $A B C D$ 沿 $B E$ 折叠，使点 $A$ 落在对角线 $B D$ 上的 $A^{'}$ 处．若 $∠ D B C = 26 °$ ，则 $∠ A E B$ 等于（）

A、 $26 °$ B、 $32 °$ C、 $58 °$ D、 $64 °$

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7. 如图，测河两岸A ， B两点的距离时，先在AB的垂线BF上取C ， D两点，使CD＝BC ，再过点D画出BF的垂线DE ，当点A ， C ， E在同一直线上时，可证明△EDC≌△ABC ，从而得到ED＝AB ，测得ED的长就是A ， B的距离，判定△EDC≌△ABC的依据是：（）

A、ASA B、SSS C、AAS D、SAS

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8. 如图， $∠ A O B = 50 °$ ，点 $P$ 为 $∠ A O B$ 内一点，点 $M 、 N$ 分别在 $O A 、 O B$ 上，当 $△ P M N$ 的周长最小时， $∠ M P N$ 的度数是（）

A、 $50 °$ B、 $65 °$ C、 $80 °$ D、 $130 °$

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二、多选题

9. 根据分式的基本性质，分式 $\frac{- a}{a - b}$ 可变形为（）

A、 $- \frac{a}{a - b}$ B、 $\frac{a}{a + b}$ C、 $\frac{a}{- a - b}$ D、 $\frac{a}{b - a}$

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10. 如图， $∠ 1 = ∠ 2$ ， $B C = E F$ ，要添加一个条件使 $△ A B C ≌ △ D E F$ ．添加的条件可以是（）

A、 $∠ B = ∠ D$ B、 $∠ A = ∠ D$ C、 $A B = E D$ D、 $A B ∥ E D$

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11. 在古埃及纸草书中，人们把分子为1的分数叫做埃及分数，并且能把一个埃及分数写成两个不相等的埃及分数的和，即 $\frac{1}{n} = \frac{1}{n + 1} + \frac{1}{n (n + 1)}$ ．下面利用这个规律计算正确的是（）

A、 $\frac{1}{n (n + 1)} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n + 1}$ B、 $\frac{1}{6} + \frac{1}{12} + \frac{1}{20} + \frac{1}{30} + \frac{1}{42} = \frac{5}{14}$ C、 $\frac{1}{1 \times 2} + \frac{1}{2 \times 3} + \frac{1}{3 \times 4} + \dots + \frac{1}{99 \times 100} = \frac{49}{100}$ D、 $\frac{1}{(x - 1) (x - 2)} + \frac{1}{(x - 2) (x - 3)} = \frac{2}{(x - 1) (x - 3)}$

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12. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ A B C$ 和 $∠ A C B$ 的平分线相交于点 $O$ ，过点 $O$ 作 $E F ∥ B C$ 交 $A B$ 于 $E$ ，交 $A C$ 于 $F$ ，过点 $O$ 作 $O D ⊥ A C$ 于 $D$ ，下列结论正确的是（）

A、 $E F = B E + C F$ ； B、点 $O$ 到 $∠ A B C$ 的两边的距离相等； C、 $∠ B O C = 90 ° + \frac{1}{2} ∠ A$ ； D、设 $O D = m ， A E + A F = n$ ，则 $S_{△ A E F} = m n$ ．

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三、填空题

13. 下列分式① $\frac{b}{8 a}$ ② $\frac{3 x^{2} y}{9 x y^{2}}$ ③ $\frac{a + b}{a - b}$ ④ $\frac{x - y}{x^{2} - y^{2}}$ ⑤ $\frac{x^{2} + x y}{2 x}$ 中，最简分式有（填正确答案的序号）．

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14. 等腰三角形的周长为18，其中一条边的长为8，则底边长是．

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15. 如图， $△ A B C$ 中， $∠ B = 32 °$ ， $∠ B C A = 78 °$ ，请依据尺规作图的作图痕迹，计算 $∠ α$ $°$ ．

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16. 如图，在平面直角坐标系中，对 $△ A B C$ 进行循环往复的轴对称变换，若原来点 $A$ 坐标是 $(- 2 ， 3)$ ，则经过第2021次变换后点 $A$ 的对应点的坐标为．

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四、解答题

17. 解方程

(1)、 $\frac{2}{x + 1} - \frac{1}{x} = 0$

(2)、 $\frac{x^{2} - 8}{x^{2} - 4} = 1 + \frac{1}{2 - x}$

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18. 如图，在平面直角坐标系中， $△ A B C$ 各顶点的坐标分别为： $A (4 ， 0) ， B (- 1 ， 4) ， C (- 3 ， 1)$

(1)、在图中作△A′B′C′，使△A′B′C′和△ABC关于y轴对称；

(2)、写出点A′，B′，C′的坐标；

(3)、若△ABC内部一点M(-2，1)关于某条直线的对称点是点M(-2，-5)，写出点E(1，2)关于该条直线的对称点F的坐标．

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19.

(1)、化简： $(x + 1 - \frac{2 x - 1}{x - 1}) \div \frac{x^{2} - 2 x}{x^{2} - 1}$ ；

(2)、已知 $\frac{x}{2} = \frac{y - z}{3} = \frac{x + z}{5}$ ，且 $5 x - y \neq 0$ ，求 $\frac{y + 2 z}{5 x - y}$ 的值．

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20. $△ A B C$ 中， $A B = A C ， B D$ 平分 $∠ A B C$ 交 $A C$ 于点 $D$ ，从点 $A$ 作 $A E ∥ B C$ 交 $B D$ 的延长线于点 $E$ ．

(1)、若 $∠ B A C = 40 °$ ，求 $∠ E$ 的度数；

(2)、点 $F$ 是 $B E$ 上一点，且 $F E = B D$ ．取 $D F$ 的中点 $H$ ，请问 $A H ⊥ B E$ 吗？试说明理由．

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21. 某地对一段长达2400米的河堤进行加固，在加固800米后，采用新的加固模式，每天的工作效率比原来提高25%，用26天完成了全部加固任务．

(1)、原来每天加固河堤多少米？

(2)、若承包商原来每天支付工人工资为1500元，提高工作效率后每天支付给工人的工资增加了20%，完成整个工程后承包商共支付工人工资多少元？

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22. $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ， $∠ B A C = 90 °$ ，点 $D$ 是直线 $A B$ 上的一动点（不和 $A 、 B$ 重合）， $B E ⊥ C D$ 交 $C D$ 所在的直线于点 $E$ ，交直线 $A C$ 于 $F$ ．

(1)、点 $D$ 在边 $A B$ 上时，如图，试探索 $A B 、 F A$ 和 $B D$ 之间的等量关系，并说明理由；

(2)、点 $D$ 在 $A B$ 的延长线或反向延长线上时，请选择一种情况，画出图形，写出 $A B 、 F A$ 和 $B D$ 之间的等量关系，并说明理由．

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23. （阅读材料）
我们知道，任意一个正整数 $k$ 都可以进行这样的分解： $k = m \times n$ （ $m ， n$ 是正整数，且 $m \leq n$ ），在 $k$ 的所有这种分解中，如果 $m ， n$ 两因数之差的绝对值最小，我们就称 $m \times n$ 是 $k$ 的最佳分解．并规定： $f (k) = \frac{m}{n}$ ．例如：18可以分解成 $1 \times 18 ， 2 \times 9$ 或 $3 \times 6$ ，因为 $18 - 1 > 9 - 2 > 6 - 3$ ，所以 $3 \times 6$ 是18的最佳分解，所以 $f (18) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$ ．

(1)、（探索规律）
$f (6) = \frac{2}{3} ， f (15) = \frac{3}{5} ， f (24) = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} ， \dots$ ，猜想： $f (x^{2} + x) =$ ；

(2)、 $f (4) = 1 ， f (9) = 1 ， f (25) = 1 ， \dots$ ，猜想： $f (x^{2}) =$ ；

(3)、（应用规律）
若 $f (x^{2} + 2 x) = \frac{1010}{1011}$ ，其中 $x$ 是正整数，求 $x$ 的值；

(4)、若 $f (x^{2} - 9) = 1$ ，其中 $x$ 是正整数，求 $x$ 的值．

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