山西省怀仁市2021-2022学年高一上学期理数期中考试试卷

试卷更新日期：2021-12-03 类型：期中考试

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一、单选题

1. 若集合 $A = {x | x > - 1}$ ，则下列关系式中成立的是（）

A、 ${0} \subseteq A$ B、 ${0} \in A$ C、 $\emptyset \in A$ D、 $0 \subseteq A$

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2. 命题：“ $\forall x \in R ， x^{2} + x + 1 > 0$ ”的否定是（）

A、不存在 $x \in R ， x^{2} + x + 1 > 0$ B、 $\exists x_{0} \in R ， x_{0}^{2} + x_{0} + 1 > 0$ C、 $\exists x_{0} \in R ， x_{0}^{2} + x_{0} + 1 \leq 0$ D、 $\forall x \in R ， x^{2} + x + 1 \leq 0$

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3. 下列函数中，既是偶函数，又是在区间 $(0, + \infty)$ 上单调递减的函数为（）

A、 $y = x^{- 2}$ B、 $y = x^{- 1}$ C、 $y = x^{2}$ D、 $y = x^{\frac{1}{3}}$

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4. 函数 $y = \frac{\sqrt{2 - x^{2}}}{1 - | x |}$ 的定义域为（）

A、 $[- \sqrt{2} ， \sqrt{2}]$ B、 $(- \sqrt{2} ， \sqrt{2})$ C、 $[- \sqrt{2} ， 0) \cup (0 ， \sqrt{2}]$ D、 $[- \sqrt{2} ， - 1) \cup (- 1 ， 1) \cup (1 ， \sqrt{2}]$

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5. 设 $a = {0.7}^{0.7}$ ， $b = {0.7}^{1.5}$ ， $c = {1.5}^{0.7}$ ，则a，b，c的大小关系是（）

A、 $a < b < c$ B、 $a < c < b$ C、 $b < a < c$ D、 $b < c < a$

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6. 下列命题中，真命题是（）

A、 $\forall x \in R ， 2^{x} > x^{2}$ B、 $\exists x \in R ， e^{x} < 0$ C、若 $a > b ， c > d$ ，则 $a - c > b - d$ D、 $a c^{2} > b c^{2}$ 是 $a > b$ 的充分不必要条件

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7. $f (x)$ 与 $g (x)$ 表示同一函数的是（）

A、 $f (x) = x$ ， $g (x) = \sqrt{x^{2}}$ B、 $f (x) = \frac{{(\sqrt{x})}^{2}}{x}$ ， $g (x) = \frac{x}{{(\sqrt{x})}^{2}}$ C、 $f (x) = \frac{x^{2} - 9}{x + 3}$ ， $g (x) = x - 3$ D、 $f (x) = 1$ ， $g (x) = {(x - 1)}^{0}$

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8. 我们从这个商标中抽象出一个图象如图，其对应的函数可能是 $($ 　　 $)$

A、 $f (x) = \frac{1}{x^{2} - 1}$ B、 $f (x) = \frac{1}{x^{2} + 1}$ C、 $f (x) = \frac{1}{| x - 1 |}$ D、 $f (x) = \frac{1}{| | x | - 1 |}$

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9. 若函数 $f (x) = a x^{2} + 2 x - 3$ 在区间 $(- \infty, 4)$ 上是单调递增的,则实数 $a$ 的取值范围为（）

A、 $(- \frac{1}{4}, + \infty)$ B、 $[- \frac{1}{4}, + \infty)$ C、 $[- \frac{1}{4}, 0)$ D、 $[- \frac{1}{4}, 0]$

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10. 已知幂函数 $f (x) = x^{3 m - 9} (m \in N)$ 的图象关于y轴对称，且在 $(0 ， + \infty)$ 上是减函数，若 ${(a + 1)}^{- \frac{m}{3}} < {(3 - 2 a)}^{- \frac{m}{3}}$ ，则实数a的取值范围是（）

A、 $(- 1 ， 3)$ B、 $(\frac{2}{3} ， \frac{3}{2})$ C、 $(- 1 ， \frac{3}{2})$ D、 $(- \infty ， - 1) \cup (\frac{2}{3} ， \frac{3}{2})$

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11. 已知偶函数 $f (x)$ 的图象经过点 $(- 1 ， - 3)$ ，且当 $0 \leq a < b$ 时，不等式 $(f (b) - f (a)) (b - a) < 0$ 恒成立，则使得 $f (x - 2) + 3 < 0$ 成立的 $x$ 取值范围为（）

A、 $(3 ， + \infty)$ B、 $(1 ， 3)$ C、 $(- \infty ， 1) \cup (3 ， + \infty)$ D、 $[1 ， 3]$

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12. 对于函数 $f (x)$ ，若在定义域内存在实数 $x_{0}$ 满足 $f (- x_{0}) = - f (x_{0})$ ，则称函数 $f (x)$ 为“倒戈函数”．设 $f (x) = 3^{x} + m - 1$ （ $m \in R$ ， $m \neq 0$ ）是定义在 $[- 1 ， 1]$ 上的“倒戈函数”，则实数 $m$ 的取值范围是（）

A、 $[- \frac{2}{3} ， 0)$ B、 $[- \frac{2}{3} ， - \frac{1}{3}]$ C、 $[- \frac{2}{3} ， 0]$ D、 $(- \infty ， 0)$

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二、填空题

13. 对于任意的 $a (a > 0 ， a \neq 1)$ ，函数 $y = a^{x - 1} + 1$ 的图象恒过定点，则此定点坐标是.

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14. 若 $x > 1$ ，则 $4 x + \frac{1}{x - 1}$ 的最小值是.

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15. 计算： $\frac{1}{\sqrt{2} - 1} + {(3 - 2 \sqrt{2})}^{0} - {(\frac{9}{4})}^{- 0.5} + \sqrt[4]{{(\sqrt{2} - π)}^{4}} =$ .

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16. 在下列命题中，正确的命题有(填写正确的序号)
①若 $x \in R$ ，则 $\sqrt{x^{2} + 9} + \frac{4}{\sqrt{x^{2} + 9}} + 2$ 的最小值是6；

②如果不等式 $a x^{2} + b x + 2 > 0$ 的解集是 $(- \frac{1}{2} ， \frac{1}{3})$ ，那么 $a - b = - 10$ 恒成立；

③设x， $y \in (0 ， + \infty)$ ，且 $x + y = 1$ ，则 $x^{2} + y^{2} + x y$ 的最小值是 $\frac{3}{4}$ ；

④对于任意 $m \in [\frac{1}{2} ， 3]$ ， $t^{2} + m t > 2 m + 4$ 恒成立，则t的取值范围是 $(- \infty ， - 5) \cup (2 ， + \infty)$ ；

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三、解答题

17. 已知二次函数 $f (x) = x^{2} - 4 x + 3$ ，非空集合 $A = {x | 0 \leq x \leq a}$ ．

(1)、当 $x \in A$ 时，二次函数的最小值为 $- 1$ ，最大值为3，求实数 $a$ 的取值范围；

(2)、当 ▲ 时，求二次函数 $f (x) = x^{2} - 4 x + 3$ 的最值以及取到最值时 $x$ 的取值．
在① $a = 1$ ，② $a = 4$ ，③ $a = 5$ ，这三个条件中任选一个补充在（2）问中的横线上，并求解．（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．）

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18. 已知集合 $A = {x | 3 \leq 3^{x} \leq 27}$ ，集合 $B = {x | 2 m < x < 1 - m}$ ．

(1)、当 $m = - 1$ 时，求 $A \cup B$ ， $(∁_{R} A) \cap B$ ；

(2)、若“ $x \in B$ ”是“ $x \in A$ ”的必要不充分条件，求实数 $m$ 的取值范围．

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19. 已知函数 $f (x) = \frac{m x + 1}{1 + x^{2}}$ 是定义在 $R$ 上的偶函数.

(1)、求实数 $m$ 的值；

(2)、判断并用定义法证明函数 $y = f (x)$ 在 $(0 ， + \infty)$ 上的单调性.

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20. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} x + 6 ， x \leq 0 \\ x^{2} - 2 x + 2 ， x > 0 \end{array}$ ．

(1)、求不等式 $f (x) > 5$ 的解集；

(2)、若函数 $g (x) = f (x) - \frac{m^{2}}{2}$ 有三个零点，求实数 $m$ 的取值范围．

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21. 已知函数 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的奇函数，且函数 $g (x) = f (x) + e^{x}$ 是定义在 $R$ 上的偶函数．

(1)、求函数 $f (x)$ 的解析式；

(2)、当 $f (x) \geq \frac{3}{4}$ 时，求 $g (x)$ 的取值范围．

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22. 为摆脱美国政府针对中国高科技企业的封锁，加强自主性，某企业计划加大对芯片研发部的投入.据了解，该企业研发部原有100名技术人员，年人均投入a万元，现把原有技术人员分成两部分：技术人员和研发人员，其中技术人员x名( $x \in N$ 且 $45 \leq x \leq 75$ )，调整后研发人员的年人均投入增加 $(4 x) %$ ，技术人员的年人均投入调整为 $a (m - \frac{2 x}{25})$ 万元.

(1)、要使这 $100 - x$ 名研发人员的年总投入不低于调整前100名技术人员的年总投入，求调整后的技术人员的人数最多多少人？

(2)、是否存在这样的实数m，使得技术人员在已知范围内调整后，同时满足以下两个条件：①技术人员的年人均投入始终不减少；②研发人员的年总投入始终不低于技术人员的年总投入.若存在，求出m的范围；若不存在，说明理由.

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