山东省烟台市、德州市2021-2022学年高一上学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2021-12-03 类型：期中考试

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x ∣ x \in N$ ，且 $x > - 1} ， B = {- 2 ， - 1 ， 0 ， 1 ， 2}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 ${- 2 ， - 1 ， 0 ， 1 ， 2}$ B、 ${- 1 ， 0 ， 1 ， 2}$ C、 ${0 ， 1 ， 2}$ D、 ${1 ， 2}$

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2. 命题“ $\forall x \in R ， x^{3} + x + 1 > 0$ ”的否定为（）

A、 $\forall x \in R ， x^{3} + x + 1 \leq 0$ B、 $\exists x \in R ， x^{3} + x + 1 \leq 0$ C、 $\forall x \in R ， x^{3} + x + 1 \geq 0$ D、 $\exists x \in R ， x^{3} + x + 1 \geq 0$

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3. " $x > 0 ， y > 0$ "是" $x y ⩽ \frac{x^{2} + y^{2}}{2}$ "的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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4. 函数 $f (x) = \frac{\sqrt{6 + x - x^{2}}}{x - 1}$ 的定义域为（）

A、 $[- 3 ， 2]$ B、 $[- 3 ， 1) \cup (1 ， 2]$ C、 $[- 2 ， 3]$ D、 $[- 2 ， 1) \cup (1 ， 3]$

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5. 若 $a ， b ， c \in R$ ，则下列命题正确的是（）

A、若 $a > b > 0$ ，则 $\frac{c}{a} < \frac{c}{b}$ B、若 $a > b$ 且 $\frac{1}{a} > \frac{1}{b}$ ，则 $a b < 0$ C、若 $a > b > 0$ ，则 $a^{2} > b^{2} > a b$ D、若 $a < b < 0$ ，则 $a^{2} < a b < b^{2}$

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6. 已知 $f (x)$ 是非零实数集上的偶函数，且在 $(- \infty ， 0)$ 上为减函数，若 $f (- 1) = 0$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $f (- 3) > f (4)$ B、 $\forall x \in R ， x \neq 0 ， \exists M \in R$ ，使 $f (x) \geq M$ C、若 $x f (x) < 0$ ，则 $x \in (- \infty ， - 1) \cup (0 ， 1)$ D、若 $f (m - 1) < f (2)$ ，则 $m \in (- \infty ， 3)$

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7. 已知函数 $f (x) = \frac{2 x + 1}{x - 1} ， g (x) = x + \frac{1}{x} (x > 0)$ ，则 $y = f (g (x))$ 的值域为（）

A、 $(- \infty ， 2) \cup (2 ， + \infty)$ B、 $[5 ， + \infty)$ C、 $(2 ， + \infty)$ D、 $(2 ， 5]$

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8. 若函数 $f (x) = {\begin{array}{l} 3 x^{2} + 6 x ， x ⩽ 0 \\ 3 x - 2 ， x > 0 \end{array}$ ，将函数 $y = | f (x) - f (t) | ， x \in [m ， n]$ 的最大值记作 $Z_{t} [m ， n]$ ，则当 $- 2 ⩽ m ⩽ 2$ 时， $Z_{\frac{4}{3}} [m ， m + 4]$ 的取值范围是（）

A、 $[5 ， 14]$ B、 $[5 ， 16]$ C、 $[2 ， 14]$ D、 $[2 ， 16]$

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二、多选题

9. 如图，集合 $U$ 是全集， $A ， B$ 是非空集合，定义集合 $A * B$ 为阴影部分表示的集合，则 $A * B$ 可表示为（）

A、 $B \cap [∁_{U} (A \cup B)]$ B、 $A \cap [∁_{U} (A \cap B)]$ C、 $[(∁_{U} A) \cap B] \cup [(∁_{U} B) \cap A]$ D、 $(A \cup B) \cap [∁_{U} (A \cap B)]$

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10. 已知 $a > 0 ， b > 0$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $\frac{2 a b}{a + b} \leq \sqrt{a b}$ B、 $\frac{a + b}{2} \geq \sqrt{\frac{a^{2} + b^{2}}{2}}$ C、 $\frac{a^{2} + 1}{a} \cdot \frac{b^{2} + 1}{b}$ 的最小值为4 D、若 $\frac{2}{a} + \frac{1}{b} = 1$ ，则 $2 a + b$ 的最小值为8

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11. 某打车平台欲对收费标准进行改革，现制定了甲、乙两种方案供乘客选择，其支付费用与打车里程数的函数关系大致如图所示，则下列说法正确的是（）

A、当打车距离为 $8 km$ 时，乘客选择甲方案省钱 B、当打车距离为 $10 km$ 时，乘客选择甲、乙方案均可 C、打车 $3 km$ 以上时，每公里增加的费用甲方案比乙方案多 D、增加1公里费用增加0.7元

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12. 定义域为 $R$ 的奇函数 $f (x)$ ，当 $x > 0$ 时， $f (x) = {\begin{array}{l} \frac{2}{x - 1} ， x \geq 2 \\ x^{2} - 2 x + 2 ， 0 < x < 2 \end{array}$ ，下列结论正确的有（）

A、对 $\forall x_{1} ， x_{2} \in (- 1 ， 1)$ 且 $x_{1} \neq x_{2}$ ，恒有 $\frac{f (x_{1}) - f (x_{2})}{x_{1} - x_{2}} < 0$ B、对 $\forall x_{1} ， x_{2} \in [2 ， + \infty)$ ，恒有 $f (\frac{x_{1} + x_{2}}{2}) \leq \frac{f (x_{1}) + f (x_{2})}{2}$ C、函数 $y = x$ 与 $f (x)$ 的图象共有4个交点 D、若 $x \in [a ， 0)$ 时， $f (x)$ 的最大值为-1，则 $a \in [- 3 ， - 1]$

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三、填空题

13. 已知集合 $A = {- 1 ， 0 ， a^{2}} ， B = {- 1 ， a}$ ，若 $A \cap B = B$ ，则实数 $a$ 的值为.

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14. 若函数 $f (x) = x^{2} + 2 k x - 2$ 在 $[- 1 ， 2]$ 上具有单调性，则实数 $k$ 的取值范围是.

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15. 已知命题： $\exists x \in R ， a x^{2} + x - 2 > 0$ 是假命题，则实数 $a$ 的取值范围是.

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16. 黎曼函数是一个特殊的函数，由德国著名的数学家波恩哈德・黎曼发现提出，在高等数学中有着广泛的应用.其定义为： $R (x) = {\begin{array}{l} \frac{1}{p} ，当 x = \frac{q}{p} (p ， q 都是正整数， \frac{q}{p} 是既约真分数) \\ 0 ，当 x = 0 ， 1 或 (0 ， 1) 上的无理数 \end{array}$ ，则 $R (\frac{2}{3}) =$ ；若函数 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的奇函数，且对任意 $x$ 都有 $f (2 - x) + f (x) = 0$ ，当 $x \in [0 ， 1]$ 时， $f (x) = R (x)$ ，则 $f (\frac{\sqrt{2}}{2}) - f (- \frac{7}{5}) =$ .

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四、解答题

17. 已知全集 $U = R ， A = {x \in R ∥ 2 x - 5 ∣ < 9} ， B = {x ∣ 2 < x \leq 8}$ .

(1)、求 $A \cap B ， (∁_{U} A) \cup B$ ；

(2)、若 $C = {x ∣ 2 a < x < a + 3}$ ，且 $C \cap B = C$ ，求实数 $a$ 的取值范围.

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18. 已知函数 $f (x)$ 满足 $f (x) + 2 f (\frac{1}{x}) = 3 x$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的解析式；

(2)、判断函数 $f (x)$ 在 $(0 ， + \infty)$ 上的单调性，并用定义证明.

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19. 已知不等式 $m x^{2} - x + 2 > 0$ 的解集为 ${x ∣ - 2 < x < n}$ .

(1)、求 $m 、 n$ 的值，并求不等式 $n x^{2} + 5 m x - 6 > 0$ 的解集；

(2)、设函数 $y = a x^{2} + (n + 1) x - 2 a (a \neq 0)$ 的图象与 $x$ 轴交点的横坐标分别为 $x_{1} ， x_{2}$ ，若 $| x_{1} - x_{2} | ⩽ 4$ ，求实数 $a$ 的取值范围.

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20. 文化是魂，旅游为体.为推动文旅融合发展，不断提升、持续强化文化和旅游产业的竞争力，某景点推出对旅行社购买团体票的优惠活动，团体票价格规定如下：若团体人数不超过25人，每张票价50元；若超过25人，则每增加1人，每张票价降低2元，但每张票价不低于34元.

(1)、若某旅行社购票费用恰为1122元，求该旅行社购买团体票的人数；写出购票费用 $f (x)$ 与团体人数 $x$ 之间的函数解析式；

(2)、若某旅行社计划对每名游客收取该景点门票费用45元，要使旅行社购票利润不低于150元，则旅行社至少需组织多少人进行团购?（购票利润 $=$ 收取总费用 $-$ 购票费用）

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21. 已知定义在 $[- 1 ， 1]$ 上的函数 $f (x)$ 的图象是连续不断的，且满足以下条件：
⑴ $\forall x ， y \in [- 1 ， 1] ， f (x + y) = f (x) + f (y)$ ；

⑵ $f (- 1) = 3$ ；

⑶ $\forall m ， n \in [- 1 ， 1]$ ，且 $m + n \neq 0$ ，都有 $(m + n) (f (m) + f (n)) < 0$ .

(1)、判断 $f (x)$ 的奇偶性，并说明理由；

(2)、判断并证明 $f (x)$ 的单调性；

(3)、若不等式 $2 a t + 4 \leq f_{max} (x)$ 在 $a \in [- 1 ， 1]$ 上有解，求实数 $t$ 的取值范围.

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22. 已知函数 $f (x) = x^{2} - a x + 1$ 在 $[1 ， 2]$ 上的最小值为3.

(1)、求函数 $f (x)$ 的解析式；

(2)、解关于 $x$ 的不等式 $2 x^{2} + (3 - \frac{k}{2}) x + 1 - k \leq f (x) \leq k (x + 1) + 1 (k > - 1)$ ；

(3)、不等式 $f (x^{2} + 1) - m (x^{2} + 1) \leq - 1$ 在 $[0 ， \sqrt{3}]$ 上恒成立，求实数 $m$ 的取值范围.

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