山东省潍坊市五县市2021-2022学年高一上学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2021-12-03 类型：期中考试

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一、单选题

1. 已知全集 $R$ ，集合 $A = {x ∣ x^{2} - 2 x > 0}$ ，则下列关系正确的是（）

A、 $1 \in A$ B、 $\emptyset \subseteq A$ C、 $∁_{R} A = {x ∣ 0 < x < 2}$ D、 $A \cap \emptyset = A$

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2. 已知 $a > b > 0$ ，则（）

A、 $a^{2} < a b$ B、 $a + b < 2 b$ C、 $\frac{b}{a} > 1$ D、 $\frac{1}{a} < \frac{1}{b}$

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3. 下列各组函数中，是同一函数的是（）

A、 $y = x^{2}$ 与 $y = x \sqrt{x^{2}}$ B、 $y = \sqrt{x^{2}}$ 与 $y = {(\sqrt{x})}^{2}$ C、 $y = \frac{x^{2} + x}{x}$ 与 $y = x + 1$ D、 $y = \frac{x^{3} + x}{x^{2} + 1}$ 与 $y = x$

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4. 命题 $“ \forall x \in R$ ，使得 $n \geq x^{2} . n \in N^{*}$ ”的否定形式是（）

A、 $\forall x \in R$ ，使得 $n < x^{2} ， n \in N^{*}$ B、 $\forall x \in R$ ，使得 $n \neq x^{2} ， n \in N^{*}$ C、 $\exists x \in R$ ，使得 $n < x^{2} ， n \in N^{*}$ D、 $\exists x \in R$ ，使得 $n \geq x^{2} ， n \in N^{*}$

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5. 设 $b > 0$ ，二次函数 $y = a x^{2} + b x + a^{2} - 1$ 的图象为下列之一，则 $a$ 的值为（）

A、1 B、-1 C、 $\frac{- 1 - \sqrt{5}}{2}$ D、 $\frac{- 1 + \sqrt{5}}{2}$

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6. 已知函数 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的偶函数，若 $f (x)$ 在区间 $(- \infty ， 0)$ 上是增函数，则下列关系式中一定成立的是（）

A、 $f (- 1) < f (- 2)$ B、 $f (- 1) < f (2)$ C、 $f (1) > f (- 2)$ D、 $f (0) = 0$

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7. 如图，电路中电源的电动势为 $E$ ，内阻为 $r$ ， $R_{1}$ 为固定电阻， $R_{2}$ 是一个滑动变阻器，已知 $R_{2}$ 消耗的电功率为 $P = {(\frac{E}{r + R_{1} + R_{2}})}^{2} R_{2}$ ，当 $R_{2}$ 消耗的电功率 $P$ 最大时， $r ， R_{1} ， R_{2}$ 之间的关系是（）

A、 $r + R_{2} = R_{1}$ B、 $r + R_{1} = R_{2}$ C、 $\frac{R_{1}}{r} = R_{2}$ D、 $R_{1} + R_{2} = r$

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8. 函数 $y = f (x)$ 的图象关于点 $P (a ， b)$ 成中心对称的充要条件是函数 $y = f (x + a) - b$ 为奇函数，则下列说法正确的是（）

A、 $f (x) = 2 x + 1$ 关于 $(\frac{1}{2} ， 0)$ 中心对称 B、 $f (x) = x^{3} - 3 x^{2}$ 关于 $(1 ， 2)$ 中心对称 C、函数 $y = f (x)$ 的图象关于 $x = a$ 成轴对称的充要条件是 $y = f (x + a)$ 为偶函数 D、 $f (x) = x^{2} - 2 x + 5$ ，则 $f (x - 1)$ 为偶函数

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二、多选题

9. 若 $a > 0 ， b > 0$ ，且 $a + b = 1$ ，则（）

A、 $a^{2} + b^{2} \geq \frac{1}{2}$ B、 $\sqrt{a b} \geq \frac{1}{2}$ C、 $\frac{1}{a b} \geq 4$ D、 $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} \geq 4$

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10. 已知关于 $x$ 的方程 $x^{2} + (m - 3) x + m = 0$ ，则下列结论中正确的是（）

A、方程有一个正根一个负根的充要条件是 $m \in {m | m < 0}$ B、方程有两个正根的充要条件是 $m \in {m | 0 < m \leq 1}$ C、方程无实数根的必要条件是 $m \in {m | m > 1}$ D、当 $m = 3$ 时，方程的两个实数根之和为0

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11. 几位同学在研究函数 $f (x) = \frac{| x | + 2}{x^{2} - 4}$ 时给出了下列结论正确是（）

A、 $f (x)$ 的图象关于 $y$ 轴对称 B、 $f (x)$ 在 $(2 ， + \infty)$ 上单调递减 C、 $f (x)$ 的值域为 $R$ D、当 $x \in (- 2 ， 2)$ 时， $f (x)$ 有最大值

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12. 用 $C (A)$ 表示非空集合 $A$ 中的元素个数，定义 $A * B = | C (A) - C (B) |$ .已知集合 $A = {x | x^{2} - 1 = 0}$ ， $B = {x | (a x^{2} + 3 x) (x^{2} + a x + 2) = 0}$ ，若 $A * B = 1$ ，则实数 $a$ 的取值可能是（）

A、 $- 2 \sqrt{2}$ B、0 C、1 D、 $2 \sqrt{2}$

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三、填空题

13. 已知集合 $M = {2 ， m} ， N = {2 m - 1 ， 2}$ ．若 $M = N$ ，则实数 $m =$ ．

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14. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} x - 5, x \geq 6 \\ f (x + 2), x < 6 \end{array}$ ，则 $f (3) =$ .

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15. 已知函数 $f (x) = - x^{2} + b x ， g (x) = x + \frac{1}{x}$ ．写出满足“ $\forall x \in (0 ， + \infty) ， f (x) \leq g (x)$ ”的一个必要不充分条件为． (注：写出一个满足条件的即可)

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16. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} | x^{2} - x - 2 | ， x \geq a \\ a x - 6 ， x < a \end{array}$ 是定义在 $R$ 上的増函数．则实数 $a$ 的取值范围为．

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四、解答题

17.

(1)、已知 $x^{\frac{1}{2}} + x^{- \frac{1}{2}} = 3$ ，求 $\frac{x - x^{- 1}}{x^{2} + x^{- 2} - 2}$ 的值；

(2)、已知 ${\begin{array}{l} 3 x - y - z = 0 \\ 2 x + y - z = 0 \end{array}$ ，求 $\frac{x^{2} + y^{2}}{(x + y) z}$ 的值．

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18. 已知集合 $A = {x | | x - 4 ∣ \leq 3} ， B = {x ∣ x^{2} - 2 a x + (a^{2} - 4) \leq 0}$ ．

(1)、当 $a = 1$ 时，求 $A \cup B ， B \cap (C_{R} A)$ ；

(2)、若 ▲ ，求实数 $a$ 的取值范围．
(注：从① $A \cup B = A$ ；② $B \cap C_{R} A = \emptyset$ ；③“x∈A”是”x∈B”的必要不充分条件．这三个条件中任选一个，补充在上面的问题横线处，并进行解答，如果选择多个条件进行解答，则按照选择的第一个计分．)

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19. 在城市旧城改造中，某小区为了升级居住环境，拟在小区的闲置地中规划一个面积为 $200 m^{2}$ 的矩形区域作为市民休闲锻炼的场地(如图所示)，按规划要求：在矩形内的四周安排 $2 m$ 宽的绿化，绿化造价为 $200$ 元 $/ m^{2}$ ，中间区域地面硬化以方便后期放置各类健身器材，硬化造价为 $100$ 元 $m^{2}$ ．设矩形的长为 $x$ ( $m$ )

(1)、将总造价 $y$ (元)表示为长度 $x (m)$ 的函数.

(2)、如果当地政府财政拨款 $3$ 万元，不考虑其他因素，仅根据总造价情况，判断能否修建起该市民休闲锻炼的场地? $(\sqrt{2} \approx 1.414)$

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20. 已知定义在 $[- 3 ， 3]$ 上的函数 $f (x) = \frac{x + b}{x^{2} + a}$ 满足 $f (x) + f (- x) = 0$ ．且 $f (1) = \frac{1}{10}$

(1)、求函数 $f (x)$ 的解析式；

(2)、证明：对 $\forall x_{1} ， x_{2} \in [- 3 ， 3]$ ，且 $x_{1} \neq x_{2} ， \frac{f (x_{1}) - f (x_{2})}{x_{1} - x_{2}} > 0$ 恒成立．

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21. 已知函数 $f (x) = x^{2} - (2 + 3 a) x + 5$ ， $x \in [0 ， 3]$ ．

(1)、当 $a = 1$ 时，求 $f (x)$ 的最大值和最小值；

(2)、若 $f (x)$ 在区间 $[0 ， 3]$ 上的最大值为14，求实数 $a$ 的值．

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22. 已知函数 $f (x) = a x^{2} + b x + 1 ， (a ， b$ 为实数 $) ， F (x) = {\begin{matrix} f (x) (x > 0) \\ - f (x) (x < 0) \end{matrix} ，$

(1)、若 $f (- 1) = 0$ ，且函数 $f (x)$ 的最小值为0，求 $F (x)$ 的表达式；

(2)、在（1）的条件下．当 $x \in [- 2 ， 2]$ 时． $g (x) = f (x) - k x$ 是单调函数，求实数 $k$ 的取值范围；

(3)、设 $m n < 0 ， m + n > 0 ， a > 0$ 且f(x)为偶函数，判断F(m)＋F(n)能否大于零?请说明理由．

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