山东省泰安市肥城市2021-2022学年高一上学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2021-12-03 类型：期中考试

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {1， \sqrt{3} ， 3}$ ， $B = {1 ， 3}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\emptyset$ B、 ${\sqrt{3}}$ C、 ${1 ， 3}$ D、 ${1 ， \sqrt{3} ， 3}$

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2. 设命题 $p ： \exists n \in Ν$ ， $n^{2} > 3 n - 1$ ，则 $p$ 的否定为（）

A、 $\forall n \notin Ν$ ， $n^{2} \leq 3 n - 1$ B、 $\exists n \notin Ν$ ， $n^{2} > 3 n - 1$ C、 $\forall n \in Ν$ ， $n^{2} \leq 3 n - 1$ D、 $\exists n \in Ν$ ， $n^{2} \leq 3 n - 1$

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3. 已知 $- 2 \leq a \leq 4$ ， $1 \leq b \leq 3$ ，则 $a - 2 b$ 的取值范围是（）

A、 $[- 8$ ， $2]$ B、 $[- 3 ， 1]$ C、 $[- 4 ， - 2]$ D、 $[- 7 ， 7]$

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4. 下列各组函数表示同一函数的是（）

A、 $f (x) = x^{2}$ 与 $f (x) = {(\sqrt{x})}^{4}$ B、 $f (x) = {\begin{array}{l} x ， x \geq 0 \\ - x ， x < 0 \end{array}$ 与 $g (t) = | t |$ C、 $y = \sqrt{x^{2} - 1}$ 与 $y = \sqrt{x + 1} \cdot \sqrt{x - 1}$ D、 $f (x) = x - 1$ 与 $g (x) = \frac{x^{2}}{x} - 1$

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5. 定义在 $R$ 上的偶函数 $f (x)$ 在 $[0 ， + \infty)$ 上单调递增，若 $f (m) > f (1)$ ，则 $m$ 的取值范围为（）

A、 $m > 1$ B、 $m < - 1$ C、 $- 1 < m < 1$ D、 $m > 1$ 或 $m < - 1$

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6. 已知 $a \geq 0$ ，设 $P = \sqrt{a + 1} - \sqrt{a}$ ， $Q = \sqrt{a + 2} - \sqrt{a + 1}$ 则（）

A、 $P > Q$ B、 $P \geq Q$ C、 $P < Q$ D、 $P \leq Q$

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7. 设函数 $f (x) = x + \frac{4}{x}$ ，则（）

A、 $f (x)$ 的最大值为-4 B、 $f (x)$ 在 $(- \infty ， - 2)$ 上单调递增，在 $(- 2 ， 0)$ 上单调递减 C、 $f (x)$ 的最小值为4 D、 $f (x)$ 在 $(0 ， 2)$ 上单调递增，在 $(2 ， + \infty)$ 上单调递减

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8. 已知函数 $f (x) = {\begin{matrix} x^{2} + (\frac{3}{2} m - 1) x + 8 ， x < 2 \\ - \frac{m + 1}{x} ， x \geq 2 \end{matrix}$ 是 $R$ 上的减函数，则 $m$ 的取值范围为（）

A、 $m < - 1$ B、 $m \geq - 2$ C、 $- 3 \leq m \leq - 2$ D、 $- 2 < m < - 1$

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二、多选题

9. 已知 $U$ 为全集，则下列说法正确的是（）

A、若 $A \cap B = \emptyset$ ，则 $(∁_{U} A) \cup (∁_{U} B) = U$ B、若 $A \cap B = \emptyset$ ，则 $A = \emptyset$ 或 $B = \emptyset$ C、若 $A \cup B = \emptyset$ ，则 $(∁_{U} A) \cap (∁_{U} B) = U$ D、若 $A \cup B = \emptyset$ ，则 $A = B = \emptyset$

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10. 命题“ $\exists x \in [1 ， 2]$ ， $2 x^{2} - a \leq 0$ ”为真命题的一个必要不充分条件是（）

A、 $a \geq 2$ B、 $a \geq 0$ C、 $a \geq 1$ D、 $a \leq 2 \sqrt{2}$

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11. 已知关于 $x$ 的不等式 $a x^{2} + b x + c > 0$ 的解集为 ${x | - 3 < x < 2}$ ，下列说法正确的是（）

A、 $a < 0$ B、 $a + b + c > 0$ C、不等式 $b x + c > 0$ 的解集为 ${x | x > 6}$ D、不等式 $c x^{2} + b x + a < 0$ 的解集为 ${x | - \frac{1}{3} < x < \frac{1}{2}}$

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12. 若函数 $f (x)$ 同时满足：①对于定义域上的任意 $x$ ，恒有 $f (x) + f (- x) = 0$ ；②对于定义域上的任意 $x_{1} 、 x_{2}$ ，当 $x_{1} \neq x_{2}$ 时，恒有 $\frac{f (x_{1}) - f (x_{2})}{x_{1} - x_{2}} < 0$ . 则称函数 $f (x)$ 为“理想函数”．给出下列四个函数，能被称为“理想函数”的有（）

A、 $f (x) = \frac{1}{x}$ B、 $f (x) = - x^{3}$ C、 $f (x) = {\begin{array}{l} - x^{2}_{} (x \geq 0) \\ x^{2}_{} (x < 0) \end{array}$ D、函数 $f (x)$ 满足 $f (x - \frac{1}{x}) = x^{2} + \frac{1}{x^{2}}$

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三、填空题

13. 已知幂函数 $f (x)$ 经过点 $(2 ， \frac{1}{2})$ ，则 $f (x) =$ .

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14. 已知函数 $f (x)$ 的定义域是 $[0 ， 1]$ ，值域是 $[1 ， 2]$ ，则这样的函数可以是 $f (x) =$ .

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15. 2021年是中国共产党成立100周年，某中学为了庆祝建党100周年，组织了一系列活动，体育比赛就是其中一项. 已知该中学有96名学生喜欢足球或游泳，60名学生喜欢足球，82名学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数是名.

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16. 已知 $a > 0 ， b > 0 ， c > 0$ ， $a^{2} - a b + 9 b^{2} - 5 c = 0$ ，则 $\frac{c}{a b}$ 的最小值是.当 $\frac{c}{a b}$ 取最小值时， $m^{2} - 3 m \geq a + b - \frac{1}{3} c$ 恒成立，则 $m$ 的取值范围是.

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四、解答题

17. 设 $a ， b ， c \in R$ 证明： $a^{2} + b^{2} + c^{2} = a b + a c + b c$ 的充要条件是 $a = b = c$ .

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18. 已知全集 $U = R$ ，集合 $A = {x | x (2 - x) 〉 0}$ ， $B = {x | 2 m - 1 \leq x \leq m + 1}$ .

(1)、当 $m = 1$ 时，求 $∁_{U} (A \cup B)$ ；

(2)、若 $B \neq \emptyset$ ，且 $B \subseteq A$ ，求 $m$ 的取值范围.

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19. 已知 $f (x)$ 是定义域为 $R$ 的奇函数，当 $x > 0$ 时， $f (x) = x (1 - x)$ .

(1)、求 $f [f (2)]$ 的值；

(2)、求 $f (x)$ 在 $R$ 上的解析式.

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20. 已知函数 $g (x) = x^{2} + \frac{k}{x} (k \in R)$ ．

(1)、讨论 $g (x)$ 的奇偶性；

(2)、当 $k = 2$ 时，判断 $g (x)$ 在 $[1 ， + \infty)$ 上的单调性，并给出证明.

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21. 2020年我国全面建成了小康社会，打赢了脱贫攻坚战. 某村全面脱贫后，通过调整产业结构，以秀美乡村建设为契机，大力发展乡村旅游. 2021年上半年接待游客逾5万人次，使该村成为当地旅游打卡网红景点. 该村原有400户从事种植业，据了解，平均每户的年收入为4万元. 调整产业结构后，动员部分农户改行从事乡村旅游业. 据统计，若动员 $x (x > 0 ， x \in N)$ 户从事乡村旅游，则剩下的继续从事种植业的平均每户的年收入有望提高 $\frac{x}{100}$ ，而从事乡村旅游的平均每户的年收入为 $4 (a - \frac{x}{25}) (a > 0)$ 万元. 在动员 $x$ 户从事乡村旅游后，还要确保剩下的 $400 - x$ 户从事种植业的所有农户年总收入不低于原先400户从事种植的所有农户年总收入.

(1)、求 $x$ 的取值范围；

(2)、要使从事乡村旅游的这 $x$ 户的年总收入始终不高于 $400 - x$ 户从事种植业的所有农户年总收入，求 $a$ 的最大值.
（参考数据： $\frac{200}{\sqrt{3}} \approx 115.5$ ， $\frac{400}{115} \approx 3.48$ ， $\frac{400}{116} \approx 3.45$ ）

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22. 若 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的二次函数，对称轴 $x = - \frac{1}{2}$ ，且 $f (1) = 3$ ， $f (0) = 1$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的解析式；

(2)、设函数 $g (x) = k x^{2} + 2 k x + 1 (k \neq 0)$ ，若对 $\forall x_{1} \in [- 2 ， 2]$ ， $\exists x_{2} \in [- 1 ， 2]$ ， $f (x_{1}) = g (x_{2})$ ，求实数 $k$ 的取值范围.

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