山东省青岛市4区市2021-2022学年高一上学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2021-12-03 类型：期中考试

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一、单选题

1. 设集合 $A = {x \in R | x^{2} - 4 x < 0}$ ， $B = {0 ， 1 ， 2 ， 3 ， 4}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 ${1 ， 2 ， 3 ， 4}$ B、 ${0 ， 1 ， 2 ， 3 ， 4}$ C、 ${0 ， 1 ， 2 ， 3}$ D、 ${1 ， 2 ， 3}$

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2. 函数 $f (x) = \sqrt{2^{x} - 8} + \frac{1}{x - 3}$ 的定义域是（）

A、 $(3 ， + \infty)$ B、 $[3 ， + \infty)$ C、 $(4 ， + \infty)$ D、 $[4 ， + \infty)$

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3. 青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，小数记录法的数据V和五分记录法的数据L满足 $V = 10^{L - 5}$ ，已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据约为（）（注： $\sqrt[10]{10} \approx 1.25$ ）

A、0.6 B、0.8 C、1.2 D、1.5

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4. 已知函数 $f (x)$ 和 $g (x)$ 的定义域为 ${2 ， 3 ， 4 ， 5}$ ，其对应关系如下表，则 $g (f (x))$ 的值域为（）

x

2

3

4

5

$f (x)$

4

2

5

2

$g (x)$

4

3

2

4

A、 ${2 ， 3}$ B、 ${2 ， 4}$ C、 ${3 ， 4}$ D、 ${2 ， 3 ， 4}$

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5. 若 $a = {(\frac{1}{2})}^{\frac{3}{2}}$ ， $b = {(\frac{3}{4})}^{\frac{1}{4}}$ ， $c = {(\frac{3}{4})}^{\frac{3}{4}}$ ，则a ， b ， c的大小关系是（）

A、 $a > b > c$ B、 $b > a > c$ C、 $b > c > a$ D、 $c > b > a$

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6. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} (2 - a) x + 1 ， x \geq 1 \\ a^{x} ， x < 1 \end{array}$ 是R上的单调递增函数，则实数a的取值范围是（）

A、 $a > 1$ B、 $1 < a < \frac{3}{2}$ C、 $1 < a < 2$ D、 $1 < a \leq \frac{3}{2}$

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7. 已知函数 $f (x)$ 为偶函数，且对任意互不相等的 $x_{1}$ ， $x_{2} \in (0 ， + \infty)$ ，都有 $\frac{f (x_{1}) - f (x_{2})}{x_{1} - x_{2}} > 0$ 成立，且 $f (- 2) = 0$ ，则 $x f (x) < 0$ 的解集为（）

A、 $(- \infty ， - 2) \cup (0 ， 2)$ B、 $(- 2 ， 2)$ C、 $(- \infty ， - 2) \cup (2 ， + \infty)$ D、 $(- 2 ， 0) \cup (2 ， + \infty)$

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8. 已知函数 $f (x)$ 为实数集上的增函数，且满足 $f (f (x) - 2^{x}) = 3$ ，则 $f (2) =$ （）

A、3 B、4 C、5 D、6

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二、多选题

9. 下列函数中，既是偶函数，又在 $(0 ， + \infty)$ 上单调递增的为（）

A、 $f (x) = | x |$ B、 $f (x) = x^{3}$ C、 $f (x) = 2^{| x |}$ D、 $f (x) = \frac{1}{x^{2}}$

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10. 已知a ， $b \in R$ 且 $a > b$ ，则（）

A、 $\frac{1}{a} < \frac{1}{b}$ B、 ${(\frac{1}{2})}^{a} < {(\frac{1}{2})}^{b}$ C、 $3^{a - b} < 1$ D、 $a^{3} > b^{3}$

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11. 已知幂函数 $f (x)$ 的图象经过点 $(2 ， \sqrt{2})$ ，则下列命题正确的是（）

A、函数 $f (x)$ 为增函数 B、函数 $f (x)$ 的值域为 $[0 ， + \infty)$ C、函数 $f (x)$ 为奇函数 D、若 $0 < x_{1} < x_{2}$ ，则 $f (\frac{x_{1} + x_{2}}{2}) > \frac{f (x_{1}) + f (x_{2})}{2}$

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12. 下列说法正确的是（）

A、“若 $2^{a} > 2^{b}$ ，则 $a^{2} > b^{2}$ ”是真命题 B、已知集合 $A$ ， $B$ 均为实数集 $R$ 的子集，且 $∁_{R} B \subseteq A$ ，则 $(∁_{R} A) \cup B = B$ C、对于函数 $y = f (x)$ ， $x \in R$ ，“ $y = f (x + 1)$ 是偶函数”是“ $y = f (x)$ 的图象关于直线 $x = 1$ 轴对称”的充要条件 D、若命题“ $\exists x \in R$ ， $x^{2} - m x + 1 < 0$ ”的否定是真命题，则实数 $m$ 的取值范围是 $- 2 \leq m \leq 2$

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三、填空题

13. 计算 $4 \times {(\frac{16}{25})}^{- \frac{1}{2}} + {(2 \sqrt{2})}^{\frac{4}{3}} - \sqrt[3]{3} \times 9^{\frac{1}{3}} =$ ．

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14. 已知函数 $f (x) = (e^{x} + k e^{- x}) x^{2}$ 的图象关于原点中心对称，则实数 $k =$ ．

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15. 已知 $0 < x < \frac{5}{4}$ ，则 $\sqrt{x (5 - 4 x)}$ 的最大值为．

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16. 在1872年，“戴金德分割”结束了持续2000多年的数学史上的第一次危机．所谓戴金德分割，是指将有理数集Q划分为两个非空子集A与B ，且满足 $A \cup B = Q$ ， $A \cap B = \emptyset$ ，A中的每一个元素都小于B中的每一个元素，则称这样的A与B为戴金德分割，请给出一组满足A无最大值且B无最小值的戴金德分割．

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四、解答题

17. 已知全集 $U = R$ ，集合 $A = {x \in R | \frac{1}{3} < {(\frac{1}{3})}^{x} < 9}$ ，集合 $B = {x \in R | x^{2} - 2 x - a \leq 0}$ ，集合 $C = {x \in R | m - 1 < x < 2 m}$ ， $A \cap B = {x \in R | - 1 \leq x < 1}$ ．

(1)、求集合 $B$ ；

(2)、求 $(∁_{R} B) \cup A$ ；

(3)、若 $B \cup C = B$ ，求实数 $m$ 的取值范围．

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18. 已知偶函数 $f (x)$ 的定义域为 $(- \infty ， 0) \cup (0 ， + \infty)$ ， $f (- 2) = \frac{3}{2}$ ，当 $x \in (0 ， + \infty)$ 时，函数 $f (x) = x - \frac{m}{x}$ ．

(1)、求实数m的值；

(2)、当 $x \in (- \infty ， 0)$ 时，求函数 $f (x)$ 的解析式；

(3)、利用定义判断并证明函数 $f (x)$ 在区间 $(0 ， + \infty)$ 的单调性．

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19. 已知函数 $f (x) = x^{2} - (m + 2) x + 2 m$ ， $m \in R$ ．

(1)、若 $f (x) \geq 0$ 对任意的 $x \in R$ 恒成立，求实数m的取值范围；

(2)、若 $f (x)$ 在 $(- \infty ， 3)$ 上单调递减，求实数m的取值范围；

(3)、解关于x的不等式 $f (x) > 0$ ．

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20. 某科研单位在研发某种合金产品的过程中发现了一种新型合金材料，由大数据分析得到该产品的性能指标值y（y值越大产品性能越好）与这种新型合金材料的含量x（单位：克）的关系：当 $0 \leq x < 8$ 时，y是x的二次函数；当 $x \geq 8$ 时， $y = {(\frac{1}{2})}^{x - t}$ ．测得的部分数据如下表所示：

x

0

2

4

12

…

y

－4

4

4

$\frac{1}{4}$

…

(1)、求y关于x的函数解析式；

(2)、求该新型合金材料的含量x为何值时产品性能达到最佳．

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21. 已知函数 $f (x)$ 满足 $2 f (x) + f (- x) = 3^{x + 1} + 3^{1 - x}$ ．

(1)、求 $f (x)$ 的解析式；

(2)、若对于任意的 $x \in R$ ，不等式 $f (2 x) - m f (x) + 6 \geq 0$ 恒成立，求实数m的取值范围．

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22. 若对于任意 $x_{1}$ ， $x_{2} \in R$ ，使得 $x_{1} - x_{2} \in W$ ，都有 $f (x_{1}) - f (x_{2}) \in W$ ，则称 $f (x)$ 是W陪伴的．

(1)、判断 $f (x) = 3 x - 1$ 是否为 $[0 ， + \infty)$ 陪伴的，并证明；

(2)、若 $f (x) = a^{x} (a > 0 ， a \neq 1)$ 是 $[0 ， + \infty)$ 陪伴的，求a的取值范围；

(3)、若 $f (x)$ 是 ${2}$ 陪伴的，且是 $(0 ， + \infty)$ 陪伴的，求证： $f (x)$ 是 $(2 ， 4)$ 陪伴的．

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x	2	3	4	5
$f (x)$	4	2	5	2
$g (x)$	4	3	2	4

x	0	2	4	12	…
y	－4	4	4	$\frac{1}{4}$	…