山东省临沂市兰山区、罗庄区2021-2022学年高一上学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2021-12-03 类型：期中考试

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一、单选题

1. 设集合 $A = {x \in Z | - 1 \leq x \leq 2}$ ， $B = {x | x^{2} < 2}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 ${- 1 ， 0 ， 1}$ B、 ${0}$ C、 ${- 1 ， 0}$ D、 ${- 1 ， 0 ， 1 ， 2}$

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2. 已知命题 $p ：$ “ $\exists m \in R$ ， $f (x) = m x - 1$ 是增函数”，则p的否定为（）

A、 $\exists m \in R$ ， $f (x) = m x - 1$ 是减函数 B、 $\forall m \in R$ ， $f (x) = m x - 1$ 是减函数 C、 $\exists m \in R$ ， $f (x) = m x - 1$ 不是增函数 D、 $\forall m \in R$ ， $f (x) = m x - 1$ 不是增函数

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3. 下列四组函数中，表示同一函数的一组是（）

A、 $y = \sqrt{x + 1} \cdot \sqrt{x - 1}$ ， $y = \sqrt{x^{2} - 1}$ B、 $s = {(\sqrt{t})}^{2}$ ， $y = \sqrt{x^{2}}$ C、 $y = \frac{x^{2} - 1}{x - 1}$ ， $m = n + 1$ D、 $y = | x |$ ， $u = \sqrt{v^{2}}$

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4. 《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著，六盘水市第七中学为了解我校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100位学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则在调查的100位同学中阅读过《西游记》的学生人数为（）

A、80 B、70 C、60 D、50

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5. 已知 $f (x) = a x^{2} + b x$ 是定义在 $[a - 1 ， 2 a]$ 上的偶函数，则 $a + b =$ （）

A、1 B、 $\frac{1}{3}$ C、-1 D、3

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6. 函数 $f (x) = \frac{1 - x^{2}}{x^{3}}$ 的图象可能是（）

A、 B、 C、 D、

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7. 函数 $f (x) = x^{2} + 2 (a - 1) x + 2$ 在区间 $(- \infty ， - 4]$ 上单调递减，则a的取值范围是（）

A、 $[- 1 ， + \infty)$ B、 $[- 3 ， + \infty)$ C、 $(- \infty ， 5]$ D、 $(- \infty ， 3]$

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8. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} - x^{2} - a x - 5 ， (x \leq 1) \\ \frac{a}{x} ， (x > 1) \end{array}$ 是R上的增函数，则a的取值范围是（）

A、 $- 3 \leq a < 0$ B、 $- 3 \leq a \leq - 2$ C、 $a \leq - 2$ D、 $a \geq - 3$

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二、多选题

9. 关于幂函数 $f (x) = x^{α}$ ，下列说法正确的是（）

A、若 $f (x) = x^{- 2}$ ，则 $f (x)$ 的定义域是 ${x | x \neq 0}$ B、若 $α = - 1$ ，则 $f (x)$ 是减函数 C、若 $f (x) = x^{α}$ 的图象经过点 $(2 ， 8)$ ，则其解析式为 $f (x) = x^{3}$ D、若 $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ ，则对于任意的 $x_{1} ， x_{2} \in [0 ， + \infty)$ ，都有 $f (\frac{x_{1} + x_{2}}{2}) \geq \frac{f (x_{1}) + f (x_{2})}{2}$

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10. 若 $a$ 、 $b$ 、 $c \in R$ ，则下列命题正确的是（）

A、若 $a b \neq 0$ ，且 $a < b$ ，则 $\frac{1}{a} > \frac{1}{b}$ B、若 $0 < a < 1$ ，则 $a^{3} < a$ C、若 $a < b < 0$ ，则 $a^{2} > a b > b^{2}$ D、若 $c < b < a$ 且 $a c < 0$ ，则 $c b^{2} < a b^{2}$

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11. 已知命题 $p ： \exists x \in R$ ， $x^{2} + a x + 4 < 0$ ，则命题p成立的一个充分不必要条件可以是（）

A、 $a \in (- 4 ， 4)$ B、 $a \in (4 ， + \infty)$ C、 $a \in [- 4 ， 4]$ D、 $a \in (- \infty ， - 4)$

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12. 符号 $[x]$ 表示不超过x的最大整数，如 $[- 3.5] = - 4$ ， $[2.1] = 2$ ，定义函数 $f (x) = x - [x]$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $f (- \frac{2}{3}) < f (\frac{2}{3})$ B、函数 $f (x)$ 是增函数 C、方程 $f (x) - \frac{1}{2021} = 0$ 有无数个实数根 D、 $f (x)$ 的最大值为1，最小值为0

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三、填空题

13. 已知函数 $f (x)$ 是定义域为 $R$ 的奇函数，当 $x \geq 0$ 时， $f (x) = x (1 + x)$ ，则 $f (- 1) =$ ．

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14. 已知 $x < 0$ ，则 $5 + 3 x + \frac{2}{x}$ 的最大值是．

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15. 对任意 $x \in R$ ，一元二次不等式 $(k - 1) x^{2} + (k - 1) x - \frac{3}{8} < 0$ 都成立，则实数k的取值范围为．

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16. 已知 $a \in R$ ，函数 $f (x) = {\begin{array}{l} x^{2} - 4 ， x > 2 \\ | x - a | + 1 ， x \leq 2 \end{array}$ ，若 $f [f (\sqrt{6})] = 3$ ，则 $a =$ ，函数 $f (x)$ 的值域是．

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四、解答题

17. 设全集 $U = R$ ，集合 $A = {x | - 1 \leq x \leq 2}$ ， $B = {x | 2 + x \leq 2 x + 1}$ ．

(1)、求 $∁_{U} (A \cup B)$ ；

(2)、若集合 $C = {x | 3 x - a > 0}$ ，且 $B \subseteq C$ ，求实数a的取值范围．

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18. 已知函数 $f (x) = x + \frac{m}{x}$ 图象过点 $P (1 ， 5)$ ．

(1)、求实数 $m$ 的值，并证明函数 $f (x)$ 是奇函数；

(2)、利用单调性定义证明 $f (x)$ 在区间 $[2 ， + \infty)$ 上是增函数．

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19. 已知定义在 $R$ 上的奇函数 $f (x)$ ，当 $x < 0$ 时 $f (x) = x^{2} + 2 x + 1$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的表达式；

(2)、请画出函数 $f (x)$ 的图象；

(3)、写出函数 $f (x)$ 的单调区间.

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20. 在① $A \cup B = B$ ；②“ $x \in A$ ”是“ $x \in B$ ”的充分不必要条件；③ $A \cap B = \emptyset$ 这三个条件中任选一个，补充到本题第（2）问的横线处，求解下列问题．
问题：已知集合 $A = {x | 2 a - 1 < x \leq a + 1}$ ， $B = {x | - 1 \leq x \leq 3}$ ．

(1)、当 $a = - \frac{1}{2}$ 时，求 $A \cap (∁_{R} B)$ ；

(2)、若 ▲ ，求实数a的取值范围．

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21. 佩戴口罩能起到一定预防新冠肺炎的作用，某科技企业为了满足口罩的需求，决定开发生产口罩的新机器.生产这种机器的月固定成本为 $400$ 万元，每生产 $x$ 台，另需投入成本 $p (x)$ （万元），当月产量不足70台时， $p (x) = \frac{1}{2} x^{2} + 40 x$ （万元）；当月产量不小于70台时， $p (x) = 101 x + \frac{6400}{x} - 2060$ （万元）.若每台机器售价 $100$ 万元，且该机器能全部卖完.

(1)、求月利润 $y$ （万元）关于月产量 $x$ （台）的函数关系式；

(2)、月产量为多少台时，该企业能获得最大月利润？并求出其利润.

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22. 已知 $f (x) = 2 x^{2} - (a + 2) x + a$ ， $a \in R$ .

(1)、解关于 $x$ 的不等式 $f (x) > 0$ ；

(2)、若方程 $f (x) = x + 1$ 有两个正实数根 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，求 $\frac{x_{2}}{x_{1}} + \frac{x_{1}}{x_{2}}$ 的最小值.

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