辽宁省沈阳市五校协作体2021-2022学年高一上学期数学期中联考试卷

试卷更新日期：2021-12-03 类型：期中考试

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一、单选题

1. 设集合 $M = {1 ， 2}$ ，则满足条件 $M \cup N = {1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5}$ 的集合N的个数是（）

A、3 B、4 C、7 D、8

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2. 已知a，b是实数，则“|a＋b|＝|a|＋|b|”是“ab＞0”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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3. 函数 $y = \frac{4 x}{x^{2} + 1}$ 的图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

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4. 关于x的方程 $x^{2} + 6 x + 4 = 0$ 的根为 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，则代数式 $x_{1} \sqrt{\frac{x_{2}}{x_{1}}} + x_{2} \sqrt{\frac{x_{1}}{x_{2}}}$ 的值为（）

A、2 B、-4 C、4 D、-2

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5. 函数 $f (| x | + 1)$ 的定义域为 $[- 1 ， 2]$ ，则函数 $f (2 x)$ 的定义域为（）

A、 $[- \frac{1}{2} ， 1]$ B、 $[\frac{1}{2} ， 1]$ C、 $[1 ， \frac{3}{2}]$ D、 $[\frac{1}{2} ， \frac{3}{2}]$

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6. 若不等式 $\frac{2 x^{2} + x + 1}{2 x + 1} > a$ 在区间 $[0 ， 1]$ 上有解，则实数a的取值范围是（）

A、 $a < \sqrt{2} - \frac{1}{2}$ B、 $a < 1$ C、 $a < \frac{4}{3}$ D、 $a < 2 \sqrt{2} - \frac{1}{2}$

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7. 函数 $y = x^{2} - x + \sqrt{x - 1} - 2 \sqrt{3 - x}$ 的值域为（）

A、 $[- 2 \sqrt{2} ， 6 + \sqrt{2}]$ B、 $[- 2 \sqrt{2} - \frac{1}{4} ， 6 + \sqrt{2}]$ C、 $[- 2 \sqrt{2} ， 6 + \sqrt{3}]$ D、 $[- 2 \sqrt{2} - \frac{1}{4} ， 6 + \sqrt{3}]$

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8. $y = f (x)$ 是定义在R上的奇函数，当 $x < 0$ 时， $f (x) = 9 x + \frac{1}{x} - 2 a + 6$ ，若 $f (x) \geq a - 2$ 对一切 $x \geq 0$ 成立，则实数a的取值范围是（）

A、 $(- \infty ， \frac{2}{3}]$ B、 $[- 2 ， 2]$ C、 $[- 2 ， + \infty)$ D、 $(- \infty ， 2]$

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二、多选题

9. 设函数 $f (x)$ ， $g (x)$ 的定义域为R ，且 $f (x)$ 是奇函数， $g (x)$ 是偶函数，则下列说法中正确的是（）

A、 $| f (x) | \cdot g (x)$ 是偶函数 B、 $f (| x |) \cdot g (x)$ 是偶函数 C、 $f [g (x)]$ 是奇函数 D、 $f [f (x)]$ 是奇函数

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10. 使得函数 $f (x) = \frac{3 x - a - 7}{x - (a + 1)}$ 在区间 $(- \infty ， 0)$ 上单调递增的实数a可能的取值是（）

A、2 B、1 C、0 D、-1

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11. 下列命题中说法正确的是（）

A、若 $x \in R$ ，则 $\sqrt{x^{2} + 2} + \frac{1}{\sqrt{x^{2} + 2}}$ 的最小值为2 B、若 $a + b = 1$ ， $b > 0$ ，则 $\frac{1}{| a |} + \frac{| a |}{b}$ 的最小值为3 C、若a ， $b > 0$ ，且 $a + b = 1$ ，则 $\frac{1}{a + 1} + \frac{1}{2 b + 1}$ 的最小值为 $\frac{3 + 2 \sqrt{2}}{5}$ D、若 $a > b > 0$ ，则 $a^{2} + \frac{1}{(a - b) a} + \frac{1}{a b}$ 的最小值为4

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12. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} | \frac{1}{| x - 1 |} - 1 | ， (x \neq 1) \\ \frac{1}{2} ， (x = 1) \end{array}$ ，若关于x的方程 $2 f^{2} (x) - (2 a + 1) f (x) + a = 0$ 有且仅有9个不同的根，则实数a可能的取值是（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{1}{4}$ D、1

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三、填空题

13. 当 $x \in [0 ， \frac{8}{5}) \cup (\frac{8}{5} ， + \infty)$ 时，则函数 $y = \frac{2}{8 - 5 x}$ 的值域为．

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14. 若函数 $f (x) = {\begin{array}{l} \frac{a - 1}{x} ， x \leq - 1 \\ (a + 3) x + 2 a + 3 ， x > - 1 \end{array}$ 在R上为增函数，则实数a的取值范围是．

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15. 函数 $f (x) = | 20 x | - \frac{5}{1 + 4 x^{2}}$ ，则关于x的不等式 $f (x + 1) > f (2 x - 1)$ 的解集是．

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16. 已知函数 $g (x)$ 满足 $g (x) = - g (\frac{1}{x})$ ，又函数 $F (x) = a x^{2021} + b x^{2019} + 2018$ ，若 $F [g (\sqrt{2} + 1)] = 2022$ ，则 $F [g (\sqrt{2} - 1)]$ 的值为．

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四、解答题

17. 已知集合 $P = {x | 3 < x \leq 18}$ ，非空集合 $Q = {x | 2 a + 1 \leq x < 3 a - 5}$ ．

(1)、当 $a = 8$ 时，求 $P \cap Q$ ；

(2)、求使得 $Q \subseteq P$ 成立的实数a的取值范围．

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18. 已知命题p：“ $\forall x \in R$ ，函数 $f (x) = m x^{2} + m x + 1$ 无零点”，命题q：“方程 $u^{'} (x) > 0 ，$ 有两个不相等的正实数根”，若命题p与命题q有且只有一个真命题，求实数m的取值范围．

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19. 已知函数 $f (x) = x^{2} + (m - 2) x + 5 - m$ ．

(1)、方程 $f (x) = 0$ 的一根在区间 $(2 ， 3)$ 内，另一根在区间 $(3 ， 4)$ 内，求实数m的取值范围；

(2)、方程 $f (x) = 0$ 的两个不等根都在区间 $(1 ， + \infty)$ 上，求实数m的取值范围．

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20. 已知定义域在R上的函数 $f (x)$ 满足， $f (x + y) = f (x) + f (y) + f (0)$ ，且当 $x > 0$ 时， $f (x) < 0$ ．

(1)、证明函数 $f (x)$ 在定义域上的单调性；

(2)、证明函数 $f (x)$ 在定义域上奇偶性；

(3)、求关于x不等式 $f (x^{2} + x) + f (x - 3) > 0$ 的解集．

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21. 已知偶函数 $f (x)$ ，奇函数 $g (x)$ ，若满足 $f (x) + g (x) = x^{2} - x + 1$ ．

(1)、当 $\frac{1}{2} < x < 3$ 时，求函数 $y = \frac{1}{- 2 g (x) - 1} + \frac{4}{4 + x^{2} - x - f (x)}$ 的最小值；

(2)、当 $0 < x \leq 2$ 时，求函数 $y = \frac{f (x) - 1}{x} + \sqrt{2 + g (x)}$ 的值域．

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22. 已知函数 $f (x)$ 为R上的一次函数，满足 $f [f (x)] = 4 x - 1$ ，且 $\frac{f (x_{1}) - f (x_{2})}{x_{1} - x_{2}} < 0$ ，又函数 $g (x)$ 满足 $g (x - \frac{1}{x}) = x^{2} + \frac{1}{x^{2}}$ ．

(1)、求 $f (x)$ 的解析式；

(2)、若 $f (x) \leq m^{2} - 2 a m + 1$ 对所有的 $a \in [- 1 ， 1]$ ，以及所有的 $x \in [0 ， 1]$ 恒成立，求实数m的取值范围；

(3)、 $h (x) = 2 [g (x) - 2] + 4 m x + \frac{4 m - 1}{2} (m > 0)$ ，对任意 $x_{1}$ ， $x_{2} \in [1 ， 3]$ ，恒有 $| h (x_{1}) - h (x_{2}) | \leq 24$ ，求实数m的取值范围．

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