辽宁省沈阳市郊联体2021-2022学年高一上学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2021-12-03 类型：期中考试

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | - 2 < x < 1}$ ， $B = {- 2, - 1, 0, 1, 2}$ ，则集合 $A \cap B =$ （）

A、{0} B、 ${- 1, 0}$ C、 ${0, 1}$ D、 ${- 1, 0, 1}$

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2. 命题“ $\exists x \in R ， x^{2} > 1$ ”的否定是（）

A、 $\exists x \in R ， x^{2} \leq 1$ B、 $\exists x \in R ， x^{2} < 1$ C、 $\forall x \in R ， x^{2} \leq 1$ D、 $\forall x \in R ， x^{2} < 1$

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3. 已知a ， b是实数，则“ $a + b > 2$ ”是“ $a > 1$ 且 $b > 1$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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4. 已知函数 $f (x + 1)$ 的定义域为 $[0 ， 2]$ ，则函数 $f (2 x - 1)$ 定义域为（）

A、 $[1 ， 2]$ B、 $[\frac{1}{2} ， \frac{3}{2}]$ C、 $[0 ， 2]$ D、 $[1 ， 3]$

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5. 函数 $f (x) = \frac{1}{x} - 2 x$ 在区间 $[1 ， 2]$ 上的最小值是（）

A、 $- \frac{7}{2}$ B、 $\frac{7}{2}$ C、1 D、-1

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6. 设 $f (x) = {\begin{array}{l} x - 3 ， x \geq 10 \\ f (x + 6) ， x < 10 \end{array}$ ，则 $f (9) =$ （）

A、10 B、11 C、12 D、13

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7. 若函数 $f (x) = x^{2} + (2 a - 1) x + 1$ 在 $(- \infty ， 2]$ 上是单调递减函数，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $[- \frac{3}{2} ， + \infty)$ B、 $(- \infty ， - \frac{3}{2}]$ C、 $[- \frac{5}{2} ， + \infty)$ D、 $(- \infty ， - \frac{5}{2}]$

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8. 已知函数f(x)是定义在(－∞，＋∞)上的奇函数，当x∈(－∞，0)时，f(x)＝x－x⁴ ，则当x∈(0，＋∞)时，f(x)等于（）

A、x＋x⁴ B、－x－x⁴ C、－x＋x⁴ D、x－x⁴

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二、多选题

9. 已知 $a < b < 0$ ，则（）

A、 $a^{2} < b^{2}$ B、 $a b < b^{2}$ C、 $a b < a^{2}$ D、 $\frac{1}{a} > \frac{1}{b}$

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10. 已知函数 $f (x) = x^{2} - 2 x + a$ 有两个零点 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，则（）

A、 $a < 1$ B、若 $x_{1} x_{2} \neq 0$ ，则 $\frac{1}{x_{1}} + \frac{1}{x_{2}} = \frac{2}{a}$ C、 $f (- 1) = f (3)$ D、函数 $y = f (| x |)$ 有四个零点

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11. 已知函数 $f (x) ， g (x)$ 的定义域都是R ，且 $f (x)$ 是奇函数， $g (x)$ 是偶函数，则（）

A、 $f (x) \cdot | g (x) |$ 是奇函数 B、 $| f (x) | \cdot g (x)$ 是奇函数 C、 $f (x) \cdot g (x)$ 是偶函数 D、 $| f (x) \cdot g (x) |$ 是偶函数

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12. 符号 $[x]$ 表示不超过 $x$ 的最大整数，如 $[3.14] = 3$ ， $[- 1.6] = - 2$ ，定义函数: $f (x) = x - [x]$ ，则下列命题正确的是（）

A、 $f (- 0.8) = 0.2$ B、当 $1 \leq x < 2$ 时， $f (x) = x - 1$ C、函数 $f (x)$ 的定义域为 $R$ ，值域为 $[0, 1)$ D、函数 $f (x)$ 是增函数､奇函数

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三、填空题

13. 函数 $f (x) = a x^{2} + b x + 3 + b$ 是偶函数，且定义域为 $[a - 1 ， 2 a]$ ，则 $a + b =$ .

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14. 已知x ， $y \in R^{+}$ ， $4 x + 5 y = 1$ ，则 $\frac{1}{x + 3 y} + \frac{1}{3 x + 2 y}$ 的最小值．

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15. 函数 $f (x) = {\begin{array}{l} - x^{2} - a x - 5 ， x \leq 1 \\ \frac{a}{x} ， x > 1 \end{array}$ 满足对任意 $x_{1} \neq x_{2}$ 都有 $\frac{f (x_{1}) - f (x_{2})}{x_{1} - x_{2}} > 0$ ，则a的取值范围是．

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16. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} \sqrt{x} ， (0 \leq x \leq 4) \\ - x + 6 ， (x > 4) \end{array}$ ，若 $f (x)$ 在区间 $[a ， b]$ 上的值域为 $[- 2 ， 2]$ ，则 $a + b$ 的一个可能的值为．

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四、解答题

17. 已知a ， b ， $c > 0$ ，求证： $\frac{a^{2}}{b} + \frac{b^{2}}{c} + \frac{c^{2}}{a} \geq a + b + c$ ．

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18. 设集合 $A = {x | 1 - a \leq x \leq 1 + a}$ ，集合 $B = {x | - 5 < x < 1}$ ；

(1)、当 $a = 2$ 时，求 $A \cap B$ ；

(2)、若 $A \subseteq B$ ，求实数 $a$ 的取值范围；

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19. 已知函数 $f (x) = x^{2} - 2 a x + 2$ ， $x \in [- 3 ， 3]$ ．

(1)、当 $a = - 5$ 时，求 $f (x)$ 的最小值；

(2)、若 $y = f (x)$ 在区间 $[- 3 ， 3]$ 上的最大值为14，求实数 $a$ 的值．

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20. 已知函数 $f (x) = \frac{x^{2} + b x + 1}{a x} (a > 0)$ 为奇函数，且函数 $y = f (x) - 2$ 有且只有一个零点．

(1)、求函数 $f (x)$ 的解析式；

(2)、解不等式 $f (x) \geq \frac{5}{2}$ .

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21. 设函数 $f (x) = {\begin{array}{l} x + \frac{a}{x} ， x \in (0 ， 1] \\ - x^{2} + a x + 2 ， x \in (1 ， + \infty) \end{array}$ ， $a \in R$ ．

(1)、若 $f (x)$ 在 $(0 ， + \infty)$ 上是单调函数，求 $a$ 的取值范围；

(2)、在（1）的条件下求 $f (x)$ 在 $[1 ， 4]$ 上的最大值 $g (a)$ ．

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22. 若 $f (x)$ 是定义在 $(0 ， + \infty)$ 上的函数，且满足 $f (\frac{x}{y}) = f (x) - f (y)$ ，当 $x > 1$ 时， $f (x) > 0$ .

(1)、判断并证明函数的单调性；

(2)、若 $f (2) = 1$ ，解不等式 $f (x + 3) - f (\frac{1}{x}) < 2$ .

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