江西省景德镇市2021-2022学年高一上学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2021-12-03 类型：期中考试

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一、单选题

1. 已知集合 $M = {x | - 2 \leq x \leq 4}$ ， $N = {x | x < - 1}$ ，那么集合 $M \cap N$ 等于（）

A、 ${x | 2 \leq x < 4}$ B、 ${x | x \leq 3$ 或 $x \geq 4}$ C、 ${x | - 2 \leq x < - 1}$ D、 ${x | 1 \leq x \leq 3}$

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2. 命题“ $\forall x > 0 ， - x^{2} + 2 x - 3 < 0$ ”的否定为（）

A、 $\forall x > 0$ ， $- x^{2} + 2 x - 3 > 0$ B、 $\forall x \leq 0$ ， $- x^{2} + 2 x - 3 \geq 0$ C、 $\exists x_{0} > 0$ ， $- x_{0}^{2} + 2 x_{0} - 3 \geq 0$ D、 $\exists x_{0} > 0$ ， $- x_{0}^{2} + 2 x_{0} - 3 < 0$

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3. 设 $x \in R$ ，则“ $x - 2 = 0$ ”是“ $x^{2} = 4$ ”的（）

A、充分而不必要条件 B、必要而不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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4. 如果实数 $a$ ， $b$ 满足 $a < b < 0$ ，那么下列不等关系成立的是（）

A、 $a^{2} < b^{2}$ B、 $a b < b^{2}$ C、 $- a b < - a^{2}$ D、 $- \frac{1}{a} < - \frac{1}{b}$

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5. 若函数f（x）=2x²-ax+3在区间[1，2）上单调递增，则a的取值范围是（）

A、（-∞，2] B、（-∞，4] C、[2，+∞） D、[4，+∞）

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6. 已知 $f (x)$ 在 $R$ 上为减函数，则（）

A、 $f (a^{2}) \leq f (a)$ B、 $f (a^{2}) \geq f (a)$ C、 $f (a^{2} + 1) > f (a)$ D、 $f (a^{2} + 1) < f (a)$

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7. 若函数 $y = \frac{a x - 2}{\sqrt{a x^{2} - 4 a x + 2}}$ 的定义城为R，则实数 a的取值范围是（）

A、[0，1] B、[0，1） C、[0， $\frac{1}{2}$ ] D、[0， $\frac{1}{2}$ ）

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8. 函数 $y = \frac{4 x}{x^{2} + 1}$ 的图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

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9. 已知 $f (x) = x^{3}$ ， $g (x) = x^{2}$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $x \in (0 ， + \infty)$ 时，恒有 $f (x) \geq g (x)$ B、 $f (x)$ 与 $g (x)$ 函数图象仅有唯一交点 C、 $x \in (0 ， 1)$ 时， $f (x)$ 图象在 $g (x)$ 图象下方 D、存在 $x_{0} \in (1 ， + \infty)$ 使得 $f (x_{0}) = g (x_{0})$

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二、多选题

10. 下列各组函数中，两个函数是同一函数的有（）

A、 $f (x) = | x |$ 与 $g (x) = \sqrt{x^{2}}$ B、 $f (x) = x + 1$ 与 $g (x) = \frac{x^{2} - 1}{x - 1}$ C、 $f (x) = \frac{| x |}{x}$ 与 $g (x) = {\begin{array}{l} 1, & x > 0 \\ - 1, & x < 0 \end{array}$ D、 $f (x) = \sqrt{x^{2} - 1}$ 与 $g (x) = \sqrt{x + 1} \cdot \sqrt{x - 1}$

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11. 已知集合 $A = {x | x^{2} + x - 6 = 0}$ ， $B = {x | m x + 1 = 0}$ ，则 $B$ 是 $A$ 的真子集的充分不必要条件可以是（）

A、 $m \in {- \frac{1}{2} ， \frac{1}{3}}$ B、m∈ ${\frac{1}{2}}$ C、m∈ ${0 ， - \frac{1}{2} ， \frac{1}{3}}$ D、 $m \in {0 ， \frac{1}{3}}$

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12. 定义 $\max {a ， b} = {\begin{matrix} a ， a > b \\ b ， a \leq b \end{matrix}$ ，若函数 $f (x) = \max {x^{2} - 3 x + 3 ， - | x - 3 | + 3}$ ，且 $f (x)$ 在区间 $[m ， n]$ 上的值域为 $[1 ， 3]$ ，则区间 $[m ， n]$ 长度可能为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、1 C、 $\frac{7}{4}$ D、 $\frac{7}{2}$

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三、填空题

13. 集合 ${x | 1 < x < 6 ， x \in N^{*}}$ 的非空子集个数为.

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14. 函数 $y = \frac{\sqrt{x + 2}}{x}$ 的定义域是.

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15. 已知函数 $f (x) = {\begin{matrix} (a - 3) x + 5 ， x \leq 1 \\ \frac{2 a}{x} ， x > 1 \end{matrix}$ ，若对 $R$ 上的任意实数 $x_{1} ， x_{2} (x_{1} \neq x_{2})$ ，恒有 $(x_{1} - x_{2}) [f (x_{1}) - f (x_{2})] < 0$ 成立，那么 $a$ 的取值范围是.

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16. 函数 $y = x + \frac{4}{x + 1} + 3 (x > 0)$ 的最小值为，此时的x的取值为.

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四、解答题

17. 已如集合 $A = {x | x^{2} - 2 x - 3 \leq 0}$ ， $B = {x | y = \sqrt{x - 2}}$ .

(1)、用区间表示集合A和B；

(2)、求 $A \cup B$ 和 $A \cap (∁_{R} B)$ .

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18. 已知命题 $p ：$ 实数 $x$ 满足 $x^{2} - 5 a x + 4 a^{2} < 0 (a > 0)$ ；命题 $q ：$ 实数 $x$ 满足 $x^{2} - 5 x + 6 < 0$ .

(1)、当 $a = 1$ 时，若 $p$ 和 $q$ 都为真，求 $x$ 的取值范围；

(2)、若 $q$ 是 $p$ 的充分不必要条件，求实数 $a$ 的最值.

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19. 已知函数 $f (x) = \frac{x}{x^{2} - 4}$ .

(1)、判断函数f（x）在（2.+∞）上的单调性并证明；

(2)、判断函数f（x）的奇偶性，并求f（x）在区间[-5，-3]上的最大值与最小值.

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20. 已知函数 $f (x) = \frac{a x + b}{x^{2} + 1}$ 是定义在(-1，1)上的奇函数，且 $f (\frac{1}{2}) = \frac{2}{5}$ .

(1)、求函数f(x)的解析式；

(2)、解关于x的不等式f(2x-1)+f(x)<0.

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21. 2019年某开发区一家汽车生产企业计划引进一批新能源汽车制造设备，通过市场分析，全年需投入固定成本3000万元，生产 $x$ （百辆），需另投入成本 $C (x)$ 万元，且 $C (x) = {\begin{array}{l} 10 x^{2} + 200 x ， 0 < x < 50 \\ 601 x + \frac{10000}{x} - 9000 ， x \geq 50 \end{array}$ ，由市场调研知，每辆车售价为6万元，且全年内生产的车辆当年能全部销售完.

(1)、求出2019年的利润 $L (x)$ （万元）关于年产量 $x$ （百辆）的函数关系式；

(2)、2019年年产量为多少百辆时，企业所获利润最大？求出最大利润？

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22. 已知 $f (x) = x \cdot | x |$ .

(1)、若 $\exists x \in [- 2 ， 2]$ ， f(x)>a-4 成立，求a的取值范围；

(2)、若 $g (x) = 2 f (x) + | m x - 1 | (m > 0)$ ，在 $x \in (- 1 ， + \infty)$ 上有最小值，求实数m的取值范围.

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