江苏省苏州市2021-2022学年高一上学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2021-12-03 类型：期中考试

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一、单选题

1. 已知命题 $q : \forall x \in R, x^{2} + 1 > 0$ ，则 ${}^{\neg}q$ 为（）

A、 $\forall x \in R, x^{2} + 1 \leq 0$ B、 $\exists x \in R, x^{2} + 1 < 0$ C、 $\exists x \in R, x^{2} + 1 \leq 0$ D、 $\exists x \in R, x^{2} + 1 > 0$

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2. 已知集合 $A = {x \in N | - 2 \leq x \leq 2}$ ， $B = {x | x - 1 > 0}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 ${x | 1 < x \leq 2}$ B、 ${x | x \geq - 2}$ C、 ${2}$ D、 ${- 2 ， - 1 ， 0 ， 1 ， 2}$

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3. 如果 $a < b < 0$ ， $c < d < 0$ ，那么下面一定成立的是（）

A、 $a + d < b + c$ B、 $a c < b d$ C、 $a c^{2} > b c^{2}$ D、 $\frac{d}{a} < \frac{c}{a}$

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4. 已知幂函数 $y = (m^{2} - 3 m + 3) x^{2 m - 3}$ 在 $(0 ， + \infty)$ 上单调递减，则 $m$ 的值为（）

A、1 B、2 C、1或2 D、3

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5. 命题“ $\forall x \in R$ ， $2 k x^{2} + k x - \frac{3}{8} < 0$ ”是真命题，则实数 $k$ 的取值范围是（）

A、 $(- 3 ， 0)$ B、 $(- 3 ， 0]$ C、 $[0 ， 3)$ D、 $(- \infty ， - 3) \cup [0 ， + \infty)$

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6. 设命题 $p ： a > 1$ ，命题 $q ： \frac{1}{a} < 1$ ，则命题 $p$ 是命题 $q$ 成立的（）条件

A、充分不必要 B、必要不充分 C、充要 D、既不充分也不必要

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7. 已知函数 $y = f (x)$ 与 $y = g (x)$ 的图象如图所示，则函数 $y = f (x) \cdot g (x)$ 的图象可能是（）

A、 B、 C、 D、

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8. 已知函数 $f (x) = x + \frac{1}{x} - 2$ ， $g (x) = x^{2} - a x - a - 1$ ，设 $α \in {x | f (x) = 0}$ ， $β \in {x | g (x) = 0}$ ，若存在 $α$ ， $β$ ，使得 $| α - β | \leq 1$ ，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $[0 ， 2]$ B、 $(- \infty ， 0] \cup [2 ， + \infty)$ C、 $[- 1 ， 1]$ D、 $(- \infty ， - 1] \cup [1 ， + \infty]$

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二、多选题

9. 已知集合 $A = {- 1 ， 1}$ ， $B = {x | k x = 1}$ ，且 $B \subseteq A$ ，则实数 $k$ 的值可以为（）

A、-1 B、0 C、1 D、2

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10. 已知 $f (2 x + 1) = 4 x^{2}$ ，则（）

A、 $f (1) = 4$ B、 $f (- 1) = 4$ C、 $f (x) = x^{2}$ D、 $f (x) = {(x - 1)}^{2}$

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11. 已知函数 $y = f (x)$ 是定义在 $R$ 上的偶函数，当 $x \leq 0$ 时， $f (x) = x (x + 1)$ ，则下列说法正确的是（）

A、函数 $f (x)$ 有3个单调区间 B、当 $x > 0$ 时， $f (x) = x (x - 1)$ C、函数 $f (x)$ 有最小值 $- \frac{1}{4}$ D、不等式 $f (x) < 0$ 的解集是 $(- 1 ， 1)$

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12. 已知 $a > 0$ ， $b > 0$ ， $c > 0$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $\sqrt{a} + \frac{1}{\sqrt{a}} \geq 2$ B、 $\frac{a^{2} + 3}{\sqrt{a^{2} + 2}}$ 的最小值为2 C、若 $a + 2 b = 1$ ，则 $\frac{1}{a} + \frac{2}{b}$ 的最小值是9 D、若 $2 a + b + c = 4$ ，则 $a (a + b + c) + b c$ 的最大值为4

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三、填空题

13. 函数 $f (x) = \frac{\sqrt{4 - x}}{x - 1}$ 定义域是.

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14. 若关于 $x$ 的不等式 $x^{2} - 2 a x - 8 a^{2} < 0 (a > 0)$ 的解集为 $(c ， c + 3)$ ，则实数 $a$ 的值为.

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15. 已知 $x$ ， $y$ 都是正实数，且 $x + 2 y = x y$ ，则 $x y$ 的最小值为.

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16. 已知定义在 $R$ 上的函数 $f (x)$ 满足 $f (- x) = 2 - f (x)$ ，且在 $(- \infty ， 0]$ 上是增函数，不等式 $f (a x + 2) + f (1) \leq 2$ 对于 $x \in [1 ， 2]$ 恒成立，则 $a$ 的取值范围是.

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四、解答题

17. 已知全集为 $R$ ，集合 $A = {x | x^{2} < 4}$ ， $B = {x | (x - m - 1) (x - m - 7) > 0}$ .

(1)、若 $m = - 2$ ，求集合 $A \cup ∁_{R} B$ ；

(2)、请在①“ $x \in A$ ”是“ $x \in B$ ”的充分不必要条件，②若 $x \in A$ ，则 $x \notin B$ ，③ $A \subseteq ∁_{R} B$ ，这三个条件中任选一个，补充在下面问题的横线上，并完成问题解答.
若 ▲ ，求实数 $m$ 的取值范围.

（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.）

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18. 已知二次函数 $f (x) = a x^{2} + b x + c$ （ $a$ ， $b$ ， $c$ 均为常数， $a \neq 0$ ），若 $- 1$ 和3是函数 $f (x)$ 的两个零点，且 $f (x)$ 最大值为4.

(1)、求函数 $f (x)$ 的解析式；

(2)、试确定一个区间 $D$ ，使得 $f (x)$ 在区间 $D$ 内单调递减，且不等式 $f (x) \geq - m x - m (m > 0)$ 在区间 $D$ 上恒成立.

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19. 已知函数 $f (x) = \frac{x^{2} + k x + 1}{x}$ 是奇函数.

(1)、求 $k$ 的值；

(2)、求证：函数 $f (x)$ 在 $[1 ， + \infty)$ 上单调递增；

(3)、若对任意的 $x_{1} ， x_{2} \in [1 ， 3]$ ，都有 $f (x_{1}) - f (x_{2}) \leq a^{2} - \frac{4}{3} a$ ，求实数 $a$ 的取值范围.

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20. 已知函数 $f (x) = x^{2} - 4 x + 3$ ， $g (x) = x - 1$ ， $\forall x \in R$ ，用 $m (x)$ 表示 $f (x)$ ， $g (x)$ 中的较小者，记为 $m (x) = \min {f (x) ， g (x)}$ .

(1)、写出函数 $m (x)$ 的解析式，并画出它的图象；

(2)、当 $x \in [0 ， n] (n > 0)$ 时，若函数 $m (x)$ 的最大值为 $\frac{1}{2} n - \frac{3}{4}$ ，求实数 $n$ 的取值集合.

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21. 某学习小组在社会实践活动中，通过对某种商品销售情况的调查发现：该商品在过去的一个月内（以30天计）的日销售价格 $P (x)$ （单位：元）与时间 $x$ （单位：天）的函数关系近似满足 $P (x) = 1 + \frac{k}{x}$ （ $k$ 为正常数），该商品的日销售量 $Q (x)$ （单位：个）与时间 $x$ 部分数据如下表所示：

$x$ (天)

5

10

15

20

25

30

$Q (x)$ (个)

55

60

65

70

65

60

已知第10天该商品的日销售收入为72元.

(1)、求 $k$ 的值；

(2)、给出以下二种函数模型：① $Q (x) = a x + b$ ，② $Q (x) = a | x - 20 | + b$ ，请你根据上表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数来描述该商品的日销售量 $Q (x)$ 与时间 $x$ 的关系，并求出该函数的解析式；

(3)、求该商品的日销售收入 $f (x)$ （ $1 \leq x \leq 30$ ， $x \in N^{*}$ ）（单位：元）的最小值.

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22. 定义在 $R$ 上的函数 $f (x)$ 满足：对任意给定的非零实数 $x_{1}$ ，存在唯一的非零实数 $x_{2} (x_{1} \neq x_{2})$ ，有 $f (x_{1}) = f (x_{2})$ 成立，则称函数 $f (x)$ 是“ $v$ 型函数”.已知函数 $f (x) = x^{2} - (a^{2} + a + 2) x + 2$ ， $g (x) = a | x + a | + a^{2}$ ， $a \in R$ .

(1)、若 $f (x)$ 在区间 $[0 ， 2]$ 上具有单调性，求实数 $a$ 的取值范围；

(2)、设函数 $h (x) = {\begin{array}{l} f (x) ， x \leq 0 \\ g (x) ， x > 0 \end{array}$ ，是否存在实数 $a$ ，使得 $h (x)$ 是“ $v$ 型函数”，若存在，求出实数 $a$ 的值；若不存在，请说明理由.

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$x$ (天)	5	10	15	20	25	30
$Q (x)$ (个)	55	60	65	70	65	60