河南省郑州市十校2021-2022学年高一上学期数学期中联考试卷

试卷更新日期：2021-12-03 类型：期中考试

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一、单选题

1. 下列四个结论：① $\emptyset \subseteq \emptyset$ ；② $0 \in \emptyset$ ；③ ${0}$ $\neq$ $\emptyset$ ；④ ${0} = \emptyset$ .其中正确结论的序号有几个（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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2. 已知 $M = x^{2} + 4 x - 2 ， N = 6 x - 5 ， x \in R$ ，下列关系正确的是（）

A、 $M \leq N$ B、 $M < N$ C、 $M = N$ D、 $M > N$

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3. 以下各组函数是同一个函数的是（）

A、 $f (x) = \sqrt{x^{2}}$ ， $g (x) = \sqrt[3]{x^{3}}$ B、 $f (x) = \frac{| x |}{x}$ ， $g (x) = {\begin{array}{l} 1 ， x \geq 0 ， \\ - 1 ， x < 0 \end{array}$ C、 $f (x) = \frac{x}{x}$ ， $g (x) = \frac{1}{x^{0}}$ D、 $f (x) = \sqrt{x} \cdot \sqrt{x + 1}$ ， $g (x) = \sqrt{x^{2} + x}$

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4. 命题“对任意的 $x \in R$ ，都有 $x^{2} - 2 x + 1 \geq 0$ .”的否定是（）

A、不存在 $x \in R$ ，使得 $x^{2} - 2 x + 1 \geq 0$ B、存在 $x \in R$ ，使得 $x^{2} - 2 x + 1 \leq 0$ C、存在 $x \notin R$ ，使得 $x^{2} - 2 x + 1 < 0$ D、存在 $x \in R$ ，使得 $x^{2} - 2 x + 1 < 0$

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5. 已知 $f (x)$ 是 $R$ 上的偶函数， $g (x)$ 是 $R$ 上的奇函数，它们的部分图像如图，则 $f (x) \cdot g (x)$ 的图像大致是（）

A、 B、 C、 D、

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6. 若a ， b ， c ， d均为实数，则下列不等关系中一定成立的是（）

A、若 $a > b ， c < d$ ，则 $a + c > b + d$ B、若 $a > b ， c > d$ ，则 $a c > b d$ C、若 $b c - a d > 0 ， \frac{c}{a} - \frac{d}{b} > 0$ ，则 $a b < 0$ D、若 $a > b > 0 ， c > d > 0$ ，则 $\sqrt{\frac{a}{d}} > \sqrt{\frac{b}{c}}$

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7. $\forall x ，$ $[x]$ 表示不超过x的最大整数，那么“ $[x] = [y]$ ”是“ $| x - y | \leq 1$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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8. 已知集合 $A = {x | x^{2} + 3 x - 4 = 0}$ ，集合 $B = {x | x^{2} + (a + 1) x - a - 2 = 0}$ ，且 $A \cup B = A$ ，则实数 $a$ 的取值集合为（）

A、 ${- 3 ， 2}$ B、 ${- 3 ， 0 ， 2}$ C、 ${a | a \geq - 3}$ D、 ${a | a < - 3 或 a = 2}$

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9. 某单位计划今明两年购买某物品，现有甲、乙两种不同的购买方案，甲方案：每年购买的数量相等；乙方案：每年购买的金额相等，假设今明两年该物品的价格分别为 $p_{1}$ 、 $p_{2}$ $(p_{1} \neq p_{2})$ ，则这两种方案中平均价格比较低的是（）

A、甲 B、乙 C、甲、乙一样 D、无法确定

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10. 已知 $a > 0$ ， $b > 0$ ，且 $\frac{1}{a} + \frac{4}{b} = 1$ ，则下列结论正确的是（）
① $a > 1$

②ab的最小值为16

③ $a + b$ 的最小值为8

④ $\frac{1}{a - 1} + \frac{9}{b}$ 的最小值为2

A、①② B、①②③ C、①②④ D、②③④

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11. 已知幂函数 $y = x^{m^{2} - 2 m - 3} (m \in N^{*})$ 的图象关于y轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，则满足 ${(a + 1)}^{- \frac{m}{3}} < {(3 - 2 a)}^{- \frac{m}{3}}$ 的a的取值范围为（）

A、 $(- \infty ， - 1) \cup (\frac{2}{3} ， \frac{3}{2})$ B、 $(- 1 ， \frac{2}{3})$ C、 $(- \infty ， - 1) \cup (\frac{3}{2} ， + \infty)$ D、 $(\frac{2}{3} ， + \infty)$

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12. 若命题“ $\forall x \in R$ ，使得 $a x^{2} - (a - 1) x - 1 \leq 0$ ”是真命题，则实数 $a$ 的取值集合是（）

A、 ${- 1 ， 0}$ B、 ${- 1}$ C、 $[- 1 ， 0)$ D、 $\emptyset$

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二、填空题

13. 已知 $f (x) = a x^{2} + b x$ 是定义在 $[b - 3 ， b + 1]$ 上的奇函数，那么 $a + b$ 的值为.

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14. 若 ${(2 m + 1)}^{\frac{1}{4}} > {(m^{2} + m - 1)}^{\frac{1}{4}}$ ，则实数m的取值范围是.

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15. 已知 $x > 0$ ， $y > 0$ ，且满足 $(x + 3) (y + 1) = 18$ ，则 $x + 2 y$ 的最小值为.

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16. 已知函数 $f (x) = x^{2} - 2 x$ ， $g (x) = a x + 2 (a > 0)$ ，若对任意 $x_{1} \in [- 1 ， 2]$ ，总存在 $x_{2} \in [- 1 ， 2]$ ，使得 $f (x_{1}) = g (x_{2})$ ，则实数a的取值范围是.

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三、解答题

17. 已知集合 $A = {x | - 3 \leq x < 4} ， B = {x | 2 m - 1 \leq x \leq m + 1}$

(1)、当 $m = 1$ 时，求出 $A \cup B ， A \cap$ $∁_{R} B$ ；

(2)、若 $B \subseteq A$ ，求实数m的取值范围.

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18. 已知函数 $f (x) = {\begin{matrix} 3 - x^{2} & x > 0 \\ 2 & x = 0 \\ 1 - 2 x & x < 0 \end{matrix}$

(1)、画出函数 $f (x)$ 的图象；

(2)、求 $f (f (3)) ， f (a^{2} + 1) (a \in R)$ 的值；

(3)、当 $f (x) \geq 2$ 时，求x的取值范围.

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19.

(1)、已知x>3，求 $\frac{4}{x - 3} + x$ 的最小值；

(2)、若实数 $x ， y$ 满足 $2 x^{2} + y^{2} = 8$ ，求 $y^{2} + 4 x - 4$ 的取值范围.

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20. 某镇在政府“精准扶贫”的政策指引下，充分利用自身资源，大力发展养殖业，以增加收入，政府计划共投入72万元，全部用于甲、乙两个合作社，每个合作社至少要投入15万元，其中甲合作社养鱼，乙合作社养鸡，在对市场进行调研分析发现养鱼的收益M、养鸡的收益N与投入a（单位：万元）满足 $M = {\begin{array}{l} 4 \sqrt{a} + 25 ， 15 \leq a \leq 36 \\ 49 ， 36 \leq a \leq 57 \end{array} ， N = \frac{1}{2} a + 20$ ．设甲合作社的投入为x（单位：万元），两个合作社的总收益为f（x）（单位：万元）．

(1)、当甲合作社的投入为25万元时，求两个合作社的总收益；

(2)、试问如何安排甲、乙两个合作社的投入，才能使总收益最大？

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21.

(1)、求不等式 $- x^{2} + 3 x + 4 < 0$ 的解集；

(2)、若 $a \in [0 ， 1]$ 解关于 $x$ 的不等式 $x^{2} - x + a (1 - a) < 0$ .

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22. 已知函数 $f (x) = a x^{2} - x + 2 a - 1$ （a为实常数）．

(1)、若 $a > 0$ ，设 $f (x)$ 在区间 $[1，2]$ 的最小值为 $g (a)$ ，求 $g (a)$ 的表达式：

(2)、设 $h (x) = \frac{f (x)}{x}$ ，若函数 $h (x)$ 在区间 $[1，2]$ 上是增函数，求实数a的取值范围．

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