河南省新乡市2021-2022学年高一上学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2021-12-03 类型：期中考试

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {0 ， 1 ， 2 ， 5 ， 10}$ ， $B = {- 1 ， 0 ， 1 ， 3 ， 7}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 ${0 ， 1 ， 2}$ B、 ${1}$ C、 ${1 ， 2}$ D、 ${0 ， 1}$

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2. 命题“ $\forall x \in R$ ， $| x | \geq - x$ ”的否定是（）

A、 $\forall x \in R$ ， $| x | < - x$ B、 $\forall x \geq 0$ ， $| x | \geq - x$ C、 $\exists x \in R$ ， $| x | < - x$ D、 $\exists x < 0$ ， $| x | = - x$

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3. 若 $- 1 < a - b < 1$ ， $0 < a + 2 b < 2$ ，则 $2 a + b$ 的取值范围是（）

A、 $(- 1 ， 3)$ B、 $(- 1 ， 1)$ C、 $(0 ， 1)$ D、 $(0 ， 2)$

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4. 下列选项中两个集合相等的是（）

A、 $M = {- 1 ， 3}$ ， $N = {x | (x - 3) (x - 1) = 0}$ B、 $M = {a | a = 3 n - 1 ， n \in Z}$ ， $N = {b | b = 3 k + 2 ， k \in Z}$ C、 $M = {(x ， y) | \sqrt{x - 1} + {(y + 2)}^{2} = 0}$ ， $N = {1 ， - 2}$ D、 $M = {(x ， y) | y = | x |}$ ， $N = {y | y = | x |}$

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5. 已知幂函数 $f (x)$ 在 $(0 ， + \infty)$ 上单调递减，则 $f (x)$ 的解析式可能为（）

A、 $f (x) = x$ B、 $f (x) = x^{3}$ C、 $f (x) = \sqrt{x}$ D、 $f (x) = \frac{1}{x^{2}}$

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6. 设表格表示的函数为 $y = f (x)$ ，关于此函数下列说法正确的是（）

x

0.1

0.2

0.5

0.8

0.9

y

1

0

1

0

1

A、 $f (x)$ 的定义域是 $(0 ， 1)$ B、 $f (f (0.1) - 0.8 f (0.5)) = 1$ C、 $f (x)$ 的值域是 ${0 ， 1}$ D、 $f (x)$ 的图象无对称轴

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7. 函数 $f (x) = x^{3} - x \sqrt{| x |}$ 的图象可能是（）

A、 B、 C、 D、

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8. 已知正实数 $a$ ， $b$ 满足 $\frac{1}{a} + \frac{2}{b} = 1$ ，当 $a + 8 b$ 取得最小值时， $a =$ （）

A、3 B、5 C、 $\frac{5}{2}$ D、 $\frac{7}{2}$

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9. 若不计空气阻力，则竖直上抛的物体距离抛出点的高度 $h$ （单位： $m$ ）与时间 $t$ （单位： $s$ ）满足关系式 $h = v_{0} t - \frac{1}{2} g t^{2}$ （取 $g = 10 {m/s}^{2}$ ）．一同学在体育课上练习排球垫球，某次垫球，排球离开手肾竖直上抛的瞬时速度 $v_{0} = 11 m / s$ ，则排球能够在垫出点 $2 m$ 以上位置最多停留（）

A、 $2 s$ B、 $1.5 s$ C、 $1.8 s$ D、 $2.2 s$

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10. 已知函数 $f (x)$ 的定义域 $D = (- 1 ， 2)$ ， $\forall x_{1}$ ， $x_{2} \in D$ 且 $x_{1} \neq x_{2}$ ， $(x_{1} - x_{2}) [f (x_{1}) - f (x_{2})] > 0$ ．若 $f (2 a - 1) > f (1 - 3 a)$ ，则 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(\frac{2}{5} ， \frac{2}{3})$ B、 $(\frac{2}{5} ， + \infty)$ C、 $(- \frac{1}{3} ， \frac{3}{2})$ D、 $(0 ， \frac{2}{5})$

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11. 已知 $a + 2 b = 1$ 且 $b > 0$ ．若关于 $x$ 的不等式 $x^{2} - 2 a x + 5 - 4 b > 0$ 的解集为 $R$ ，则 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(0 ， 1)$ B、 $(- 1.1)$ C、 $(0 ， 2)$ D、 $(- 1 ， 3)$

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12. 设 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的奇函数，且 $f (x)$ 在 $(0 ， + \infty)$ 上单调递减， $f (- 7) = 0$ ，则不等式 $x f (x - 3) \geq 0$ 的整数解的个数是（）

A、8 B、9 C、12 D、13

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二、填空题

13. 函数 $y = \frac{2}{1 - x} + \sqrt{x - 1}$ 的定义域为.

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14. 当 $x \in (- 1 ， + \infty)$ 时， $2 x + 2 + \frac{1}{x + 1}$ 的最小值是.

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15. 设集合 $A = {x | x < \sqrt{m}}$ ， $B = {x | 0 < x + 1 < 4}$ ，若 $A \cup B = A$ ，则 $m$ 的取值范围是．

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16. 设函数 $f (x) = {\begin{array}{l} 1 ， 0 \leq x < 1 \\ 2 f (x - 1) ， x \geq 1 \end{array}$ ，则 $f (4) =$ ，满足 $f (f (a - 1)) = 4$ 的 $a$ 的取值范围是.

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三、解答题

17. 已知集合 $A = {x | 0 < x < 2}$ ， $B = {x | x < - 1$ 或 $x > 1}$ ， $C = {x \in N | x \leq 3}$ .

(1)、求 $A \cup B$ ， $A \cap B$ ；

(2)、求 $(∁_{R} A) \cap C$ .

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18. 如图，某动物园要建造两间一样大小的长方形动物居室，可供建造围墙的材料总长为 $60 m$ ，设每间动物居室的宽为 $x m$ ，面积为 $y m^{2}$ ．

(1)、求 $y$ 关于 $x$ 的函数关系式；

(2)、当动物居室的宽为多少时，才能使所建的每间动物居室面积最大，并求最大面积．

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19. 已知函数 $f (x) = - 2 x^{2} + a x + 1$ ，设 $p$ ： $f (x)$ 在 $(- \infty ， 1]$ 上单调递增，在 $[2 ， + \infty)$ 上单调递减； $q$ ： $m - 3 \leq a \leq 2 m$ .

(1)、若 $a = 4$ ，求 $f (x)$ 在 $R$ 上的值域；

(2)、若 $p$ 是 $q$ 的充分不必要条件，求 $m$ 的取值范围.

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20. 已知函数 $f (x) = x^{2} + \frac{2}{x} (x \geq 1)$ .

(1)、判断 $f (x)$ 的单调性，并用定义法证明；

(2)、记 $f (x)$ 的最小值为 $a$ ，集合 $A = {x | x = \frac{9 n + 30}{n^{2}} ， n \in N_{+}}$ ，判断 $a$ 是否属于集合 $A$ ，并说明理由.

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21. 如图， $△ O A B$ 在平面直角坐标系 $x O y$ 内，点 $A$ ， $B$ 的坐标分别为 $(1 ， 1)$ 和 $(3 ， 0)$ ，记 $△ O A B$ 位于直线 $x = t (0 < t \leq 3)$ 左侧的图形面积为 $f (t)$ .

(1)、求 $f (\frac{1}{2})$ 的值；

(2)、求 $f (t)$ 的解析式.

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22. 设函数 $f (x) = x^{2} + a x + a - 1$ .

(1)、求关于 $x$ 的不等式 $f (x) < 0$ 的解集；

(2)、若 $f (x)$ 是偶函数，且 $\exists x_{1} \in [2 ， 3]$ ， $\forall x_{2} \in [1 ， 2]$ ， $m f (x_{1}) < x_{2} - \frac{2}{x_{2}} + 5 m (m \neq 0)$ ，求 $m$ 的取值范围.

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x	0.1	0.2	0.5	0.8	0.9
y	1	0	1	0	1