河南省南阳市2021-2022学年高一上学期期中考试数学试题

试卷更新日期：2021-12-03 类型：期中考试

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一、单选题

1. 集合 $A = {x | - 2 < x < 2}$ ， $B = {x | - 1 \leq x < 3}$ ，那么 $A \cup B =$ （）

A、 ${x | - 2 < x < 3}$ B、 ${x | - 1 \leq x < 2}$ C、 ${x | - 2 < x \leq 1}$ D、 ${x | 2 < x < 3}$

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2. 命题“对任意的 $x \in R$ ， $x^{3} - x^{2} + 1 \leq 0$ ”的否定是（）

A、不存在 $x \in R$ ， $x^{3} - x^{2} + 1 \leq 0$ B、存在 $x \in R$ ， $x^{3} - x^{2} + 1 \leq 0$ C、存在 $x \in R$ ， $x^{3} - x^{2} + 1 > 0$ D、对任意的 $x \in R$ ， $x^{3} - x^{2} + 1 > 0$

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3. 集合 $A = {x \in N | - 1 < x < 4}$ 的真子集的个数是（）

A、32 B、31 C、16 D、15

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4. 设 $a \in R ，$ 则“ $0 < a < 1$ ”是“ $a^{2} < a$ ”的（）

A、充要条件 B、充分不必要条件 C、必要不充分条件 D、既不充分也不必要条件

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5. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} 2 x ， x > 0 \\ x + 1 ， x \leq 0 \end{array}$ ，且 $f (a) + f (1) = 0$ ，则实数 $a =$ （）

A、0 B、1 C、2 D、-3

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6. 函数 $y = x - \frac{3}{| x |}$ 的图象可能是（）

A、 B、 C、 D、

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7. 设 $x > 0 ， y > 0 ， \frac{2}{x} + \frac{1}{y} = 1$ ，则 $2 x + y$ 的最小值为（）

A、7 B、8 C、9 D、10

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8. 已知函数 $f (x + 1)$ 的定义域为 $[1 ， 3]$ ，则 $f (2 x)$ 的定义域为（）

A、 $[1 ， 2]$ B、 $[1 ， 3]$ C、 $[2 ， 4]$ D、 $[2 ， 6]$

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9. 已知 $a = \ln π$ ， $b = \log_{5} 2$ ， $c = e^{- \frac{1}{2}}$ ，则（）

A、 $a > b > c$ B、 $a > c > b$ C、 $b > a > c$ D、 $c > a > b$

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10. 已知函数 $f (x) = \log_{a} (4 - a x) (a > 0$ 且 $a \neq 1$ )在 $[0 ， 2]$ 上单调递减，则 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(0 ， 1)$ B、 $(1 ， 2)$ C、 $(0 ， 2)$ D、 $[2 ， + \infty)$

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11. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} - a x + 2 a ， x \geq 0 \\ a^{x} ， x < 0 \end{array}$ 在 $R$ 上是减函数，则实数 $a$ 的取值范围为（）

A、 $(1 ， + \infty)$ B、 $(0 ， \frac{1}{2}]$ C、 $(0 ， \frac{1}{3}]$ D、 $(- \infty ， \frac{1}{3}]$

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12. 用 $< x >$ 表示正数 $x$ 四舍五入到个位的整数，如 $< 0.3 > = 0 ， < 1.498 > = 1 ， < 2.5 > = 3 ， < 5.8 > = 6$ ，则关于正数 $x$ 的方程 $1 + < x > = 2 x$ 的实数根的个数为（）

A、2 B、3 C、4 D、5

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二、填空题

13. 函数 $f (x) = 2 a^{x - 1} + 1 (a > 0$ 且 $a \neq 1)$ 的图象过定点，这个点的坐标为

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14. 若函数 $f (x) = \log_{3} (x + \sqrt{x^{2} + 9}) + k$ ，满足 $f (- x) + f (x) = 0$ ，则 $k =$ .

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15. 已知函数 $f (x) = x^{2} - 2 x$ 在定义域 $[- 1 ， n]$ 上的值域为 $[- 1 ， 3]$ ，则实数 $n$ 的取值范围为.

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16. 已知函数 $f (x)$ 对任意实数 $x$ 都有 $f (1 - x) = f (1 + x)$ ，当 $x > 1$ 时， $f (x) = \frac{1}{x - 1}$ ，则 $f (- 1) =$ .

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三、解答题

17. 计算下列各式的值：

(1)、 ${(\frac{5}{4})}^{- \frac{1}{3}} \times {(- \frac{2}{3})}^{0} + 9^{\frac{1}{3}} \times \sqrt[3]{3} - \sqrt{{(\frac{4}{5})}^{\frac{2}{3}}}$ ；

(2)、 $\log_{3} \frac{\sqrt[4]{27}}{3} + \lg 25 - 3^{\log_{3} \frac{3}{4}} + \lg 4$ .

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18. 设全集为 $R$ ，集合 $A = {x | 2 \leq 2^{x} \leq 8} ， B = {x | \log_{4} x > \frac{1}{2}}$ .

(1)、求 $∁_{R} (A \cap B)$ ；

(2)、已知集合 $C = {x | 1 < x < a}$ ，若 $C \cup A = A$ ，求实数 $a$ 的取值范围.

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19. 已知函数 $f (x) = k \cdot a^{x - 1}$ (其中 $k$ ， $a$ 为常数，且 $a > 0 ， a \neq 1$ )的图像经过点 $A (2 ， 6) ， B (4 ， 24)$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的解析式；

(2)、若不等式 ${(\frac{1}{a})}^{x} + {(\frac{1}{k})}^{x} - m \geq 0$ 在区间 $(- \infty ， 0]$ 上恒成立，求实数 $m$ 的取值范围.

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20. 解关于 $x$ 的不等式： $a x^{2} - (2 a + 1) x + 2 \leq 0 ，$ 其中 $a \in R$ .

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21. 如图，动物园要围成4间形状和面积完全相同的长方形禽舍，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成.(接头处不计)

(1)、现有可围 $36 m$ 长钢筋网的材料，当每间禽舍的长 $x m$ 设计为多少时，可使每间禽舍的面积最大?

(2)、若使每间禽舍面积为 $24 m^{2}$ ，则每间禽舍的长 $x m$ 设计为多少时，可使围成四间禽舍的钢筋网总长最小?

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22. 定义域为 $R$ 的函数 $f (x)$ 满足：对任意的 $m ， n \in R$ 有 $f (m + n) = f (m) \cdot f (n)$ ，且当 $x > 0$ 时，有 $f (x) > 1$ .

(1)、求 $f (0)$ 的值；

(2)、证明： $f (x) > 0$ 在 $R$ 上恒成立；

(3)、证明： $f (x)$ 在 $R$ 上是增函数﹔

(4)、若 $x > 0$ 时，不等式 $f (x + a x) < f (2 + x^{2})$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围.

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