河北省邢台市四校联考2021-2022学年高一上学期数学第一次月考试卷

试卷更新日期：2021-12-03 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 命题“ $\exists x > 0$ ， $x^{2} - x + 5 < 0$ ”的否定是（）

A、 $\exists x > 0$ ， $x^{2} - x + 5 \geq 0$ B、 $\exists x \leq 0$ ， $x^{2} - x + 5 \geq 0$ C、 $\forall x > 0$ ， $x^{2} - x + 5 \geq 0$ D、 $\forall x \leq 0$ ， $x^{2} - x + 5 \geq 0$

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2. 集合 $A = {x ∣ 2 x + 3 < 7}$ ， $B = {x \in N ∣ x > - 2}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 ${0 ， 1}$ B、{1} C、 ${0 ， 1 ， 2}$ D、 ${1 ， 2}$

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3. 已知 $P = a^{2} + b^{2} + 2$ ， $Q = 2 a + 2 b$ ，则（）

A、 $P > Q$ B、 $P < Q$ C、 $P \geq Q$ D、 $P \leq Q$

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4. $x > 2$ 是 $x^{2} - 2 x > 0$ 的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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5. 图中矩形表示集合 $U$ ，两个圆分别表示集合 $A$ ， $B$ ，则图中阴影部分可以表示为（）

A、 $(C_{U} A) \cap (C_{U} B)$ B、 $[(C_{U} A) \cap B] \cup [A \cap (C_{U} B)]$ C、 $C_{U} (A \cap B)$ D、 $[(C_{U} A) \cup B] \cap [A \cup (C_{U} B)]$

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6. 已知 $a > b > c$ ，且 $a + b + c = 0$ ，则下列不等式一定成立的是（）

A、 $a b^{2} > b c^{2}$ B、 $a b^{2} > b^{2} c$ C、 $(a b - a c) (b - c) > 0$ D、 $(a c - b c) (a - c) > 0$

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7. 若 $x < 0$ ，则 $\frac{x^{2} + 3}{x - 1}$ 的最大值是（）

A、2 B、-2 C、4 D、-4

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8. 若关于 $x$ 的不等式 $x^{2} - (2 a + 1) x + 2 a < 0$ 恰有两个整数解，则 $a$ 的取值范围是（）

A、 ${a ∣ \frac{3}{2} < a \leq 2}$ B、 ${a ∣ - 1 < a \leq - \frac{1}{2}}$ C、 ${a ∣ - 1 < a \leq - \frac{1}{2}$ 或 $\frac{3}{2} \leq a < 2}$ D、 ${a ∣ - 1 \leq a < - \frac{1}{2}$ 或 $\frac{3}{2} < a \leq 2}$

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二、多选题

9. 已知集合 $A = {x | x < 3}$ ， $B = {x | x > a + 2}$ ，则下列结论正确的是（）

A、若 $A \cap B = \emptyset$ ，则 $a > 1$ B、若 $a > 1$ ，则 $A \cap B = \emptyset$ C、若 $A \cup B = R$ ，则 $a < 1$ D、若 $a < 1$ ，则 $A \cup B = R$

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10. 下列各式中，最小值是2的有（）

A、 $x^{2} + \frac{4}{x^{2} + 2}$ B、 $x + \frac{1}{x}$ C、 $\sqrt{x^{2} + 2} + \frac{1}{\sqrt{x^{2} + 2}}$ D、 $\frac{a^{2} + b^{2}}{| a b |}$

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11. 已知实数 $x$ ， $y$ 满足 $1 < x < 6$ ， $- 1 < y < 2$ ，则（）

A、 $0 < x + y < 8$ B、 $2 < x - y < 4$ C、 $- 6 < x y < 12$ D、 $- 1 < \frac{y}{x} < 2$

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12. 在研究集合时，经常遇到有关集合中元素的个数问题.我们把含有限个元素的集合A叫做有限集，用 $card (A)$ 表示有限集合A中元素的个数，已知有限集 $A \subseteq R$ ，设集合 $M = {x y | x \in A ， y \in A ， x \neq y}$ ， $N = {x - y | x \in A ， y \in A ， x > y}$ ，则下列说法正确的是（）

A、若 $card (A) = 4$ ，则 $card (M) + card (N)$ 可能是10 B、若 $card (A) = 4$ ，则 $card (M) + card (N)$ 不可能是12 C、若 $card (A) = 5$ ，则 $card (M) + card (N)$ 可能是20 D、若 $card (A) = 5$ ，则 $card (M) + card (N)$ 不可能是9

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三、填空题

13. 能够说明“存在不相等的实数 $a$ ， $b$ ，使得 $a^{2} - a b + b = 0$ ”是真命题的一组有序数对 $(a ， b)$ 为．

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14. 已知集合 $A = {- 2 ， 2 a + 1 ， a^{2} - 1}$ ， $B = {3 ， 2 - a ， 2 a - 4}$ ，且 $A \cap B = {3}$ ，则 $a =$ ．

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15. 新学期开学之际，某学生计划用不超过15元的资金购买单价分别为1元的笔记本和2元的圆珠笔.已知该学生至少要购买8本笔记本，且至少要购买2支圆珠笔，则不同的选购方式有种，（用数字作答）

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16. 已知正实数 $x$ ， $y$ 满足 $x + 2 y + x y - 7 = 0$ ，且 $3 t^{2} - 2 t \geq x y - x$ 恒成立，则 $t$ 的取值范围是．

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四、解答题

17. 在① $A \cap B \neq \emptyset$ ， $A \cap C = \emptyset$ ，② $C \subseteq (A \cup B)$ 这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答，
已知集合 $A = {x ∣ x^{2} + a x + a^{2} - 13 = 0}$ ， $B = {x ∣ x^{2} + x - 6 = 0}$ ， $C = {x ∣ x^{2} - 6 x + 8 = 0}$ ，若 ▲ ，求 $a$ 的值及 $A \cup B$ .

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分，

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18. 已知 $p ： \forall x > 0$ ， $x^{2} - a x + \frac{1}{4} \geq 0$ ， $q ：$ 关于 $x$ 的方程 $2 x^{2} + (a - 1) x - a (a + 1) = 0$ 的实数根都大于-2.

(1)、若 $q$ 是真命题，求 $a$ 的取值范围：

(2)、若 $p$ 和 $q$ 一个是真命题，一个是假命题，求 $a$ 的取值范围.

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19. 已知集合 $A = {x | x^{2} - 5 x - 6 < 0}$ ， $B = {x | x^{2} - 3 a x + 2 a^{2} + a - 1 \leq 0}$ .

(1)、当 $a = - 1$ 时，求 $A \cap B$ ；

(2)、若 $A \cup B = A$ ，求 $a$ 的取值范围.

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20. 某地政府为增加农民收入，根据当地地域特点，积极发展农产品加工业经过市场调查，加工某农产品需投入固定成本2万元，每加工 $x$ 万千克该农产品，需另投入成本 $f (x)$ 万元，且 $f (x) = {\begin{array}{l} \frac{1}{2} x^{2} + x ， 0 < x < 6 ， \\ 7 x + \frac{49}{x} - 27 ， x \geq 6. \end{array}$ 已知加工后的该农产品每千克售价为6元，且加工后的该农产品能全部销售完.

(1)、求加工后该农产品的利润 $y$ （万元）与加工量 $x$ （万千克）的函数关系式；

(2)、求加工后的该农产品利润的最大值.

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21. 已知 $x > 0$ ， $y > 0$ ，且 $x + y = 2$ .

(1)、求 $\frac{1}{x} + \frac{9}{y}$ 的最小值；

(2)、若 $4 x + 1 - m x y \geq 0$ 恒成立，求 $m$ 的最大值.

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22. 已知函数 $y = a x^{2} + b x + 3$ .

(1)、若不等式 $a x^{2} + b x + 3 < 0$ 的解集是 ${x | 1 < x < 3}$ ，求 $a$ ， $b$ 的值，

(2)、若 $b = a + 4$ ，是否存在整数 $a$ ，使得关于 $x$ 的方程 $a x^{2} + b x + 3 = 0$ 在 $x \in {x | 1 < x < 2}$ 上恰有一个实数根？若存在，求出 $a$ 的值；若不存在，请说明理由.

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