2021-2022学年北师版数学九年级下册《第二章二次函数》单元检测B卷

试卷更新日期：2021-12-02 类型：单元试卷

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一、单选题

1. 若抛物线 $y = x^{2} + b x + c$ 与x轴两个交点间的距离为4.对称轴为 $x = 2$ ，P为这条抛物线的顶点，则点P关于x轴的对称点的坐标是（）

A、 $(2 ， 4)$ B、 $(- 2 ， 4)$ C、 $(- 2 ， - 4)$ D、 $(2 ， - 4)$

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2. 已知A、B两点的坐标分别为（3，﹣4）、（0，﹣2），线段AB上有一动点M（m，n），过点M作x轴的平行线交抛物线y＝a（x﹣1）²+2于P（x₁ ， y₁）、Q（x₂ ， y₂）两点.若x₁＜m≤x₂ ，则a的取值范围为（）

A、﹣4≤a＜﹣ $\frac{3}{2}$ B、﹣4≤a≤﹣ $\frac{3}{2}$ C、﹣ $\frac{3}{2}$ ≤a＜0 D、﹣ $\frac{3}{2}$ ＜a＜0

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3. 已知抛物线 $y = a x^{2} + b x + c$ 上的部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表：

x

…

-1

0

1

2

3

…

y

…

3

0

-1

m

3

…

以下结论正确的是（）

A、抛物线 $y = a x^{2} + b x + c$ 的开口向下 B、当 $x < 3$ 时，y随x增大而增大 C、方程 $a x^{2} + b x + c = 0$ 的根为0和2 D、当 $y > 0$ 时，x的取值范围是 $0 < x < 2$

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4. 二次函数 $y = a x^{2} + b x + c$ （ $a$ 、 $b$ 、 $c$ 是常数，且 $a \neq 0$ ）的自变量 $x$ 与函数值 $y$ 的部分对应值如下表：

$x$

…

$- 1$

0

1

2

…

$y$

…

$m$

2

2

$n$

…

且当 $x = \frac{3}{2}$ 时，对应的函数值 $y < 0$ .有以下结论：① $a b c > 0$ ；② $m + n < - \frac{20}{3}$ ；③关于 $x$ 的方程 $a x^{2} + b x + c = 0$ 的负实数根在 $- \frac{1}{2}$ 和0之间；④ $P_{1} (t - 1 ， y_{1})$ 和 $P_{2} (t + 1 ， y_{2})$ 在该二次函数的图象上，则当实数 $t > \frac{1}{3}$ 时， $y_{1} > y_{2}$ .其中正确的结论是（）

A、①② B、②③ C、③④ D、②③④

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5. 若二次函数 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 的图象如图所示，则一次函数 $y = a x + b$ 与反比例函数 $y = - \frac{c}{x}$ 在同一个坐标系内的大致图象为（）

A、 B、 C、 D、

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6. 将抛物线y＝（x﹣1）²＋2向左平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度所得到的抛物线的解析式为（）

A、y＝x²﹣8x＋22 B、y＝x²﹣8x＋14 C、y＝x²＋4x＋10 D、y＝x²＋4x＋2

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7. 如图，二次函数 $y = a x^{2} + b x + c$ 的图象经过点 $A (- 1 ， 0)$ ， $B (3 ， 0)$ ，与y轴交于点C ．下列结论：
① $a c > 0$ ；②当 $x > 0$ 时，y随x的增大而增大；③ $3 a + c = 0$ ；④ $a + b \geq a m^{2} + b m$ ．

其中正确的个数有（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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8. 如图，抛物线y＝ax²＋bx＋c（a≠0）的顶点为（1，n），与x轴的一个交点B（3，0），与y轴的交点在（0，﹣3）和（0，﹣2）之间．下列结论中：① $\frac{a b}{c} >$ 0；②﹣2＜b $< - \frac{5}{3}$ ；③（a＋c）²﹣b²＝0；④2c﹣a＜2n ，则正确的个数为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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9. 抛物线 $y = a x^{2} + b x + c$ 经过点 $(- 1 ， 0)$ 、 $(3 ， 0)$ ，且与y轴交于点 $(0 ， - 5)$ ，则当 $x = 2$ 时，y的值为（）

A、-5 B、-3 C、-1 D、5

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10. 如图是王阿姨晚饭后步行的路程s(单位：m)与时间t(单位：min)的函数图象，其中曲线段AB是以B为顶点的抛物线一部分.下列说法不正确的是（）

A、25min~50min，王阿姨步行的路程为800m B、线段CD的函数解析式为 $s = 32 t + 400 （ 25 \leq t \leq 50 ）$ C、5min~20min，王阿姨步行速度由慢到快 D、曲线段AB的函数解析式为 $s = - 3 （ t - 20 ）^{2} + 1200 （ 5 \leq t \leq 20 ）$

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11. 三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线形，两小孔形状、大小完全相同．当水面刚好淹没小孔时，大孔水面宽度为10米，孔顶离水面1.5米；当水位下降，大孔水面宽度为14米时，单个小孔的水面宽度为4米，若大孔水面宽度为20米，则单个小孔的水面宽度为（）

A、4 $\sqrt{3}$ 米 B、5 $\sqrt{2}$ 米 C、2 $\sqrt{13}$ 米 D、7米

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12. 如图，二次函数 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 图象的一部分与x轴的一个交点坐标为 $(1 ， 0)$ ，对称轴为 $x = - 1$ ，结合图象给出下列结论：

① $a + b + c = 0$ ；

② $a - 2 b + c < 0$ ；

③关于x的一元二次方程 $a x^{2} + b x + c = 0 (a \neq 0)$ 的两根分别为-3和1；

④若点 $(- 4 ， y_{1})$ ， $(- 2 ， y_{2})$ ， $(3 ， y_{3})$ 均在二次函数图象上，则 $y_{1} < y_{2} < y_{3}$ ；

⑤ $a - b < m (a m + b)$ （m为任意实数）．

其中正确的结论有（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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二、填空题

13. 从 $- \frac{1}{2}, - 1, 1, 2, 5$ 中任取一数作为 $a$ ，使抛物线 $y = a x^{2} + b x + c$ 的开口向上的概率为．

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14. 平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知点 $P (m ， 3 n^{2} - 9)$ ，且实数m，n满足 $m - n^{2} + 4 = 0$ ，则点P到原点O的距离的最小值为.

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15. 抛物线 $y = (k - 1) x^{2} - x + 1$ 与x轴有交点，则k的取值范围是.

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16. 某商店销售一批头盔，售价为每顶80元，每月可售出200顶.在“创建文明城市”期间，计划将头盔降价销售，经调查发现：每降价1元，每月可多售出20顶.已知头盔的进价为每顶50元，则该商店每月获得最大利润时，每顶头盔的售价为元.

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17. 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为 $(0 ， 2)$ ，点B的坐标为 $(4 ， 2)$ ．若抛物线 $y = - \frac{3}{2} {(x - h)}^{2} + k$ （h、k为常数）与线段 $A B$ 交于C、D两点，且 $C D = \frac{1}{2} A B$ ，则k的值为．

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18. 如图，二次函数 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 的图象与x轴的正半轴交于点A ，对称轴为直线 $x = 1$ ，下面结论：

① $a b c < 0$ ；

② $2 a + b = 0$ ；

③ $3 a + c > 0$ ；

④方程 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 必有一个根大于 $- 1$ 且小于0．

其中正确的是（只填序号）．

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三、解答题

19. 某药店选购了一批消毒液，进价为每瓶10元，在销售过程中发现销售量y（瓶）与每瓶售价x（元）之间存在一次函数关系（其中 $10 \leq x \leq 21$ ，且x为整数），当每瓶消毒液售价为12元时，每天销售量为90瓶；当每瓶消毒液售价为15元时，每天销售量为75瓶；

(1)、求y与x之间的函数关系式；

(2)、设该药店销售该消毒液每天的销售利润为w元，当每瓶消毒液售价为多少元时，药店销售该消毒液每天销售利润最大.

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20. 如图，抛物线 $y = x^{2} + b x + c$ 与 $x$ 轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C，对称轴为直线 $x = 2$ ，顶点为D，点B的坐标为 $(3 ， 0)$ .

(1)、填空：点A的坐标为，点D的坐标为，抛物线的解析式为；

(2)、当二次函数 $y = x^{2} + b x + c$ 的自变量：满足 $m \leq x \leq m + 2$ 时，函数y的最小值为 $\frac{5}{4}$ ，求m的值；

(3)、P是抛物线对称轴上一动点，是否存在点P，使 $△ P A C$ 是以AC为斜边的直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.

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21. 如图，已知抛物线y＝a（x﹣3）（x+6）过点A（﹣1，5）和点B（﹣5，m）与x轴的正半轴交于点C.

(1)、求a，m的值和点C的坐标；

(2)、若点P是x轴上的点，连接PB，PA，当 $\frac{P B}{P A} = \frac{2}{5}$ 时，求点P的坐标；

(3)、在抛物线上是否存在点M，使A，B两点到直线MC的距离相等？若存在，求出满足条件的点M的横坐标；若不存在，请说明理由.

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22. 如图，已知抛物线y＝ax²＋bx＋c与x轴相交于A(－3，0)，B两点，与y轴相交于点C(0，2)，对称轴是直线x＝－1，连接AC.

(1)、求该抛物线的表达式；

(2)、若过点B的直线l与抛物线相交于另一点D，当∠ABD＝∠BAC时，求直线l的表达式；

(3)、在（2）的条件下，当点D在x轴下方时，连接AD，此时在y轴左侧的抛物线上存在点P，使 $S_{△ B D P} = \frac{3}{2} S_{△ A B D}$ ，请直接写出所有符合条件的点P的坐标.

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23. 如图1，二次函数 $y = a (x + 3) (x - 4)$ 的图象交坐标轴于点 $A$ ， $B (0 ， - 2)$ ，点 $P$ 为 $x$ 轴上一动点.

(1)、求二次函数 $y = a (x + 3) (x - 4)$ 的表达式；

(2)、过点 $P$ 作 $P Q ⊥ x$ 轴分别交线段 $A B$ ，抛物线于点 $Q$ ， $C$ ，连接 $A C$ .当 $O P = 1$ 时，求 $△ A C Q$ 的面积；

(3)、如图2，将线段 $P B$ 绕点 $P$ 逆时针旋转90得到线段 $P D$ .
①当点 $D$ 在抛物线上时，求点 $D$ 的坐标；

②点 $E (2 ， - \frac{5}{3})$ 在抛物线上，连接 $P E$ ，当 $P E$ 平分 $∠ B P D$ 时，直接写出点P的坐标.

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24. 如图，抛物线 $y = a x^{2} + b x + c$ 与 $x$ 轴交于 $A (- 2 ， 0)$ 、 $B (6 ， 0)$ 两点，与 $y$ 轴交于点 $C$ .直线 $l$ 与抛物线交于 $A$ 、 $D$ 两点，与 $y$ 轴交于点 $E$ ，点 $D$ 的坐标为 $(4 ， 3)$ .

(1)、求抛物线的解析式与直线 $l$ 的解析式；

(2)、若点 $P$ 是抛物线上的点且在直线 $l$ 上方，连接 $P A$ 、 $P D$ ，求当 $Δ P A D$ 面积最大时点 $P$ 的坐标及该面积的最大值；

(3)、若点 $Q$ 是 $y$ 轴上的点，且 $∠ A D Q = 45 °$ ，求点 $Q$ 的坐标.

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25. 在平面直角坐标系中，O为原点， $△ O A B$ 是等腰直角三角形， $∠ O B A = 90 ° ， B O = B A$ ，顶点 $A (4 ， 0)$ ，点B在第一象限，矩形 $O C D E$ 的顶点 $E (- \frac{7}{2} ， 0)$ ，点C在y轴的正半轴上，点D在第二象限，射线 $D C$ 经过点B．

（Ⅰ）如图①，求点B的坐标；

（Ⅱ）将矩形 $O C D E$ 沿x轴向右平移，得到矩形 $O^{'} C^{'} D^{'} E^{'}$ ，点O，C，D，E的对应点分别为 $O^{'}$ ， $C^{'}$ ， $D^{'}$ ， $E^{'}$ ，设 $O O^{'} = t$ ，矩形 $O^{'} C^{'} D^{'} E^{'}$ 与 $△ O A B$ 重叠部分的面积为S．

①如图②，当点 $E^{'}$ 在x轴正半轴上，且矩形 $O^{'} C^{'} D^{'} E^{'}$ 与 $△ O A B$ 重叠部分为四边形时， $D^{'} E^{'}$ 与 $O B$ 相交于点F，试用含有t的式子表示S，并直接写出t的取值范围；

②当 $\frac{5}{2} \leq t \leq \frac{9}{2}$ 时，求S的取值范围（直接写出结果即可）．

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x	…	-1	0	1	2	3	…
y	…	3	0	-1	m	3	…

$x$	…	$- 1$	0	1	2	…
$y$	…	$m$	2	2	$n$	…

2021-2022学年北师版数学九年级下册《第二章 二次函数》单元检测B卷

一、单选题

二、填空题

三、解答题

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