河北省迁安市2021-2022学年高一上学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2021-12-02 类型：期中考试

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | x^{2} = 1}$ ，则下列表述正确的是（）

A、 $1 ⊊ A$ B、 ${0} \notin A$ C、 ${- 1 ， 1} = A$ D、 ${1} \in A$

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2. 已知函数 $f (x) = x$ ，则下列函数与 $f (x)$ 表示同一函数都是（）

A、 $y = \sqrt[3]{x^{3}}$ B、 $y = \frac{x^{2}}{x}$ C、 $y = {(\sqrt{x})}^{2}$ D、 $y = \sqrt{x^{2}}$

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3. 如图，已知全集U和集合A、B ，则阴影部分所表示集合正确的是（）

A、 $A \cap B$ B、 $∁_{U} (A \cap B)$ C、 $(∁_{U} A) \cap B$ D、 $A \cap (∁_{U} B)$

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4. 已知 $a > b > 0$ ， $c > d$ ，则下列不等式一定成立的是（）

A、 $a c > b d$ B、 $a c^{2} > b c^{2}$ C、 $\frac{1}{a} < \frac{1}{b}$ D、 $a - c > b - d$

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5. 已知函数 $f (x) = x^{2} - m x + 3$ 在 $[- 1 ， 1]$ 上单调，则m的取值范围是（）

A、 $[- \frac{1}{2} ， \frac{1}{2}]$ B、 $[- 2 ， 2]$ C、 $(- \infty ， - \frac{1}{2}] \cup [\frac{1}{2} ， + \infty)$ D、 $(- \infty ， - 2] \cup [2 ， + \infty)$

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6. 下列说法正确的是（）

A、 $a c = b c$ 是 $a = b$ 的充分条件 B、 $x \geq 1$ 是 $x^{2} \geq 1$ 的必要条件 C、四边形对角线互相垂直是四边形为菱形的充要条件 D、“ $1 < x < 3$ ”是“ $x \geq 0$ ” 的充分不必要条件

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7. 已知函数 $f (x) = \sqrt{2 + x - x^{2}} - \frac{1}{x + 1}$ ，则 $f (x)$ 的定义域为（）

A、 $(- 1 ， 2]$ B、 $[- 1 ， 2]$ C、 $(- \infty ， - 1) \cup (2 ， + \infty)$ D、 $(- \infty ， - 1) \cup [2 ， + \infty)$

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8. 已知x ， $y > 0$ ， $x + 2 y = 1$ ，则 $\frac{x^{2} + y}{x y}$ 的最小值为（）

A、 $3 - 2 \sqrt{2}$ B、 $1 + 2 \sqrt{2}$ C、4 D、2

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二、多选题

9. 若集合 $A = {x \in N | x \leq 5}$ ， $B = {x | x \leq 5}$ ，则下列表述正确的是（）

A、 $A = B$ B、 $A \cap B = A$ C、 $A \cup B = B$ D、 $(C_{R} A) \cap B = \emptyset$

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10. 若a ， $b \in R$ ，且 $a b > 0$ ，则下列不等式恒成立的是（）

A、 $a + b \geq 2 \sqrt{a b}$ B、 $a b \leq {(\frac{a + b}{2})}^{2}$ C、 ${(\frac{a + b}{2})}^{2} \leq \frac{a^{2} + b^{2}}{2}$ D、 $\frac{b}{a} + \frac{a}{b} \geq 2$

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11. 若“ $\forall x \in M ， | x | > x$ ”为真命题，“ $\exists x \in M ， x > 3$ ”为假命题，则集合 $M$ 可以是（）

A、 $(- \infty ， - 5)$ B、 $(- 3 ， - 1]$ C、 $(3 ， + \infty)$ D、 $[0 ， 3]$

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12. 下列说法正确的是（）

A、若函数 $f (x)$ 是奇函数，则 $f (0) = 0$ B、函数 $f (x)$ 的图像关于y轴对称是 $f (x)$ 为偶函数的充要条件 C、若函数 $f (x)$ 是奇函数，当 $x \geq 0$ 时 $f (x) = x (1 + x)$ ，则当 $x < 0$ 时 $f (x) = - x (1 + x)$ D、若函数 $f (x)$ 是偶函数，且在 $(- \infty ， 0)$ 上单调递增，则 $f (- 3) < f (2) < f (1)$

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三、填空题

13. 设集合 $A = {- a ， 1}$ ， $B = {- 1 ， a^{2}}$ ，若 $A = B$ ，则 $a =$ ．

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14. 若不等式 $a x^{2} + 2 x + a \leq 0$ 恒成立，则a的取值范围是．

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15. 已知幂函数 $y = f (x)$ 的图像过点 $(4 ， 2)$ ，则不等式 $f (x^{2} - 2 x) < f (2 - x)$ 的解集为．

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16. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} x (4 + x) ， x \geq 0 \\ x (4 - x) ， x < 0 \end{array}$ ，则 $f (- 1) \cdot f (1) =$ ； $f (x)$ 是（填奇、偶或非奇非偶函数）．

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四、解答题

17. 设集合 $A = {x | 2 \leq x \leq 6}$ ， $B = {x | 2 < x < 10}$ ．求：

(1)、 $C_{R} (A \cup B)$ ；

(2)、 $(C_{R} A) \cap (C_{R} B)$ ．

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18. 电信公司为了满足客户不同需要，推出A、B两种包月优惠方案，这两种方案应月付话费（元）与月通话时间（分钟）之间的关系如下图所示（其中 $M N // C D$ ）．

(1)、分别求出A、B应付话费（元）与通话时间x（分钟）的函数表达式 $f (x)$ 和 $g (x)$ ；

(2)、假如你是一位电信局推销人员，你应如何帮助客户选择A、B两种优惠方案？并说明理由．

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19. 已知集合 $A = {x | x^{2} - 12 x + 20 < 0}$ ， $B = {x | m - 1 \leq x < m + 3}$ ．

(1)、当 $m = 2$ 时 $A \cup (∁_{R} B)$ ；

(2)、若 $B \subseteq A$ ，求m的范围．

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20. 已知 $a > 0$ ， $b > 0$ ，且 $a + b + a b = 3$ ．

(1)、求 $a b$ 的取值范围；

(2)、求 $a + b$ 的取值范围．

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21. 已知函数 $f (x) = x + \frac{4}{x}$ ．

(1)、证明函数 $f (x)$ 的奇偶性；

(2)、讨论并证明 $f (x)$ 在 $(0 ， + \infty)$ 的单调性；

(3)、当 $x \in [- 4 ， - 2]$ 时，求 $g (x) = \frac{x^{2} + 2 x + 5}{x + 1}$ 的值域．

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22. 如图，建立平面直角坐标系 $x o y$ ， $x$ 轴在地平面上， $y$ 轴垂直于地平面，单位长度为1千米．某炮位于坐标原点．已知炮弹发射后的轨迹在方程 $y = k x - \frac{1}{20} (1 + k^{2}) x^{2} (k > 0)$ 表示的曲线上，其中 $k$ 与发射方向有关．炮的射程是指炮弹落地点的横坐标．

(1)、求炮的最大射程；

(2)、设在第一象限有一飞行物（忽略其大小），其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐标 $a$ 不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由．

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