河北省邯郸市九校联盟2021-2022学年高一上学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2021-12-02 类型：期中考试

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一、单选题

1. 已知集合 $M = {(x ， y) | x ， y \in N^{*} ， x + y \leq 2}$ ，则M中元素的个数为（）

A、1 B、2 C、3 D、0

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2. 命题“ $\forall x \in R ， x^{2} + 1 > x$ ”的否定为（）

A、 $\forall x \in R ， x^{2} + 1 < x$ B、 $\forall x \in R ， x^{2} + 1 \leq x$ C、 $\exists x \in R ， x^{2} + 1 < x$ D、 $\exists x \in R ， x^{2} + 1 \leq x$

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3. 为安全燃放某种烟花，现收集到以下信息：
①此烟花导火索燃烧的速度是每秒0.6厘米；

②人跑开的速度为每秒4米；

③距离此烟花燃放点50米以外（含50米）为安全区.

为了使导火索燃尽时人能够跑到安全区，导火索的长度 $x$ （厘米）应满足的不等式为（）

A、 $4 \times \frac{x}{0.6} < 50$ B、 $4 \times \frac{x}{0.6} \geq 50$ C、 $4 \times \frac{x}{0.6} \leq 50$ D、 $4 \times \frac{x}{0.6} > 50$

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4. 函数 $f (x) = x^{3} - \frac{1}{x}$ 的图像大致为（）

A、 B、 C、 D、

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5. 已知 $a ， b \in R$ 且 $a > 0$ ，则“ $a > b$ ”是“ $\frac{b}{a} < 1$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分又不必要条件

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6. 已知 $a = \sqrt{c + 1} + \sqrt{c + 4} ， b = \sqrt{c + 2} + \sqrt{c + 3}$ ，则（）

A、 $a > b > 1$ B、 $b > a > 1$ C、 $a > 1 > b$ D、 $b > 1 > a$

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7. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} x^{2} - 4 a x + 5 a ， x \leq 1 \\ \frac{2 a}{x} ， x > 1 \end{array}$ 在 $R$ 上为减函数，则 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(0 ， + \infty)$ B、 $(- \infty ， \frac{1}{2}]$ C、 $[\frac{1}{2} ， 1]$ D、 $[\frac{1}{2} ， + \infty)$

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8. 设函数 $f (x) = {\begin{array}{l} | x | - 1 ， x \in [- 1 ， + \infty) \\ 2 f (x + 2) ， x \in (- \infty ， - 1) \end{array}$ ，若对任意的 $x \in [m ， + \infty)$ ，都有 $f (x) \geq - 4$ ，则m的最小值是（）

A、-4 B、-6 C、 $- \frac{13}{2}$ D、 $- \frac{11}{2}$

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二、多选题

9. 已知函数 $f (x) = x^{a}$ 的图象经过点 $(\frac{1}{2} ， 2)$ ，则（）

A、 $f (x)$ 的图象经过点（2，4） B、 $f (x)$ 的图象关于原点对称 C、 $f (x)$ 在 $(0 ， + \infty)$ 上单调递减 D、 $f (x)$ 在 $(0 ， + \infty)$ 内的值域为 $(0 ， + \infty)$

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10. 已知函数 $f (x) = x ， g (x) = \sqrt{x}$ ，则下列说法正确的是（）

A、函数 $y = \frac{1}{f (x)} + g (x)$ 在 $(0 ， + \infty)$ 上单调递增 B、函数 $y = \frac{1}{f (x)} - g (x)$ 在 $(0 ， + \infty)$ 上单调递减 C、函数 $y = f (x) + g (x)$ 的最小值为0 D、函数 $y = f (x) - g (x)$ 的最小值为 $- \frac{1}{4}$

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11. 已知a>1，b>3，且ab+1=3a+b ，则（）

A、a+b有最大值 $4 + 2 \sqrt{2}$ B、a+b有最小值 $4 + 2 \sqrt{2}$ C、ab有最大值 $5 + 2 \sqrt{6}$ D、ab有最小值 $5 + 2 \sqrt{6}$

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12. 若函数 $f (x) = x | x - a |$ 在[0，2]上的最大值为2，则a的取值可以为（）

A、1 B、3 C、 $2 \sqrt{2}$ D、 $4 \sqrt{2} - 4$

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13. 若不等式 $a x^{2} + x + b > 0$ 的解集为 ${x ∣ - 2 < x < 3}$ ，则a+b=.

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14. 已知函数 $f (x) = \sqrt{m x^{2} + 2 x + 2}$ 的定义域为R ，则m的取值范围为.

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15. 国庆期间，高一某班31名学生去电影院观看了《长津湖》《我和我的父辈》《峰爆》这三部电影.其中有15人观看了《长津湖》，有14人观看了《我和我的父辈》，有11人观看了《峰爆》，没有人同时观看这三部电影，则仅观看了其中一部电影的共有人.

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16. 定义在R上的奇函数f（x）满足对任意的 $x_{1} ， x_{2}$ ，当 $x_{1} - x_{2} \neq 0$ 时，都有 $\frac{f (x_{1}) + f (- x_{2})}{x_{1} - x_{2}} < 0$ ，则不等式 $f (x + 1) < f (x^{2} - 1)$ 的解集为.

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三、解答题

17. 知集合 $A = {x ∣ x^{2} - 2 x - 3 < 0}$ ， $B = {x ∣ 5 - 2 x < 1}$ .

(1)、求 $A \cup B ， A \cap B$ ；

(2)、求 $∁_{R} (A \cap B)$ ， $(∁_{R} B) \cap A$ .

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18. 已知定义在 $R$ 上的函数 $f (x) = \frac{a x + 1}{x^{2} + 1}$ 为偶函数.

(1)、求 $a$ 的值；

(2)、求 $f (x)$ 的单调区间，并用定义法证明.

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19. 已知命题 $p ： \forall x \in [1 ， 3] ， x^{2} + 2 x - a ⩾ 0$ ；命题 $q ： \exists x \in R ， x^{2} + a x + a + 3 = 0$ .

(1)、若命题p为真命题，求a的取值范围；

(2)、若命题p ， q一真一假，求a的取值范围.

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20. 某企业为生产某种产品，每月需投入固定成本 $2$ 万元，每生产 $x$ 万件该产品，需另投入流动成本 $W (x)$ 万元，且 $W (x) = {\begin{array}{l} \frac{1}{3} x^{2} + x ， 0 < x < 9 \\ 5 x + \frac{81}{x} - 18 ， x \geq 9 \end{array}$ ，每件产品的售价为 $4.75$ 元，且该企业生产的产品当月能全部售完.

(1)、写出月利润 $L (x)$ （单位：万元）关于月产量 $x$ （单位：万件）的函数关系式；

(2)、试问当月产量为多少万件时，企业所获月利润最大？最大利润是多少？

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21. 已知函数 $f (x) = x^{2} - 4 x + m$ .

(1)、若关于 $x$ 的方程 $f (x) = 0$ 有一个根在 $[2 ， 3]$ 内，求 $m$ 的取值范围.

(2)、是否存在常数 $n$ ，使得当 $x \in [n ， 4]$ 时， $f (x)$ 的值域为区间 $D$ ，且 $D$ 的长度（定义区间 $[a ， b]$ 的长度为 $b - a$ ）为 $2 n - 1$ ？若存在，求出常数 $n$ ；若不存在，请说明理由.

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22. 形如 $y = a x + \frac{b}{x} (a \neq 0 ， b \neq 0)$ 的函数被我们称为“海鸥函数”，它可以看成是由正比例函数y=ax与反比例函数 $y = \frac{b}{x}$ ”叠加”而成的函数.“海鸥函数”具有如下性质：当a>0，b>0时，该函数在 $[- \sqrt{\frac{b}{a}} ， 0)$ 和 $(0 ， \sqrt{\frac{b}{a}}]$ 上是减函数，在 $(- \infty ， - \sqrt{\frac{b}{a}})$ 和 $(\sqrt{\frac{b}{a}} ， + \infty)$ 上是增函数.已知函数 $f (x) = \frac{4 x^{2} - 14 x + 16}{2 x - 3} ， x \in [2 ， 3]$ .

(1)、求f（x）的单调区间和值域；

(2)、设函数h（x）=2x+a ，若对任意 $x_{1} \in [2 ， 3]$ ，总存在 $x_{2} \in [2 ， 3]$ ，使得 $f (x_{1}) = h (x_{2})$ ，求a的取值范围.

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