广西玉林市市直六所普通高中2021-2022学年高一上学期理数期中考试试卷

试卷更新日期：2021-12-02 类型：期中考试

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一、单选题

1. 已知命题 $p$ ： $\forall x > 0$ ， $x + \frac{1}{x} \geq 2$ ，那么命题 $\neg p$ 为（）

A、 $\forall x > 0$ ， $x + \frac{1}{x} < 2$ B、 $\forall x \leq 0$ ， $x + \frac{1}{x} < 2$ C、 $\exists x_{0} > 0$ ， $x_{0} + \frac{1}{x_{0}} < 2$ D、 $\exists x_{0} \leq 0$ ， $x_{0} + \frac{1}{x_{0}} < 2$

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2. 下列与二进制数 $1001101_{(2)}$ 相等的是（）

A、 $115_{(8)}$ B、 $114_{(8)}$ C、 $113_{(8)}$ D、 $116_{(8)}$

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3. 某校选修乒乓球课程的学生中，高一年级有50名，高二年级有30名.现用分层抽样的方法在这80名学生中抽取一个样本，已知在高一年级的学生中抽取了10名，则在高二年级的学生中应抽取的人数为（）

A、6 B、8 C、10 D、12

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4. 用秦九韶算法求多项式 $f (x) = 3 x^{6} + 5 x^{5} + 6 x^{4} + 79 x^{3} - 8 x^{2} + 35 x + 12$ 在 $x = - 4$ 时 $v_{4}$ 的值（）

A、-57 B、220 C、-845 D、3392

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5. 运行如图所示的程序框图，输出的 $n$ 的值为（）

A、4 B、5 C、6 D、7

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6. 焦点坐标为 $(0 ， - 4)$ ，（0，4），且长半轴 $a = 6$ 的椭圆方程为（）

A、 $\frac{x^{2}}{36} + \frac{y^{2}}{20} = 1$ B、 $\frac{x^{2}}{20} + \frac{y^{2}}{36} = 1$ C、 $\frac{x^{2}}{36} + \frac{y^{2}}{16} = 1$ D、 $\frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{36} = 1$

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7. 下列四个命题为真命题的个数是（）
①命题“若 $x > 1$ ，则 $x^{2} > 1$ ”的否命题

②命题“梯形不是平行四边形”的逆否命题

③命题“全等三角形面积相等”的否命题

④命题“若两条直线没有公共点，则这两条直线是异面直线”的逆命题

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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8. 某中学举行党史学习教育知识竞赛，甲队有A、B、C、D、E、F共6名选手其中4名男生2名女生，按比赛规则，比赛时现场从中随机抽出2名选手答题，则至少有1名女同学被选中的概率是（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{2}{5}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{3}{5}$

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9. 新能源汽车产业是我国经济发展的重要支柱，为了了解新能源汽车的质量情况，有关部门分别随机抽查了A型新能源汽车与B型新能源汽车各10个品牌．得到相关指标的综合评价得分（百分制）的茎叶图如图所示，则从茎叶图可得出正确的信息为（80分及以上为优秀）（）

① $A$ 型新能源汽车与 $B$ 型汽车得分的优秀率相同．

② $A$ 型新能源汽车得分与 $B$ 型新能源汽车得分的中位数相同．

③ $A$ 型新能源汽车得分的方差比 $B$ 型新能源汽车得分的方差大．

④ $A$ 型新能源汽车得分与 $B$ 型新能源汽车得分的平均分相同．

A、①② B、②④ C、①③ D、③④

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10. 已知函数 $f (x) = 2^{x}$ ，在 $[1 ， 9]$ 上随机取一个实数 $x_{0}$ ，则使得 $f (x_{0}) \leq 8$ 成立的概率为（）

A、 $\frac{1}{8}$ B、 $\frac{1}{4}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{2}{3}$

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11. 某公司为了增加某商品的销售利润，调查了该商品投入的广告费用 $X$ （万元）与销售利润 $Y$ （万元）的统计数据如下表，由表中数据，得线性回归直线 $l ： \hat{Y} = \hat{b} X + \hat{a}$ ，则下列结论错误的是（）

广告费用 $X$ （万元）

2

3

5

6

销售利润 $Y$ （万元）

5

7

9

11

A、 $\hat{b} > 0$ B、 $\hat{a} > 0$ C、直线 $l$ 过点 $(4 ， 8)$ D、直线 $l$ 过点 $(2 ， 5)$

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12. 已知F是椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的一个焦点，若直线 $y = k x$ 与椭圆相交于A ， B两点，且 $∠ A F B = 120 °$ ，则椭圆离心率的取值范围是（）

A、 $[\frac{\sqrt{3}}{2} ， 1)$ B、 $(0 ， \frac{\sqrt{3}}{2}]$ C、 $[\frac{1}{2} ， 1)$ D、 $(0 ， \frac{1}{2}]$

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二、填空题

13. 假设要考察某公司生产的 $500 g$ 袋装牛奶的质量是否达标，现从800袋牛奶中抽取60袋进行检验，利用随机数法抽取样本时，先将800袋牛奶按000，001， $\dots$ ，799进行编号，若从随机数表第7行第8列的数开始向右读，则得到的第4个的样本个体的编号是．
（下面摘取了随机数表第7行到第9行）

84 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 76

63 01 63 78 59 16 95 56 67 19 98 10 50 71 75 12 86 73 58 07 44 39 52 38 79

33 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 07 44 38 15 51 00 13 42 99 66 02 79 54

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14. 已知命题“ $\exists x \in R$ ，使 $4 x^{2} + (a - 2) x + \frac{1}{4} \leq 0$ ”是真命题，则实数a的取值范围是.

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15. 寒假即将来临，小明和小强计划去图书馆看书，约定上午8：00~8：30之间的任何一个时间在图书馆门口会合．两人商量好提前到达图书馆的人最多等待对方10分钟，如果对方10分钟内没到，那么等待的人先进去．则两人能够在图书馆门口会合的概率是．

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16. 已知椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ 的右焦点F ，点Р在椭圆C上，又点 $A (5 ， 8)$ ，则 $| P A | - | P F |$ 的最小值为.

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三、解答题

17. 在甲、乙两个盒子中分别装有标号为1，2，3，4的四个球，现从甲、乙两个盒子中各取出1个球，每个球被取出的可能性相等.

(1)、求取出的两个球上标号为相同数字的概率；

(2)、若两人分别从甲、乙两个盒子中各摸出一球，规定：两人谁摸出的球上标的数字大谁就获胜（若数字相同则为平局），这样规定公平吗？请说明理由.

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18. 某企业招聘，一共有 $200$ 名应聘者参加笔试他们的笔试成绩都在 $[40 ， 50)$ 内，按照 $[40 ， 100]$ ， $[50 ， 60)$ ，…， $[90 ， 100]$ 分组，得到如下频率分布直方图：

(1)、求图中 $a$ 的值；

(2)、求全体应聘者笔试成绩的平均数；（每组数据以区间中点值为代表）

(3)、该企业根据笔试成绩从高到低进行录取，若计划录取 $150$ 人，估计应该把录取的分数线定为多少.

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19. 已知点 $F_{1} (- 1 ， 0)$ ， $F_{2} (1 ， 0)$ ，动点 $P$ 到点 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 的距离和等于4.

(1)、试判断点 $P$ 的轨迹 $C$ 的形状，并写出其方程；

(2)、若曲线 $C$ 与直线 $m ： y = x - 1$ 相交于 $A$ 、 $B$ 两点，求弦 $A B$ 的长.

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20. 已知 $m > 0$ ，命题 $p ： (x + 1) (x - 5) \leq 0$ ，命题 $q ： 1 - m \leq x \leq 1 + m$ .

(1)、若 $m = 5$ ，若“ $p$ 或 $q$ ”是真命题，“ $p$ 且 $q$ ”是假命题，求实数 $x$ 的取值范围；

(2)、若 $p$ 是 $q$ 的充分不必要条件，求实数 $m$ 的取值范围.

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21. 某地区2007年至2013年农村居民家庭纯收入y（单位：千元）的数据如下表：

年份	2007	2008	2009	2010	2011	2012	2013
年份代号t	1	2	3	4	5	6	7
人均纯收入y	2.9	3.3	3.6	4.4	4.8	5.2	5.9

(1)、求y关于t的线性回归方程；

(2)、利用（1）中的回归方程，分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入.

附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：

$\overset{\land}{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (t_{i} - \bar{t}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum_{i = 1}^{n} {(t_{i} - \bar{t})}^{2}}$ ， $\hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{t}$

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22. 已知椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 过点 $M (0 ， 2)$ ，离心率 $e = \frac{\sqrt{6}}{3}$ .
（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）设过定点 $N (2 ， 0)$ 的直线l与椭圆相交于A，B两点，且 $∠ AOB$ 为锐角（其中O为坐标原点)，求直线l斜率的取值范围.

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广告费用 $X$ （万元）	2	3	5	6
销售利润 $Y$ （万元）	5	7	9	11