山东省烟台市芝罘区（五四制）2021-2022学年九年级上学期期中考试数学试题

试卷更新日期：2021-12-01 类型：期中考试

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一、单选题

1. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，cosA＝ $\frac{4}{5}$ ，则sinA的值是（）

A、 $\frac{3}{5}$ B、 $\frac{4}{5}$ C、 $\frac{3}{4}$ D、 $\frac{4}{3}$

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2. 若抛物线y＝x²+bx+c的对称轴为y轴，且点P（2，6）在该抛物线上，则c的值为（　　）

A、﹣2 B、0 C、2 D、4

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3. 已知抛物线 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 上部分点的横坐标x 与纵坐标y的对应值如表：

$x$

…

1

2

3

4

5

…

$y$

…

-5

$\frac{7}{2}$

$\frac{7}{2}$

$- 5$

$- \frac{15}{2}$

…

根据如表，下列判断正确的是（）

A、该抛物线开口向上 B、该抛物线的对称轴是直线x=1 C、该抛物线一定经过点 $(0 ， - \frac{15}{2})$ D、该抛物线在对称轴左侧部分y随x的增大而减小

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4. 二次函数y=x²+4x+3的图象可以由二次函数y=x²的图象平移而得到，下列平移正确的是（　　）

A、先向左平移2个单位，再向上平移1个单位 B、先向左平移2个单位，再向下平移1个单位 C、先向右平移2个单位，再向上平移1个单位 D、先向右平移2个单位，再向下平移1个单位

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5. 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=26°，BC=5．若用科学计算器求边AC的长，则下列按键顺序正确的是（）

A、 B、 C、 D、

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6. 如图，一块矩形木板ABCD斜靠在墙边，（ OC⊥OB ，点A、B、C、D、O在同一平面内），已知AB＝a ， AD＝b ， ∠BCO＝α ．则点A到OC的距离等于（）

A、asinα+bsinα B、acosα+bcosα C、asinα+bcosα D、acosα+bsinα

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7. 若点A（﹣4，y₁），B（﹣1，y₂），C（1，y₃）都是二次函数y＝x²＋4x＋k的图象上的点，则（）

A、y₁＜y₂＜y₃ B、y₂＜y₁＜y₃ C、y₃＜y₂＜y₁ D、y₃＜y₁＜y₂

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8. 如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，过A作AD⊥BC于点D ，若 $\frac{B D}{C D}$ ＝ $\frac{4}{3}$ ．则tanC的值为（）

A、 $\frac{4}{3}$ B、 $\frac{3}{4}$ C、 $\frac{3 \sqrt{3}}{4}$ D、 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$

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9. 已知a≠0，在同一直角坐标系中，函数y=ax与y=ax²的图象有可能是（　　）

A、 B、 C、 D、

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10. 如图， $△ A B C$ 的顶点都在边长相等的小正方形的顶点上，则 $\cos ∠ B A C$ 等于（）

A、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ B、 $\frac{\sqrt{10}}{5}$ C、 $\frac{\sqrt{10}}{10}$ D、 $\frac{3 \sqrt{10}}{10}$

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11. 如图，已知二次函数 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 图象的对称轴为直线 $x = - 1$ ，下列结论：（）

① $a b c < 0$ ；

② $3 a < - c$ ；

③ $a - \frac{1}{2} b + \frac{1}{4} c < 0$ ；

④若图象经过点（－3，－2），方程 $a x^{2} + b x + c + 2 = 0$ 的两根为 $x_{1}$ ， $x_{2} (| x_{1} | < | x_{2} |)$ ，则 $2 x_{1} - x_{2} = 5$ ．其中正确的结论的个数是（）

A、4个 B、3个 C、2个 D、1个

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12. 如图，矩形纸片ABCD中，BC=4，AB=3，点P是BC边上的动点（点P不与点B、C重合）．现将△PCD沿PD翻折，得到△PC′D ，作∠BPC′的角平分线，交AB于点E ．设BP=x ， BE=y ，则下列图象中，能表示y与x的函数关系的图象大致是（）

A、 B、 C、 D、

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二、填空题

13. 二次函数 $y = (m + 3) x^{2} + 3 x + m^{2} - 9$ 的图象经过原点，则 $m =$ ．

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14. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $A C = 12$ ， $A B$ 的垂直平分线 $M N$ 交 $A C$ 于 $D$ ，连接 $B D$ ．若 $\cos ∠ C D B = \frac{3}{5}$ ，则 $B C =$ ．

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15. 已知抛物线 $y = x^{2} - 2 k x + k^{2} + k - 2$ 的顶点在坐标轴上，则 $k =$ ．

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16. 如图甲、乙两艘船同时从港口 A 出发，甲船沿北偏东45°的方向前进，乙船沿北偏东75°方向以每小时30海里的速度前进，两船航行两小时分别到达B ， C处，此时测得甲船在乙船的正西方向，则此时甲、乙两船之间的距离是海里．

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17. 已知二次函数y＝ $\frac{1}{2}$ x²＋2若自变量x的取值范围是－1≤x≤2，则函数y的取值范围是．

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18. 如图，平面直角坐标系中，点A、B坐标分别为（3，0）、（0，4），点C是x轴正半轴上一点，连接BC ．过点A垂直于AB的直线与过点C垂直于BC的直线交于点D ，连接BD ，则sin∠BDC的值是．

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三、解答题

19. 计算：（sin30°﹣1）⁰﹣ $\sqrt{2}$ sin45°+tan60°cos30°

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20. 在体育测试时，初三的一名高个子男同学推铅球，已知铅球所经过的路线是某个二次函数图象的一部分，如图所示，如果这个男同学的出手处 $A$ 点的坐标 $(0 ， \frac{5}{3})$ ，铅球路线的最高处 $B$ 点的坐标为 $(4 ， 3)$ （单位：米）

(1)、求这个二次函数的解析式；

(2)、该男同学把铅球推出去多远？

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21. 如图，在平面直角坐标系中，OB＝5，sin∠AOB= $\frac{3}{5}$ ，点A的坐标为（10，0）．

(1)、求点B 的坐标；

(2)、求sin∠OAB的值．

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22. 如图，有长为21m的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为10m）围成中间隔有一道篱笆的长方形养鸡场，设养鸡场的宽 $A B$ 为x m，面积为 $y m^{2}$ ．

(1)、y与x的函数关系为，其中x的取值范围为，函数图象的对称轴为；

(2)、当养鸡场的面积为 $18 m^{2}$ 时，求养鸡场的宽；

(3)、求养鸡场面积的最大值．

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23. 某校为了更好的记录学生们在秋季运动会中精彩的瞬间，学校特意邀请了一名摄影师携带无人机来进行航拍．如图，摄影师在水平地面上点A测得无人机位置点C的仰角为53°；当摄影师迎着坡度为1：2.4的斜坡从点A走到点B时，无人机的位置恰好从点C水平飞到点D ，此时，摄影师在点B测得点D的仰角为45°，其中AB＝2.6米，CD＝3米，无人机与水平地面之间的距离始终保持不变，且A、B、C、D四点在同一平面内，求无人机距水平地面的高度．（参考数据： $\sin 53 ° \approx 0.8$ ， $\cos 53 ° \approx 0.6$ ， $\tan 53 ° \approx \frac{4}{3}$ ）

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24. 某品牌钢笔进价为每支20元，经销商小周在销售中发现，每月销售量y（支）与销售单价x（元）之间满足一次函数y＝﹣10x＋500的关系，在销售中销售单价不低于进价，而每支钢笔的利润不高于进价的60%，设小周每月获得利润为w（元）.

(1)、当销售单价定为每支多少元时，每月可获得最大利润？每月的最大利润是多少？

(2)、如果小周想要每月获得的利润不低于2000元，那么小周每月的成本最少需要多少元？（成本＝进价×销售量）.

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25. 如图①，在平面直角坐标系中，抛物线 $y = a x^{2} + b x + c$ （ $a \neq 0$ ）与x轴交于点A、B ，与y轴交于点C ，且OA＝2，OB＝OC＝6．

(1)、求抛物线的解析式；

(2)、点D是第一象限内抛物线上的动点，连接OD交BC于点E ，求 $S_{Δ B C D}$ 的最大值，并求出此时点D的坐标；

(3)、如图②，点P是抛物线对称轴l上一点，是否存在点P的位置，使△BCP是直角三角形？若存在，请直接写出相应点P的坐标；若不存在，请说明理由．

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$x$	…	1	2	3	4	5	…
$y$	…	-5	$\frac{7}{2}$	$\frac{7}{2}$	$- 5$	$- \frac{15}{2}$	…