山东省菏泽市牡丹区2021-2022学年九年级上学期期中数学试题

试卷更新日期：2021-12-01 类型：期中考试

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一、单选题

1. 下列说法中错误的是（）

A、两条对角线互相平分的四边形是平行四边形 B、两条对角线相等的四边形是矩形 C、两条对角线互相垂直的平行四边形是菱形 D、两条对角线相等的菱形是正方形

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2. 若方程 $(m - 1) x^{m^{2} + 1} - (m + 1) x - 2 = 0$ 是关于x的一元二次方程，则m的值为（）

A、-1 B、±1 C、1 D、0

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3. 如图，在 $Rt △ ABC$ 中， $∠ BAC = 90 °$ ， $∠ B = 36 °$ ，AD是斜边BC上的中线，将△ACD沿AD对折，使点C落在点F处，线段DF与AB相交于点E，则∠BED等于（）

A、120° B、108° C、72° D、36°

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4. 如图是小明设计用手电筒来测量某古城墙高度的示意图．在地面上点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好射到古城墙 $C D$ 的顶端C处，已知 $A B ⊥ B D ， C D ⊥ B D$ ，且测得 $A B = 1.2 m ， B P = 1.8 m ， P D = 18 m$ ，那么该古城墙的高度是（）

A、 $6 m$ B、 $8 m$ C、 $12 m$ D、 $24 m$

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5. 如图，在正方形ABCD中，G为CD的中点，连结AG并延长，交BC边的延长线于点E ，对角线BD交AG于点F ，已知FG＝2，则线段AE的长是（　　）

A、8 B、10 C、12 D、16

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6. 若一元二次方程 $x^{2} - 2 x - m = 0$ 无实数根，则一次函数 $y = (m + 1) x + m - 1$ 的图像经过第（）

A、二、三、四象限 B、一、三、四象限 C、一、二、四象限 D、一、二、三象限

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7. 如图，等边 $△ A B C$ 中， $D$ 为 $A B$ 边中点， $D E ⊥ A C$ 于 $E$ ， $E F // A B$ 交 $B C$ 于 $F$ 点，则 $△ E F C$ 与 $△ A B C$ 的面积之比为（）

A、 $3 ： 4$ B、 $9 ： 16$ C、 $4 ： 5$ D、 $16 ： 25$

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8. 如图所示，在平面直角坐标系中，将边长为1的正方形 $O A B C$ 绕点 $O$ 顺时针旋转45°后得到正方形 $O A_{1} B_{1} C_{1}$ ．依此方式，绕点 $O$ 连续旋转2021次得到正方形 $O A_{2021} B_{2021} C_{2021}$ ，那么点 $A_{2021}$ 的坐标是（）

A、 $(\frac{\sqrt{2}}{2} ， - \frac{\sqrt{2}}{2})$ B、 $(1 ， 0)$ C、 $(- \frac{\sqrt{2}}{2} ， - \frac{\sqrt{2}}{2})$ D、 $(0 ， - 1)$

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二、填空题

9. 若 $3 x = 4 y$ ，则 $\frac{x + y}{y}$ 的值是．

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10. 在不透明的袋子里装有颜色不同的16个红球和若干个白球，每次从袋子里摸出1个球，记录下颜色后再放回，经过100次试验，发现摸到白球的次数为60次，估计袋中白球有个．

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11. 在平面直角坐标系中，△OAB各顶点的坐标分别为：O（0，0），A（1，2），B（0，3），以O为位似中心，△OA′B′与△OAB位似，若B点的对应点B′的坐标为（0，﹣6），则A点的对应点A′坐标为.

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12. 如图，已知四边形ABCD是边长为4cm的菱形，∠BAD＝60°，过点O的直线EF交AD于点E ，交BC于点F ，当∠EOD=30°时，CE的长是．

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13. 如图，矩形 $A B C D$ 中， $A B = 6$ ， $B C = 8$ ，连接 $A C$ ．以点 $C$ 为圆心，以任意长为半径作弧，交 $A C$ ， $C D$ 分别于点 $E$ ， $F$ ：分别以点 $E$ ， $F$ 为圆心，以大于 $\frac{1}{2} E F$ 长为半径作弧，两弧相交于点 $P$ ：作射线 $C P$ ，交 $A D$ 于点 $H$ ．则 $Δ A C H$ 的面积为．

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14. 如图，在 $▱ A B C D$ 中， $A D = 2 A B$ ， $C E ⊥ A B$ 于点E ，点F、G分别是 $A D$ 、 $B C$ 的中点，连接 $C F$ 、 $E F$ 、 $F G$ ，下列四种说法：① $C E ⊥ F G$ ；②四边形 $A B G F$ 是菱形；③ $B C = 2 E G$ ；④ $∠ D F C = ∠ E F G$ ．正确的有．（填序号）

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三、解答题

15. 解方程：

(1)、 $3 x (2 x + 1) = 4 x + 2$ ；

(2)、 $2 x^{2} + 5 x - 3 = 0$ ．

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16. 如图，菱形 $A B C D$ 的对角线 $A C$ ， $B D$ 相交于点 $O$ ， $E$ 是 $A D$ 的中点，点 $F$ 、 $G$ 在 $A B$ 上， $E F ⊥ A B$ ， $O G // E F$ ．

(1)、求证：四边形 $O E F G$ 是矩形；

(2)、若 $A D = 10$ ， $E F = 4$ ，求 $O E$ 和 $B G$ 的长．

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17. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ， $A D ⊥ B C$ 于 $D$ ，作 $D E ⊥ A C$ 于 $E$ ， $F$ 是 $A B$ 中点，连结 $E F$ 交 $A D$ 于点 $G$ ．

(1)、求证： $A D^{2} = A B \cdot A E$ ；

(2)、若 $A B = 3$ ， $A E = 2$ ，求 $\frac{A D}{A G}$ 的值．

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18. 在甲、乙两个不透明的口袋中，分别有大小、材质完全相同的小球，其中甲口袋中的小球上分别标有数字 $1$ ， $2$ ， $3$ ， $4$ ，乙口袋中的小球上分别标有数字 $2$ ， $3$ ， $4$ ，先从甲口袋中任意摸出一个小球，记下数字为 $m$ ，再从乙口袋中任意摸出一个小球，记下数字为 $n$ ．

(1)、请用列表或画树状图的方法表示出所有 $(m ， n)$ 可能的结果．

(2)、若 $m$ ， $n$ 都是方程 $x^{2} - 5 x + 6 = 0$ 的解时，则小明获胜；若 $m$ ， $n$ 都不是方程 $x^{2} - 5 x + 6 = 0$ 的解时，则小利获胜，问他们两人谁获胜的概率大？并说明理由．

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19. 为助力我省脱贫攻坚，某村在“农村淘宝网店”上销售该村优质农产品，该网店于今年六月底收购一批农产品，七月份销售 $256$ 袋，八、九月该商品十分畅销，销售量持续走高，在售价不变的基础上，九月份的销售量达到 $400$ 袋.

(1)、求八、九这两个月销售量的月平均增长率；

(2)、该网店十月降价促销，经调查发现，若该农产品每袋降价1元，销售量可增加5袋，当农产品每袋降价多少元时，这种农产品在十月份可获利4250元？（若农产品每袋进价25元，原售价为每袋40元）

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20. 如图，在正方形 $A B C D$ 中，点 $G$ 在对角线 $B D$ 上（不与点 $B$ ，点 $D$ 重合）， $G E ⊥ D C$ 于点 $E$ ， $G F ⊥ B C$ 于点 $F$ ，连结 $A G$ ，

(1)、写出线段 $A G$ ， $G E$ ， $G F$ 长度之间的数量关系，并说明理由．

(2)、若正方形 $A B C D$ 的边长为 $\sqrt{6}$ ， $∠ B A G = 75 °$ ，求线段 $B G$ 的长．

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21. 如图1，在矩形 $A B C D$ 中， $A B = 6 ， B C = 8$ ，动点P，Q分别从C点，A点同时以每秒1个单位长度的速度出发，且分别在边 $C A ， A B$ 上沿 $C \to A$ ， $A \to B$ 的方向运动，当点Q运动到点 $B$ 时， $P ， Q$ 两点同时停止运动，设点P运动的时间为 $t (s)$ ，连接 $P Q$ ，过点P作 $P E ⊥ P Q$ ， $P E$ 与边 $B C$ 相交于点E，连接 $Q E$ ．

(1)、如图2，当 $t = 5 s$ 时，延长 $E P$ 交边 $A D$ 于点F．求证： $A F = C E$ ；

(2)、在（1）的条件下，试探究线段 $A Q ， Q E ， C E$ 三者之间的等量关系，并加以证明；

(3)、如图3，当 $t > \frac{9}{4} s$ 时，延长 $E P$ 交边 $A D$ 于点 $F$ ，连接 $F Q$ ，若 $F Q$ 平分 $∠ A F P$ ，求 $\frac{A F}{C E}$ 的值．

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