广东省揭阳市普宁市2021-2022学年九年级上学期期中数学试题

试卷更新日期：2021-12-01 类型：期中考试

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一、单选题

1. 已知 $2 x = 3 y (x y \neq 0)$ ，那么下列比例式中成立的是（）

A、 $\frac{x}{2} = \frac{y}{3}$ B、 $\frac{x}{3} = \frac{y}{2}$ C、 $\frac{x}{y} = \frac{2}{3}$ D、 $\frac{x}{2} = \frac{3}{y}$

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2. 已知2是关于x的方程3x²﹣2a＝0的一个解，则a的值是（）

A、3 B、4 C、5 D、6

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3. 已知菱形的边长和一条对角线的长均为2cm，则菱形的面积为（）

A、3cm² B、4cm² C、 $\sqrt{3}$ cm² D、2 $\sqrt{3}$ cm²

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4. 如图，直线 $l_{1} ∥ l_{2} ∥ l_{3}$ ，直线AC和DF被 $l_{1}$ ， $l_{2}$ ， $l_{3}$ 所截， $A B = 5$ ， $B C = 6$ ， $E F = 4$ ，则 $D E$ 的长为（）．

A、2 B、3 C、4 D、 $\frac{10}{3}$

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5. 为了庆祝中国共产党成立100周年，某校举办了党史知识竞赛活动，在获得一等奖的学生中，有3名女学生，1名男学生，则从这4名学生中随机抽取2名学生，恰好抽到2名女学生的概率为（）

A、 $\frac{2}{3}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{1}{6}$

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6. 如图，点 $C$ 是线段 $A B$ 的黄金分割点（ $A C > B C$ ），下列结论错误的是（）

A、 $\frac{A C}{A B} = \frac{B C}{A C}$ B、 $B C^{2} = A C • A B$ C、 $\frac{A C}{A B} = \frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ D、 $\frac{B C}{A C} \approx 0.618$

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7. 用配方法解方程时，下列配方错误的是（）．

A、 $x^{2} + 6 x - 7 = 0$ 化为 ${(x + 3)}^{2} = 0$ B、 $x^{2} - 5 x - 4 = 0$ 化为 ${(x - \frac{5}{2})}^{2} = \frac{41}{4}$ C、 $x^{2} + 2 x - 99 = 0$ 化为 ${(x + 1)}^{2} = 100$ D、 $3 x^{2} - 4 x - 2 = 0$ 化为 ${(x - \frac{2}{3})}^{2} = \frac{10}{9}$

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8. 如图， $R t △ A B C ≅ R t △ D C B$ ，其中 $∠ A B C = 90 °$ ， $A B = 3$ ， $B C = 4$ ，M为BC中点，EF过点M交AC、BD于点E、F ，连接BE、CF ，则下列结论错误的是（）．

A、四边形BECF为平行四边形 B、当 $B F = 3.5$ 时，四边形BECF为矩形 C、当 $B F = 2.5$ 时，四边形BECF为菱形 D、四边形BECF不可能为正方形

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9. 如图，学校课外生物小组的试验园地的形状是长35米、宽20米的矩形．为便于管理，要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道，使种植面积为600平方米，则小道的宽为多少米？若设小道的宽为 $x$ 米，则根据题意，列方程为（）

A、 $35 \times 20 - 35 x - 20 x + 2 x^{2} = 600$ B、 $35 \times 20 - 35 x - 2 \times 20 x = 600$ C、 $(35 - 2 x) (20 - x) = 600$ D、 $(35 - x) (20 - 2 x) = 600$

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10. 如图，在边长为 $a$ 的等边 $Δ A B C$ 中，分别取 $Δ A B C$ 三边的中点 $A_{1}$ ， $B_{1}$ ， $C_{1}$ ，得△ $A_{1} B_{1} C_{1}$ ；再分别取△ $A_{1} B_{1} C_{1}$ 三边的中点 $A_{2}$ ， $B_{2}$ ， $C_{2}$ ，得△ $A_{2} B_{2} C_{2}$ ；这样依次下去 $\dots$ ，经过第2021次操作后得△ $A_{2021} B_{2021} C_{2021}$ ，则△ $A_{2021} B_{2021} C_{2021}$ 的面积为（）

A、 $\frac{a^{2}}{2^{2021}}$ B、 $\frac{a^{2}}{2^{4042}}$ C、 $\frac{\sqrt{3} a^{2}}{2^{4042}}$ D、 $\frac{\sqrt{3} a^{2}}{2^{4044}}$

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二、填空题

11. 一元二次方程 $x^{2} - 6 x + 5 = 0$ 的两根是．

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12. 如图，∠DAB=∠CAE，请补充一个条件：，使△ABC∽△ADE．

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13. 如图，在正方形 $A B C D$ ，E是对角线 $B D$ 上一点， $A E$ 的延长线交 $C D$ 于点F，连接 $C E$ ．若 $∠ B A E = 56 °$ ，则 $∠ C E F =$ $°$ ．

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14. 如图，小华同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，使斜边DF与地面保持水平，并且边DE与点B在同一直线上.已知纸板的两条直角边 $D E = 30 c m$ ， $E F = 15 c m$ ，测得边DF离地面的高度 $A C = 120 c m$ ， $C D = 600 c m$ ，则树AB的高度为cm.

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15. 已知a、b是一元二次方程 $x^{2} - 5 x - 1 = 0$ 的两个根，则 $a (3 b - 2) - 2 b$ 的值为．

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16. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = 6$ ，点D ， E分别在边AB ， AC上， $D E / / B C$ ， $△ A D E ∽ △ A B C$ 且 $S_{△ A D E} ： S_{四边形 B C E D} = 4 ： 21$ ，则 $A D =$ ．

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17. 如图，在矩形ABCD中， $A B = 4$ ，点E ， F分别在BC ， CD上，将 $△ A B E$ 沿AE折叠，使点B落在AC上的点 $B^{'}$ 处，又将 $△ C E F$ 沿EF折叠，使点C落在直线 $E B^{'}$ 与AD的交点 $C^{'}$ 处， $D F =$ ．

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三、解答题

18. 解方程： $x^{2} - 6 x + 4 = 0$ ．

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19. 已知：如图，在菱形ABCD中，E ， F分别是边AD和CD上的点，且 $∠ A B E = ∠ C B F$ ．求证： $D E = D F ．$

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20. 如图，已知∠BAC＝∠EAD，AB＝20.4，AC＝48，AE＝17，AD＝40．
求证：△ABC∽△AED．

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21. 小明和小刚一起做游戏，游戏规则如下：将分别标有数字 1， 2， 3， 4 的 4 个小球放入一个不透明的袋子中，这些球除数字外都相同．从中随机摸出一个球记下数字后放回，再从中随机摸出一个球记下数字．若两次数字差的绝对值小于 2，则小明获胜，否则小刚获胜．这个游戏对两人公平吗？请说明理由．

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22. 关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} - 3 x + k = 0$ 有实数根．

(1)、求 $k$ 的取值范围；

(2)、如果 $k$ 是符合条件的最大整数，且一元二次方程 $(m - 1) x^{2} + x + m - 3 = 0$ 与方程 $x^{2} - 3 x + k = 0$ 有一个相同的根，求此时 $m$ 的值．

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23. 2020年年初以来，全国多地猪肉价格连续上涨，引起了民众与政府的高度关注，政府向市场投入储备猪肉进行了价格平抑．据统计：某超市2020年1月10日猪肉价格比去年同一天上涨了40%，这天该超市每千克猪肉价格为56元．

(1)、求2019年1月10日，该超市猪肉的价格为每千克多少元？

(2)、现在某超市以每千克46元的价格购进猪肉，按2020年1月10日价格出售，平均一天能销售100千克.经调查表明：猪肉的售价每千克下降1元，平均每日销售量就增加20千克，超市为了实现销售猪肉平均每天有1120元的销售利润，在尽可能让利于顾客的前提下，每千克猪肉应该定价为多少元？

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24. 如图，已知矩形ABCD的边长AB＝3cm，BC＝6cm，某一时刻，动点M从点A出发沿AB方向以1cm/s的速度向点B匀速运动；同时，动点N从点D沿DA方向以2cm/s的速度向点A匀速运动．

(1)、经过多少时间，△AMN的面积等于矩形ABCD面积的 $\frac{1}{9}$ ？

(2)、是否存在时刻t，使A、M、N为顶点的三角形与△ACD相似？若存在，求t的值；若不存在，请说明理由．

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25. 如图①，在正方形 $A B C D$ 中， $A B ＝ 6$ ， $M$ 为对角线 $B D$ 上任意一点（不与 $B 、 D$ 重合），连接 $C M$ ，过点 $M$ 作 $M N ⊥ C M$ ，交线段 $A B$ 于点 $N$ .

(1)、求证： $M N ＝ M C$ ；

(2)、若 $D M ： D B ＝ 2 ： 5$ ，求证： $A N ＝ 4 B N$ ；

(3)、如图②，连接 $N C$ 交 $B D$ 于点 $G$ ．若 $B G ： M G ＝ 3 ： 5$ ，求 $N G • C G$ 的值．

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