北京市大兴区2021-2022学年九年级上学期期中数学试题

试卷更新日期：2021-12-01 类型：期中考试

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一、单选题

1. 北京时间2021年10月16日0时23分，长征二号 $F$ 运载火箭托举神舟十三号载人飞船升空，中国空间站关键技术验证阶段收官之战正式打响．长征二号 $F$ 运载火箭是长征家族的明星火箭，绰号“神箭”．它的身高58米，体重497吨，运载能力超过 $8.1$ 吨，起飞推力 $5923000$ 牛，它是中国航天员的专属交通工具．将 $5923000$ 用科学记数法表示应为（）

A、 $0.5923 \times 10^{7}$ B、 $5.923 \times 10^{7}$ C、 $5.923 \times 10^{6}$ D、 $59.23 \times 10^{5}$

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2. 抛物线 $y = - {(x + 1)}^{2} - 2$ 的顶点坐标是（）

A、 $(- 1 ， 2)$ B、 $(- 1 ， - 2)$ C、 $(1 ， 2)$ D、 $(1 ， - 2)$

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3. 方程 $x^{2} - 3 x - 1 = 0$ 的根的情况是（）

A、有两个不相等的实数根 B、有两个相等的实数根 C、没有实数根 D、无法确定是否有实数根

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4. 如图，把菱形ABOC绕点O顺时针旋转得到菱形DFOE，则下列角中不是旋转角的为（）

A、∠BOF B、∠AOD C、∠COE D、∠COF

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5. 已知抛物线 $y = x^{2} - x - 3$ 经过点 $A (2 ， y_{1})$ ， $B (3 ， y_{2})$ ，则 $y_{1}$ 与 $y_{2}$ 的大小关系是（）

A、 $y_{1} > y_{2}$ B、 $y_{1} < y_{2}$ C、 $y_{1} \leq y_{2}$ D、 $y_{1} \geq y_{2}$

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6. 用配方法解方程 $x^{2} + 8 x - 9 = 0$ ，变形后的结果正确的是（）

A、 ${(x + 4)}^{2} = - 9$ B、 ${(x + 4)}^{2} = - 25$ C、 ${(x + 4)}^{2} = 9$ D、 ${(x + 4)}^{2} = 25$

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7. 将抛物线 $y = x^{2}$ 向左平移 $1$ 个单位长度，再向下平移 $3$ 个单位长度后，就得到抛物线（）

A、 $y = {(x + 1)}^{2} + 3$ B、 $y = {(x - 1)}^{2} - 3$ C、 $y = {(x + 1)}^{2} - 3$ D、 $y = {(x - 1)}^{2} + 3$

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8. 某种商品的价格是 $2$ 元，准备进行两次降价．如果每次降价的百分率都是 $x$ ，经过两次降价后的价格 $y$ （单位：元）随每次降价的百分率 $x$ 的变化而变化，则 $y$ 关于 $x$ 的函数解析式是（）

A、 $y = 2 {(x + 1)}^{2}$ B、 $y = 2 {(1 - x)}^{2}$ C、 $y = {(x + 1)}^{2}$ D、 $y = {(x - 1)}^{2}$

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二、填空题

9. 分解因式：ab²﹣4ab+4a= ．

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10. 若关于 $x$ 的一元二次方程 $(a - 1) x^{2} + x + a - 2 = 0$ 有一根为 $0$ ，则 $a =$ ．

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11. 已知点 $A (a ， 2)$ 与点 $A^{'} (- 4 ， - 2)$ 关于原点对称，则a= ．

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12. 一元二次方程 $x^{2} - 3 x = 0$ 的根是．

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13. 请写出一个开口向下，并且与 $y$ 轴交于点 $(0 ， 4)$ 的抛物线的解析式．

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14. 如图，△ABC中，∠CAB＝70°，在同一平面内，将△ABC绕点A旋转到△AB′C′的位置，使得C′C∥AB ，则∠BAB′等于．

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15. 抛物线 $y = 3 {(x - 1)}^{2} + k$ 与 $x$ 的一个交点坐标是 $(- 1 ， 0)$ ，则另一个交点坐标是．

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16. 如图，直线 $y = - \frac{3}{2} x + 3$ 与 $x$ 轴、 $y$ 轴分别交于 $A$ 、 $B$ 两点，把 $Δ A O B$ 绕点 $A$ 旋转 $90 °$ 后得到 $Δ A O^{'} B^{'}$ ，则点 $B^{'}$ 的坐标是．

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三、解答题

17. 解方程： $x^{2} + 2 x - 8 = 0$

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18. 已知点 $(k ， 1)$ 是二次函数 $y = 3 x^{2} - 2 x$ 图象上一点，求代数式 ${(k - 1)}^{2} + 2 (k + 1) (k - 1) + 8$ 的值．

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19. 已知二次函数 $y = x^{2} - 4 x + 3$ ．

(1)、二次函数 $y = x^{2} - 4 x + 3$ 的图象与 $x$ 轴交于 $A$ 、 $B$ 两点（ $A$ 点在 $B$ 点左侧），求 $A$ 、 $B$ 两点的坐标；

(2)、在网格中，画出该函数的图象．

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20. 已知二次函数

y = x^{2} + b x + c

，函数

y

与自变量

x

的部分对应值如下表：

$x$	…	-1	0	1	2	3	4	…
$y$	…	0	-3	-4	-3	0	5	…

(1)、求该二次函数的解析式；

(2)、当

x

为何值时

y

有最小值，最小值是多少？

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21. 已知关于 $x$ 的一元二次方程 $(m - 1) x^{2} + 2 x + 2 = 0$ 有两个不相等的实数根．

(1)、求 $m$ 的取值范围；

(2)、当 $m$ 取满足条件的最大整数时，求方程的根．

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22. 在体育课掷实心球活动中，小华通过研究发现：实心球所经过的路线是一条抛物线的一部分，如果球出手处点 $A$ 距离地面的高度为 $2 m$ ，当球运行的水平距离为 $6 m$ 时，达到最大高度 $5 m$ 的 $B$ 处（如图），问实心球的落地点 $C$ 与出手处点 $A$ 的水平距离是多少？（结果保留根号）

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23. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，抛物线 $y = x^{2} + 2 x + 2$ 与 $y$ 轴交于点 $A$ ．

(1)、点 $A$ 的坐标是；

(2)、横、纵坐标都是整数的点叫做整点．直接写出抛物线 $y = x^{2} + 2 x + 2$ 与直线 $y = 4$ 围成的阴影图形中（不包括边界）所含的所有整点的坐标．

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24. $△ A C B$ 中， $∠ C = 90 °$ ，以点A为中心，分别将线段 $A B$ ， $A C$ 逆时针旋转 $60 °$ 得到线段 $A D$ ， $A E$ ，连接 $D E$ ，延长 $D E$ 交 $C B$ 于点 $F$ ．用等式表示线段 $C F$ 与 $A C$ 的数量关系，并加以证明．

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25. 大兴某小区为响应创建文明城市号召，引导小区居民节约用水，居委会工作人员小赵在该小区的1000个家庭中，随机统计了

m

个家庭的月用水情况，并绘制了如下的频数分布表（其中

a

为每个家庭的月用水量，单位：吨）．

月用水量 $a$ /吨	频数
$a \leq 5$	8
$5 < a \leq 10$	20
$10 < a \leq 15$	14
$15 < a \leq 20$	6
$a > 20$	2
合计	$m$

请你根据以上提供的信息，解答下列问题：

(1)、

m

的值为；

(2)、计算该小区1000个家庭中月用水量

a \leq 10

的家庭大约有多少个．

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26. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知抛物线 $y = a x^{2} - 6 a x - 4$ （ $a \neq 0$ ）．

(1)、求抛物线的对称轴；

(2)、若方程 $a x^{2} - 6 a x - 4 = 0$ （ $a \neq 0$ ）有两个不相等的实数根 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，且 $2 \leq x_{1} < x_{2} \leq 4$ ，结合函数的图象，求 $a$ 的取值范围．

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27. 已知在 $Rt △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $C A = C B$ ，在平面内有一个点 $E$ （点 $E$ 与点 $A$ ， $C$ 不重合），以点 $C$ 为中心，把线段 $C E$ 顺时针旋转 $90 °$ ，得到线段 $C D$ ，连接 $B E$ ， $A D$ ．

(1)、如图，若点 $E$ 在边 $A C$ 上；
①依题意补全图形；

②设 $B E = k A D$ ，则 $k =$ ．

(2)、如图，若点 $E$ 不在边 $A C$ 上，猜想线段 $B E$ ， $A D$ 之间的数量关系及位置关系，并证明．

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28. 定义：在平面直角坐标系 $x O y$ 中，抛物线 $y = a x^{2} + b x + c$ （ $a \neq 0$ ）与 $x$ 轴交于点 $A$ ， $B$ ．点 $P$ 为平面内任意一点，若 $P A = P B$ ，且 $∠ A P B \leq 120 °$ 时，称点 $P$ 为线段 $A B$ 的“居中点”．特别地，当 $P A = P B$ ，且 $∠ A P B = 120 °$ 时，又称点 $P$ 为线段 $A B$ 的“正居中点”．抛物线 $y = x^{2} - 2 \sqrt{3} x$ 与 $x$ 轴的正半轴交于点 $M$ ．

(1)、若点 $C$ 是线段 $O M$ 的“正居中点”，且在第一象限，则点 $C$ 的坐标为；

(2)、若点 $D$ 是线段 $O M$ 的“居中点”，则点 $D$ 的纵坐标 $d$ 的取值范围是；

(3)、将射线 $O M$ 绕点 $O$ 顺时针旋转 $30 °$ 得到射线 $m$ ，已知点 $E$ 在射线 $m$ 上，若在第四象限内存在点 $F$ ，点 $F$ 既是线段 $O M$ 的“居中点”，又是线段 $O E$ 的“正居中点”，求此时点 $E$ 的坐标．

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