安徽省合肥市包河区2021-2022学年九年级上学期期中数学试题

试卷更新日期：2021-12-01 类型：期中考试

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一、单选题

1. 函数 $y = - 2 {(x + 2)}^{2}$ 图象的顶点坐标是（）

A、 $(- 2 ， 0)$ B、 $(- 2 ， 2)$ C、 $(2 ， 0)$ D、 $(2 ， - 2)$

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2. 如果 $5 a = 6 b (b \neq 0)$ ，则下列结论错误的是（）

A、 $\frac{a}{6} = \frac{b}{5}$ B、 $\frac{a}{b} = 1.2$ C、 $\frac{a + b}{b} = \frac{11}{5}$ D、 $\frac{5}{b} = \frac{a}{6}$

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3. 将抛物线 $y = x^{2}$ 沿y轴向下平移2个单位，得到的抛物线的解析式为（）

A、 $y = x^{2} + 2$ B、 $y = x^{2} - 2$ C、 $y = {(x + 2)}^{2}$ D、 $y = {(x - 2)}^{2}$

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4. 比值为 $\frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ （约0.618）的比例被公认为是最能引起美感的比例，因此被称为黄金分割比，我们中国的国旗宽与长之比就非常接近这个比例，如果某面国旗长为2米，则其宽约为（）

A、1.4米 B、1.2米 C、1.0米 D、0.8米

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5. 如图，线段 $A B$ 两个端点的坐标分别为 $A (2 ， 2) 、 B (2.5 ， 0.8)$ ，以原点O为位似中心，在第一象限内将线段 $A B$ 扩大为原来的2倍后得到线段 $C D$ ，则端点C的坐标为（）

A、 $(3 ， 1.6)$ B、 $(4 ， 3.2)$ C、 $(4 ， 4)$ D、 $(6 ， 1.6)$

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6. 已知二次函数 $y = - x^{2} + 2 x + 1$ 图象上的三点 $A (- 1 ， y_{1}) ， B (2 ， y_{2}) ， C (4 ， y_{3})$ ，则 $y_{1} 、 y_{2} 、 y_{3}$ 的大小关系为（）

A、 $y_{1} < y_{2} < y_{3}$ B、 $y_{2} < y_{1} < y_{3}$ C、 $y_{1} < y_{3} < y_{2}$ D、 $y_{3} < y_{1} < y_{2}$

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7. 在 $△ A B C$ 中，D为 $A C$ 边上一点，则下列条件一定能得到一对相似三角形的是（）

A、 $∠ D B C = ∠ C$ B、 $A D \cdot A C = B D^{2}$ C、 $∠ A B D = ∠ C$ D、 $A D \cdot A B = A C \cdot B C$

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8. 如图，在 $△ A B C$ 中，D、E分别是边 $B C$ 、 $A C$ 上的点， $A D$ 与 $B E$ 相交于点F ，若E为 $A C$ 的中点， $B D ： D C = 2 ： 3$ ，则 $A F ： F D$ 的值是（）

A、2.5 B、3 C、4 D、2

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9. 如图， $△ A B C$ 中， $∠ B A C = 90 °$ ， $A B = A C$ ， $A D$ 为 $B C$ 边上的中线，E ， F分别为 $B C ， A C$ 边上的点，且 $E A = E F$ ，过F点作 $F G ⊥ B C$ 于点G ．以下结论：① $△ A H F ∽ △ C E A$ ② $∠ C + ∠ F E G = ∠ E A C$ ③ $B C = 2 E G$ ④ $E H = H F$ 其中正确结论的个数是（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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10. 如图，直线l为抛物线 $y = - x^{2} + 2 x + 3$ 的对称轴，点P为抛物线上一动点（在顶点或顶点的右侧），过点P作 $P A ⊥ x$ 轴于点A ，作PB∥x轴交抛物线于点B ，设 $P A = h$ ， $P B = m$ ，则h与m的函数图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

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二、填空题

11. 二次函数 $y = 2 x^{2} - 2$ 的最小值是

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12. 如图，直线 $y = m x$ 与双曲线 $y = \frac{n}{x}$ 交于点A ， B ．过点A作 $A P ⊥ x$ 轴，垂足为点P ，连接 $B P$ ．若B的坐标为 $(3 ， 2)$ ，则 $S_{△ B P O} =$ ．

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13. 如图所示，一般书本的纸张是原纸张多次对开得到，矩形 $A B C D$ 沿 $E F$ 对开后，再把矩形 $E F C D$ 沿 $M N$ 对开，依次类推，若各种开本的矩形都相似，那么 $\frac{A D}{A B}$ 的值为．

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14. 如图，在等边 $△ A B C$ 中， $A B = 2$ ，点P为 $A C$ 边上一动点，M为 $B P$ 的中点，连接 $C M$ ．

(1)、当点P为 $A C$ 的中点， $C M$ 的长为；

(2)、若点P移动到使 $∠ P M C = 60 °$ 时， $C M$ 的长为．

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三、解答题

15. 已知抛物线 $y = a x^{2} - 2 x + 3 a$ 过点 $C (3 ， 6)$ ．

(1)、求a的值；

(2)、求该抛物线顶点的坐标．

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16. 已知实数x、y、z满足 $\frac{x}{2} = \frac{y}{3} = \frac{z}{4}$ ，试求 $\frac{x + 2 y - z}{2 x - y}$ 的值．

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17. 如图，在 $△ A B C$ 中，DE∥BC ， EF∥AB ， $A E = 2 C E ， A B = 12 ， B C = 15$ ．求 $A D$ 长及四边形 $B D E F$ 的周长．

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18. 如图，抛物线 $y = a x^{2} + b x + 3$ 交x轴于 $A (- 1 ， 0)$ 、 $B (3 ， 0)$ 两点，与y轴交于点C ，顶点为D ．

(1)、求出该抛物线的解析式及顶点D的坐标．

(2)、若直线 $B D$ 的解析式 $y = m x + n$ ，请直接写出不等式 $a x^{2} + b x + 3 > m x + n$ 的解集．

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19. 如图是由边长为1的小正方形组成的网格，A、B、C、D四点均在正方形网格的格点上，线段 $A B 、 C D$ 相交于点E ．

(1)、请在网格图中画两条线段（不添加另外的字母），构成一对相似三角形，并用“ $∽$ ”符号写出这对相似三角形；

(2)、求线段 $B E$ 的长．

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20. 如图所示，直线 $y = - \frac{1}{2} x + 2$ 交坐标轴于A ， B两点，与反比例函数 $y = \frac{k}{x} (x < 0)$ 交于点C ，过点C作x轴的垂线，垂足为D ．若 $A O ： C D = 2 ： 3$ ，求k的值．

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21. 小明毕业后在某水果超市做销售员，他发现一种进价为每箱40元的水果，按每箱50元出售，一个月可售出500箱，若售价每涨价1元，月销售量就会减少10箱．

(1)、直接写出月销售量为y（箱）与售价x（元箱）之间的函数关系式；

(2)、求月销售利润为w（元）与售价x（元箱）之间的函数关系式，并确定售价为每箱多少元时，会获得最大利润，最大利润是多少？（销售利润=销售总额-成本总额）

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22. 已知二次函数． $y = - x^{2} + m x + m (m \neq 0)$ ）的图象与x轴交于A、B两点（A在B点的左侧），与y轴交点C ，顶点为D ．

(1)、若A点在x负半轴上，且 $O A = O C$ ，求该二次函数解析式：

(2)、用含m的代数式表示顶点D的纵坐标，并求纵坐标的最小值．

(3)、若 $- 2 \leq m \leq 4$ ，且当 $- 1 \leq x \leq 2$ 时，y的最大值为3，直接写出m的值．

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23. $△ A B C$ 中， $∠ A B C = 90 °$ ， $B D ⊥ A C$ ，点E为 $B D$ 的中点，连接 $A E$ 并延长交 $B C$ 于点F ，且有 $A F = C F$ ，过F点作 $F H ⊥ A C$ 于点H ．

(1)、求证： $△ A D E ∽ △ C D B$ ；

(2)、求证： $A E = 2 E F$ ；

(3)、若 $F H = \sqrt{3}$ ，求 $B C$ 的长．

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