广东省佛山市顺德区2021-2022学年高二上学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2021-12-01 类型：期中考试

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一、单选题

1. 已知直线l经过 $A (1 ， 3) ， B (- 2 ， 4)$ 两点，则直线l的斜率是（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $- \frac{1}{3}$ C、3 D、-3

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2. 点 $A (3 ， - 7)$ 到直线 $x + y = 0$ 的距离为（）

A、2 B、 $\sqrt{2}$ C、4 D、 $2 \sqrt{2}$

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3. 某同学做立定投篮训练，共两场，第一场投篮20次的命中率为80%，第二场投篮30次的命中率为70%，则该同学这两场投篮的命中率为（）

A、72% B、74% C、75% D、76%

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4. 直线l： $(k + 1) x + 2 k y + 3 k - 1 = 0$ 经过定点A，则A的纵坐标为（）

A、-2 B、-1 C、1 D、2

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5. 已知平面 $α$ 的一个法向量为 $\vec{n} = (- 1 ， - 2 ， 2)$ ，点 $A (0 ， 1 ， 0)$ 为 $α$ 内一点，则点 $P (1 ， 0 ， 1)$ 到平面 $α$ 的距离为（）

A、4 B、3 C、2 D、1

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6. 某工厂有甲、乙、丙三名工人进行零件安装比赛，甲每个零件的安装完成时间少于丙的概率为0.6.乙每个零件的安装完成时间少于丙的概率为0.5，比赛要求甲、乙、丙各安装一个零件，且他们安装每个零件相互独立，则甲和乙中至少有一人安装完成时间少于丙的概率为（）

A、0.64 B、0.72 C、0.8 D、0.76

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7. 在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，E是棱 $A C$ 的三等分点，且 $A C = 3 A E$ ，F是棱 $B_{1} C_{1}$ 的中点，若 $\vec{A B} = \vec{a} ， \vec{A C} = \vec{b} ， \vec{A A_{1}} = \vec{c}$ ，则 $\vec{E F} =$ （）

A、 $\frac{1}{2} \vec{a} - \frac{1}{6} \vec{b} + \vec{c}$ B、 $\frac{1}{3} \vec{a} + \frac{1}{6} \vec{b} + \vec{c}$ C、 $\frac{1}{3} \vec{a} - \frac{1}{6} \vec{b} + \vec{c}$ D、 $\frac{1}{2} \vec{a} + \frac{1}{6} \vec{b} + \vec{c}$

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8. 数学家欧拉1765年在其所著的《三角形几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线.已知△ABC的顶点分别为 $A (1 ， 3)$ ， $B (2 ， 4)$ ， $C (3 ， 2)$ ，则△ABC的欧拉线方程为（）

A、 $x + y - 5 = 0$ B、 $x + y + 5 = 0$ C、 $x - y + 1 = 0$ D、 $2 x + y - 7 = 0$

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二、多选题

9. 已知直线 $l$ 的一个方向向量为 $\vec{a} = (m ， 1 ， 3)$ ，平面 $α$ 的一个法向量为 $\vec{b} = (- 2 ， n ， 1)$ ，则下列结论正确的有（）

A、若 $l // α$ ，则 $2 m - n = 3$ B、若 $l ⊥ α$ ，则 $2 m - n = 3$ C、若 $l // α$ ，则 $m n + 2 = 0$ D、若 $l ⊥ α$ ，则 $m n + 2 = 0$

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10. 掷一枚骰子，记事件 $A$ 表示事件“出现奇数点”，事件 $B$ 表示事件“出现4点或5点”，事件 $C$ 表示事件“点数不超过3”，事件 $D$ 表示事件“点数大于4”，则（）

A、事件 $A$ 与 $B$ 是独立事件 B、事件 $B$ 与 $C$ 是互斥事件 C、事件 $C$ 与 $D$ 是对立事件 D、 $D \subseteq (A \cap B)$

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11. 已知 $A (1 ， 2)$ ， $B (- 3 ， 4)$ ， $C (- 2 ， 0)$ ，则（）

A、直线 $x - y = 0$ 与线段 $A B$ 有公共点 B、直线 $A B$ 的倾斜角大于 $135 °$ C、 $△ A B C$ 的边 $B C$ 上的中线所在直线的方程为 $y = 2$ D、 $△ A B C$ 的边 $B C$ 上的高所在直线的方程为 $x - 4 y + 7 = 0$

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12. 正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为2，且 $\vec{D P} = λ \vec{D B_{1}} (0 < λ < 1)$ ，过P作垂直于平面 $B D D_{1} B_{1}$ 的直线l，分别交正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的表面于M，N两点.下列说法不正确的是（）

A、 $B D_{1} ⊥$ 平面 $D M B_{1} N$ B、四边形 $D M B_{1} N$ 面积的最大值为 $2 \sqrt{6}$ C、若四边形 $D M B_{1} N$ 的面积为 $\sqrt{6}$ ，则 $λ = \frac{1}{4}$ D、若 $λ = \frac{1}{2}$ ，则四棱锥 $B - D M B_{1} N$ 的体积为 $2 \sqrt{2}$

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三、填空题

13. 某生物实验室有18颗开紫花的豌豆种和24颗开白花的豌豆种，若从这些豌豆种中随机选取1颗，则这颗种子是开白花的豌豆种的概率为

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14. 在平行六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点P是AC与BD的交点，若 $A B = A D = A A_{1} = 2$ ，且 $∠ A A_{1} B_{1} = ∠ A A_{1} D_{1} = ∠ B_{1} A_{1} D_{1} = 60 °$ ，则 $| \vec{A_{1} P} | =$ .

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15. 一个正方体的平面展开图如图所示，AB=1，则在原来的正方体中，线段CF的中点到直线AM的距离为.

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16. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，直线 $l_{2}$ 经过坐标原点，且 $l$ 与直线 $l_{1} ： x - 5 y + 26 = 0$ 垂直，则 $l_{2}$ 的斜率为，这两条直线的交点坐标为.

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四、解答题

17. 已知直线 $l$ ： $(2 a - 1) x + (a + 1) y + a - 5 = 0$ .

(1)、若直线 $l$ 与直线 $l^{'}$ ： $x + 2 y - 1 = 0$ 平行，求 $a$ 的值；

(2)、若直线 $l$ 在两坐标轴上的截距相等，求直线 $l$ 的方程.

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18. 如图，三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的侧棱与底面垂直， $A A_{1} = A B = A C = 2$ ， $A B ⊥ A C$ ，M，N和P分别是 $C C_{1}$ ，BC和 $A_{1} B_{1}$ 的中点.

(1)、证明： $P N / /$ 平面 $A C C_{1} A_{1}$ ；

(2)、求异面直线AN与PM所成角的余弦值.

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19. 某工厂为了解甲、乙两条生产线所生产产品的质量，分别从甲、乙两条生产线生产的产品中各随机抽取了100件产品，并对所抽取产品的某一质量指数进行检测，根据检测结果按 $[2 ， 4)$ ， $[4 ， 6)$ ， $[6 ， 8)$ ， $[8 ， 10]$ 分组，得到如图所示的频率分布直方图.

(1)、分别求甲、乙生产线所生产产品的质量指数的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；

(2)、若产品的质量指数在 $[8 ， 10]$ 内，则该产品为优等品.现采用分层抽样的方法从样品中的优等品中抽取6件产品，再从这6件产品中随机抽取2件产品进一步进行检测，求抽取的这2件产品中恰有1件产品是甲生产线生产的概率.

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20. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $∠ D C B = ∠ C B A = 90 °$ ， $C B = 2$ ， $A B = 3 D C = 3$ ， $P B = P C$ ， $E$ 是 $A D$ 的中点， $P E ⊥ A D$ .

(1)、证明： $P E ⊥ C B$ .

(2)、当三棱锥 $P - A B D$ 的体积为 $\sqrt{2}$ 时，求 $D P$ 与平面 $P A B$ 所成角的正弦值.

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21.

(1)、当光射到两种不同介质的分界面上时，便有部分光自界面射回原介质中的现象，被称为光的反射，如图1所示一条光线从点 $A (1 ， 2)$ 出发，经过直线 $y = x - 2$ 反射后到达点 $B (- 3 ， 0)$ ，如图2所示.求反射光线所在直线的方程，并在图2中作出光线从 $A$ 到 $B$ 的入射和反射路径.

(2)、已知 $C (- 1 ， 0)$ ，直线 $l$ 的斜率小于 $0$ ，且 $l$ 经过点 $A (4 ， 7)$ ， $l$ 与坐标轴交于 $M$ ， $N$ 两点，试问 $△ C M N$ 的面积是否存在最值？若存在，求出相应的最值；若不存在，请说明理由.

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22. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，四边形 $A B C D$ 是等腰梯形，且 $A D = 2 A B = 2 B C = 2 C D$ ， $E ， F$ 分别是线段 $P B ， A C$ 的中点， $P A = P D$ ，平面 $P A D ⊥$ 平面 $A B C D$ .

(1)、证明： $E F ⊥$ 平面 $A B C D$ ；

(2)、求平面 $A C E$ 与平面 $A D E$ 夹角的取值范围.

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