广东省部分名校2021-2022学年高二上学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2021-12-01 类型：期中考试

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一、单选题

1. 已知 $A = {x | x^{2} - 2 x - 3 < 0}$ ， $B = {x | - x < 0}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 ${x | - 3 < x < 0}$ B、 ${x | - 1 < x < 0}$ C、 ${x | 0 < x < 1}$ D、 ${x | 0 < x < 3}$

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2. 设复数z满足 ${(1 - i)}^{2} z = 1 + i$ ，则z的虚部为（）

A、1 B、 $i$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{1}{2} i$

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3. 直线 $l$ ： $x + y - 1 = 0$ 的倾斜角为（）

A、45° B、60° C、120° D、135°

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4. 函数 $f (x) = 4 \cos (π x + \frac{π}{3}) + 1$ 图象的对称中心可能是（）

A、 $(- \frac{5}{6} ， 1)$ B、 $(- \frac{1}{3} ， 1)$ C、 $(- \frac{5}{6} ， 0)$ D、 $(- \frac{1}{3} ， 0)$

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5. 某工厂12名工人某天生产同-类型零件，生产的件数分别是10，15，12，16，17，12，15，13，11，14，16，17，则这组数据的第70百分位数是（）

A、11 B、12 C、15.5 D、16

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6. 已知平面 $α$ 的一个法向量为 $\vec{n} = (- 1 ， - 2 ， 2)$ ，点 $A (0 ， 1 ， 0)$ 为 $α$ 内一点，则点 $P (1 ， 0 ， 1)$ 到平面 $α$ 的距离为（）

A、4 B、3 C、2 D、1

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7. 如图，在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，D为棱 $A_{1} B_{1}$ 的中点， $A C = 2$ ， $C C_{1} = B C = 1$ ， $A C ⊥ B C$ ，则异面直线CD与 $B C_{1}$ 所成角的余弦值为（）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{6}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{4}$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{3}$

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8. 已知圆M： $x^{2} + y^{2} = m$ ，圆N： $x^{2} + y^{2} - 6 x - 6 y + 16 = 0$ ，圆N上存在点P，过P作圆M的两条切线PA，PB，若 $∠ A P B = 90 °$ ，则m的取值范围为（）

A、 $[2 ， 4]$ B、 $[4 ， 8]$ C、 $[2 ， 16]$ D、 $[4 ， 16]$

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二、多选题

9. 下列函数中，在 $(0 ， + \infty)$ 上的值域是 $(0 ， + \infty)$ 的是（）

A、 $y = x^{\frac{1}{2}}$ B、 $y = x^{2} - 2 x + 1$ C、 $y = - \frac{3}{x}$ D、 $y = x^{3}$

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10. 已知直线 $l$ 的一个方向向量为 $\vec{a} = (m ， 1 ， 3)$ ，平面 $α$ 的一个法向量为 $\vec{b} = (- 2 ， n ， 1)$ ，则下列结论正确的有（）

A、若 $l // α$ ，则 $2 m - n = 3$ B、若 $l ⊥ α$ ，则 $2 m - n = 3$ C、若 $l // α$ ，则 $m n + 2 = 0$ D、若 $l ⊥ α$ ，则 $m n + 2 = 0$

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11. 已知直线 $m x - y + 2 m - 1 = 0$ 与曲线 $y = \sqrt{1 - x^{2}}$ 有且仅有1个公共点，则m的取值可能是（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、1 D、 $\frac{4}{3}$

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12. 正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为2，且 $\vec{D P} = λ \vec{D B_{1}} (0 < λ < 1)$ ，过P作垂直于平面 $B D D_{1} B_{1}$ 的直线l，分别交正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的表面于M，N两点.下列说法不正确的是（）

A、 $B D_{1} ⊥$ 平面 $D M B_{1} N$ B、四边形 $D M B_{1} N$ 面积的最大值为 $2 \sqrt{6}$ C、若四边形 $D M B_{1} N$ 的面积为 $\sqrt{6}$ ，则 $λ = \frac{1}{4}$ D、若 $λ = \frac{1}{2}$ ，则四棱锥 $B - D M B_{1} N$ 的体积为 $2 \sqrt{2}$

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三、填空题

13. 已知 $a b > 0$ ，且 $2 a + b = 2 a b$ ，则a+2b的最小值是.

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14. 已知直线 $l$ 过点 $A (- 2 ， 1)$ ，且与直线 $2 x + 3 y + 5 = 0$ 垂直，则直线 $l$ 的方程为.

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15. 在平行六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点P是AC与BD的交点，若 $A B = A D = A A_{1} = 2$ ，且 $∠ A A_{1} B_{1} = ∠ A A_{1} D_{1} = ∠ B_{1} A_{1} D_{1} = 60 °$ ，则 $| \vec{A_{1} P} | =$ .

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16. 已知不经过坐标原点 $O$ 的直线 $l$ 与圆 $C$ ： $x^{2} + y^{2} - 4 x + 4 y = 0$ 交于A，B两点，若锐角 $△ A B C$ 的面积为 $2 \sqrt{3}$ ，则 $| A B | =$ ， $\cos ∠ A O B =$ .

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四、解答题

17. 已知直线 $l$ ： $(2 a - 1) x + (a + 1) y + a - 5 = 0$ .

(1)、若直线 $l$ 与直线 $l^{'}$ ： $x + 2 y - 1 = 0$ 平行，求 $a$ 的值；

(2)、若直线 $l$ 在两坐标轴上的截距相等，求直线 $l$ 的方程.

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18. 在① $f (4) = - 1$ ， $f (3) = 2$ ，②当 $x = 2$ 时， $f (x)$ 取得最大值3，③ $f (x + 2) = f (2 - x)$ ， $f (0) = - 1$ 这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并作答.问题：已知函数 $f (x) = - x^{2} - 2 a x + b$

(1)、求 $f (x)$ 的解析式；

(2)、若 $f (x)$ 在 $[m ， n]$ 上的值域为 $[3 m - 2 ， 3 n - 2]$ ，求 $m + n$ 的值.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

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19. 如图，四棱锥 $P - A B C D$ 的底面ABCD为矩形， $P A = P C$ ， $P B = P D$ ，AC与BD相交于点 $O$ .

(1)、证明：平面 $P A C ⊥$ 平面ABCD.

(2)、若 $P A = A D = \frac{\sqrt{2}}{2} A B$ ，求平面PAD与平面 $P A B$ 夹角的余弦值.

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20. 已知圆 $M$ 经过 $A (0 ， 2)$ ， $B (3 ， 3)$ ， $C (1 ， - 1)$ 三点.

(1)、求圆 $M$ 的方程.

(2)、设 $O$ 为坐标原点，直线 $l$ ： $a x + y - 1 = 0$ 与圆 $M$ 交于 $P$ ， $Q$ 两点，是否存在实数 $a$ ，使得 $| O P | = | O Q |$ ？若存在，求 $| P Q |$ 的值；若不存在，说明理由.

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21. 已知PA，PB，PC是从点P出发的三条线段，每两条线段的夹角均为60°， $P A = 1$ ， $P B = 2$ ， $P C = 3$ ，点G为 $△ A B C$ 的重心，即点G是 $△ A B C$ 三条中线的交点，且 $\vec{P G} = x \vec{P A} + y \vec{P B} + z \vec{P C}$ .

(1)、求x，y，z的值；

(2)、求点G到直线PA的距离，

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22. 已知A，B是圆C： $x^{2} + y^{2} = 4$ 与y轴的两个交点，且A在B上方.

(1)、若直线 $l$ 过点 $(\sqrt{2} ， \sqrt{2})$ ，且与圆C相切，求 $l$ 的方程；

(2)、已知斜率为k的直线m过点 $(0 ， 1)$ ，且与圆C交于M，N两点，直线AM，BN相交于点T，证明点T在定直线上.

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