北京市丰台区2021-2022学年高二上学期数学期中练习试卷（A卷）

试卷更新日期：2021-12-01 类型：期中考试

进入出卷网下载

一、单选题

1. 与向量＝(1，-3，2)平行的一个向量的坐标为（）

A、(1，3，2) B、(-1，-3，2) C、(-1，3，-2) D、(1，-3，-2)

查看试题解析
2. 若直线 $l$ 过两点 $(0 ， 0)$ 和 $(1 ， \sqrt{3})$ ，则直线 $l$ 的倾斜角为（）

A、 $\frac{2}{3} π$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{5}{6} π$ D、 $\frac{π}{6}$

查看试题解析
3. 在空间直角坐标系 $O x y z$ 中，点 $P (2 ， 3 ， 4)$ 在平面 $x O y$ 内射影的坐标为（）

A、 $(2 ， 3 ， 0)$ B、 $(- 2 ， 3 ， 0)$ C、 $(2 ， 0 ， 4)$ D、 $(0 ， 3 ， 4)$

查看试题解析
4. 已知 $\vec{a} = (1 ， 3 ， - 1)$ ， $\vec{b} = (2 ， k ， 5)$ ，若 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则实数 $k$ 的值为（）

A、1 B、-1 C、 $\frac{7}{3}$ D、 $- \frac{7}{3}$

查看试题解析
5. 箱子中有5件产品，其中有2件次品，从中随机抽取2件产品，设事件A=“至少有一件次品”，则A的对立事件为（）

A、至多两件次品 B、至多一件次品 C、没有次品 D、至少一件次品

查看试题解析
6. 如图，在四面体 $O A B C$ 中， $O A$ ， $O B$ ， $O C$ 两两垂直，已知 $O A = O B = 2$ ， $O C = 1$ ，则直线 $O C$ 与平面 $A B C$ 所成角的正弦值为（）

A、 $\frac{\sqrt{6}}{6}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{4}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{6}}{3}$

查看试题解析
7. 袋子中有4个大小质地完全相同的球，其中3个红球，1个黄球，从中随机抽取2个球，则抽取出的2个球恰好是1个红球1个黄球的概率是（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、1

查看试题解析
8. 过点 $A (1 ， 4)$ ，且横、纵截距相等的直线方程为（）

A、 $y = 4 x$ 或 $y = x$ B、 $x + y + 5 = 0$ 或 $y = 4 x$ C、 $x - y + 3 = 0$ 或 $x + y - 5 = 0$ D、 $x + y - 5 = 0$ 或 $y = 4 x$

查看试题解析
9. 某居民小区有两个相互独立的安全防范系统 $A$ 和 $B$ ，系统 $A$ 和系统 $B$ 在任意时刻发生故障的概率分别为 $\frac{1}{8}$ 和 $p$ ，若在任意时刻恰有一个系统不发生故障的概率为 $\frac{9}{40}$ ，则 $p =$ （）

A、 $\frac{1}{10}$ B、 $\frac{2}{15}$ C、 $\frac{1}{6}$ D、 $\frac{1}{5}$

查看试题解析
10. 已知直线 $l$ ： $k x - y - k + 3 = 0$ ，直线 $l$ 不经过第二象限，则 $k$ 的取值范围是（）

A、 $(- \infty ， 0)$ B、 $(3 ， + \infty)$ C、 $[3 ， + \infty)$ D、 $[0 ， + \infty)$

查看试题解析

二、填空题

11. 已知点 $A (0 ， 1 ， 0)$ ，点 $B (2 ， 3 ， 2)$ ，向量 $\vec{A C} = \frac{1}{2} \vec{A B}$ ，则点 $C$ 的坐标为．

查看试题解析
12. 已知 $a \in R$ ，直线 $a x + 2 y - 5 = 0$ 与直线 $x - 2 y + 1 = 0$ 平行，则 $a$ 的值为．

查看试题解析
13. 已知直线 $l$ 过点 $A (0 ， 0 ， 0)$ ，点 $B (1 ， 1 ， 0)$ ，则点 $C (0 ， 1 ， 1)$ 到直线 $l$ 的距离是．

查看试题解析
14. 正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $E$ ､ $F$ 分别是棱 $A B$ ､ $B B_{1}$ 的中点，则异面直线 $A_{1} E$ 与 $C_{1} F$ 所成角的余弦值为.

查看试题解析
15. 已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为1，给出下列四个命题：
① $\vec{A A_{1}} + \vec{A_{1} D_{1}} + \vec{A_{1} B_{1}} = \vec{A C_{1}}$ ；

② $\vec{A_{1} C} \cdot (\vec{A D} - \vec{A B}) = 0$ ；

③点 $C_{1}$ 到面 $A_{1} B D$ 的距离为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ；

④点 $P$ 在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的侧面 $B C C_{1} B_{1}$ 及其边界上运动，并保持 $A P ⊥ B D_{1}$ ，则 $P B$ 的取值范围是 $[\frac{\sqrt{2}}{2} ， 1]$

其中正确结论的序号是．

查看试题解析

三、解答题

16. 已知向量 $\vec{a} = (1 ， 2 ， 2)$ ， $\vec{b} = (- 2 ， 1 ， - 1)$ ．

(1)、求 $\vec{a} \cdot \vec{b}$ ；

(2)、求 $| 2 \vec{a} - \vec{b} |$ ；

(3)、若 $\vec{a} ⊥ (\vec{a} + λ \vec{b})$ （ $λ \in R$ ），求 $λ$ 的值．

查看试题解析
17. 从两个黑球（记为 $B_{1}$ 和 $B_{2}$ ）、两个红球（记为 $R_{1}$ 和 $R_{2}$ ）从中有放回地任意抽取两球．

(1)、用集合的形式写出试验的样本空间；

(2)、求抽到的两个球都是黑球的概率．

查看试题解析
18. 已知直线 $l_{1}$ 过点 $(2 ， 2)$ ，直线 $l_{2}$ ： $y = x$ ．

(1)、若 $l_{1} ⊥ l_{2}$ ，求直线 $l_{1}$ 的方程；

(2)、若直线 $l_{1}$ 与 $x$ 轴和直线 $l_{2}$ 围成的三角形的面积为 $2$ ，求直线 $l_{1}$ 的方程．

查看试题解析
19. 在如图所示的多面体中， $A D // B C$ 且 $A D = 2 B C$ ， $A D ⊥ C D$ ， $E G // A D$ ，且 $E G = A D$ ， $C D // F G$ ，且 $C D = 2 F G$ ， $D G ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $D A = D C = D G = 2$ ．

(1)、求证： $E C ⊥ A G$ ；

(2)、求平面 $B E D$ 与平面 $E D C$ 夹角的余弦值．

查看试题解析
20. 甲乙两人轮流投篮，每人每次投一球，约定甲先投且先投中者获胜，一直到有人获胜或每人都已投球3次时投篮结束，设甲每次投篮投中的概率为 $\frac{1}{3}$ ，乙每次投篮投中的概率为 $\frac{1}{2}$ ，且各次投篮互不影响．

(1)、求甲乙各投球一次，比赛结束的概率；

(2)、求甲获胜的概率．

查看试题解析
21. 设 $n$ 为正整数，集合 $A = {α | α = (t_{1} ， t_{2} ， \dots ， t_{n}) ， t_{k} \in {0 ， 1} ， k = 1 ， 2 ， \dots ， n}$ ．对于集合 $A$ 中的任意元素 $α = (x_{1} ， x_{2} ， \dots ， x_{n})$ 和 $β = (y_{1} ， y_{2} ， \dots ， y_{n})$ ，记 $M (α ， β) = \frac{1}{2} [(x_{1} + y_{1} - | x_{1} - y_{1} |) + (x_{2} + y_{2} - | x_{2} - y_{2} |) + \dots + (x_{n} + y_{n} - | x_{n} - y_{n} |)]$ ．

(1)、当 $n = 3$ 时，若 $α = (1 ， 1 ， 0)$ ， $β = (0 ， 1 ， 1)$ ，求 $M (α ， α)$ 和 $M (α ， β)$ 的值；

(2)、当 $n = 4$ 时，设 $B$ 是 $A$ 的子集，且满足：对于 $B$ 中的任意两个不同的元素 $α ， β$ ， $M (α ， β) = 0$ ．写出一个集合 $B$ ，使其元素个数最多，并说明理由．

查看试题解析