浙江省云峰联盟2021-2022学年高三上学期数学10月联考试卷

试卷更新日期：2021-12-01 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | - 1 \leq x < 4}$ ， $B = {x | | x - 1 | > 2}$ ，则 $A \cap ∁_{R} B =$ （）

A、 ${x | - 1 \leq x < 3}$ B、 ${x | - 1 < x \leq 3}$ C、 ${x | - 1 \leq x \leq 3}$ D、 ${0 ， 1 ， 2 ， 3}$

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2. 已知复数的 $z = \frac{3 - i}{2 + i}$ ，则 $| z | =$ （）

A、 $\sqrt{10}$ B、 $\sqrt{5}$ C、2 D、 $\sqrt{2}$

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3. 设 $\vec{a} ， \vec{b}$ 是非零向量，“ $\vec{a} / / \vec{b}$ ”是“ $\vec{a} \cdot \vec{b} = | \vec{a} | \cdot | \vec{b} |$ ”的（）

A、充分而不必要条件 B、必要而不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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4. 一个几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积为（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、 $\frac{23}{3}$ D、 $\frac{22}{3}$

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5. 设实数 $x$ ， $y$ 满足 ${\begin{array}{l} 2 x + y - 4 \leq 0 \\ 2 x - y + 1 \geq 0 \\ x - 2 y + 2 \leq 0 \end{array}$ ，则目标函数 $z = 3 x - y$ 的最大值是（）

A、2 B、 $\frac{12}{5}$ C、 $\frac{22}{5}$ D、5

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6. 已知函数 $f (x)$ 的图象如图所示，则该函数的解析式可能是（）

A、 $f (x) = ln (1 + sin x^{2})$ B、 $f (x) = x \cdot ln (1 - sin x^{2})$ C、 $f (x) = ln (1 + cos x^{2})$ D、 $f (x) = x \cdot ln (1 - cos x^{2})$

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7. 如图一，矩形 $A B C D$ 中， $B C = 2 A B$ ， $A M ⊥ B D$ 交对角线 $B D$ 于点 $O$ ，交 $B C$ 于点 $M$ ．现将 $△ A B D$ 沿 $B D$ 翻折至 $△ A^{'} B D$ 的位置，如图二，点 $N$ 为棱 $A^{'} D$ 的中点，则下列判断一定成立的是（）

A、 $B D ⊥ C N$ B、 $A^{'} O ⊥$ 平面 $B C D$ C、 $C N //$ 平面 $A^{'} O M$ D、平面 $A^{'} O M ⊥$ 平面 $B C D$

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8. 在锐角三角形 $A B C$ 中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若 $△ A B C$ 的面积 $S = \frac{a^{2}}{4}$ ，给出以下两个结论；
⑴ $sin A = 2 sin B sin C$ ；

⑵ $tan A tan B tan C$ 有最小值为8．则（）

A、(1)正确， (2)错误 B、(1)错误， (2)正确 C、(1) (2)都正确 D、(1) (2)都错误

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9. 设直线 $y = 2 x + t (t \neq 0)$ 与双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 两条渐近线分别交于点 $A$ ， $B$ ，若点 $P (4 t ， 0)$ 满足 $| P A | = | P B |$ ，则该双曲线的渐近线方程是（）

A、 $y = \pm 3 x$ B、 $y = \pm \sqrt{3} x$ C、 $y = \pm \frac{1}{3} x$ D、 $y = \pm \frac{1}{9} x$

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10. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{n} > 0$ ， $a_{1} = 2$ ，且 $(n + 1) a_{n + 1}^{2} = n a_{n}^{2} + a_{n}$ ， $n \in N^{*}$ ，则下列说法中错误的是（）

A、 $a_{n}^{2} \leq \frac{2 n + 2}{n}$ B、 $\frac{a_{2}^{2}}{2^{2}} + \frac{a_{3}^{2}}{3^{3}} + \frac{a_{4}^{2}}{4^{2}} + \dots + \frac{a_{n}^{2}}{n^{2}} < 2$ C、 $1 < a_{n + 1} < a_{n}$ D、 $2 \leq a_{n} < a_{n + 1}$

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二、填空题

11. 《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积＝ $\frac{1}{2}$ (弦×矢＋矢²)，弧田由圆弧和其所对弦所围成，公式中“弦”指圆弧对弦长，“矢”指半径长与圆心到弦的距离之差．现有圆心角为 $\frac{2 π}{3}$ ，半径长为4的弧田(如图所示)，按照上述公式计算出弧田的面积为．

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12. 已知离散型随机变量 $ξ$ 的分布列如下表：

$ξ$

-2

0

2

P

a

b

$\frac{1}{2}$

若随机变量 $ξ$ 的期望值 $E (ξ) = \frac{1}{2}$ ，则 $b =$ ， $D (2 ξ + 1) =$ ．

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13. 已知实数 $x$ ， $y$ 满足 $3^{x} + 3^{y} = 9^{x} + 9^{y}$ ，则 $s = 3^{x} + 3^{y}$ 的取值范围是．

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14. 如图，过点 $M (a ， 0)$ 作直线 $l_{1}$ 、 $l_{2}$ 与抛物线 $E ： y^{2} = 4 x$ 相交，其中 $l_{1}$ 与 $E$ 交于 $A$ 、 $B$ 两点， $l_{2}$ 与 $E$ 交于 $C$ 、 $D$ 两点，直线 $A D$ 过E的焦点F，若 $A D$ 、 $B C$ 的斜率为 $k_{1}$ ， $k_{2}$ 满足 $k_{1} = 3 k_{2}$ ，则实数 $a$ 的值为．

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15. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} - x^{2} - 2 x + 4 ， x \leq 1 \\ {log}_{\frac{1}{2}} x ， x > 1 \end{array}$ ，则 $f (f (2)) =$ ，函数 $f (x)$ 的单调递减区间是．

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16. ${(2 x^{2} - \frac{1}{\sqrt{x}})}^{n}$ 的展开式中各项二项式系数之和为 $32$ ，则 $n =$ ，展开式中的常数项为．

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17. 已知向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， $\vec{c}$ 满足 $| \vec{a} | = 1$ ， $| \vec{b} | = 3$ ， $| \vec{c} | = 4$ ， $0 \leq λ \leq 1$ ，若 $\vec{b} \cdot \vec{c} = 0$ ，则 $| \vec{a} - λ \vec{b} - (1 - λ) \vec{c} |$ 的最小值为，最大值为．

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三、解答题

18. 已知函数 $f (x) = 2 {cos}^{2} x + 2 \sqrt{3} sin x \cdot cos x$ ．

(1)、求 $f (\frac{π}{3})$ 的值；

(2)、若 $f (\frac{α}{2}) = \frac{11}{5}$ ， $α (0 ， \frac{π}{3})$ ，求 $cos α$ 的值．

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19. 如图，在三棱锥 $P - A B C$ 中，侧面 $P A C$ 是边长 $2$ 的等边三角形， $B A = B C = \sqrt{5}$ ，点 $F$ 在线段 $B C$ 上，且 $F C = 3 B F$ ， $D$ 为 $A C$ 的中点， $E$ 为 $P D$ 的中点．

(1)、求证： $E F //$ 平面 $P A B$ ；

(2)、若二面角 $P - A C - B$ 的平面角的大小为 $\frac{5 π}{6}$ ，求直线 $D F$ 与平面 $P A C$ 所成角的正弦值．

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20. 已知数列 ${b_{n}}$ 为等差数列，数列 ${a_{n}}$ 满足 $b_{n} = {log}_{2} a_{n}$ ，且 $a_{4} = b_{5} = 1$ ．

(1)、求数列 ${a_{n}}$ ， ${b_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若数列 ${c_{n}}$ 满足 $c_{n} = | a_{n} b_{n} |$ ，求 ${c_{n}}$ 的前n项和 $T_{n}$ ．

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21. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左､右顶点分别为 $A_{1}$ ， $A_{2}$ ，左､右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，离心率为 $\frac{1}{2}$ ，点 $B (4 ， 0)$ ， $F_{2}$ 为线段 $A_{1} B$ 的中点.

(1)、求椭圆 $C$ 的方程.

(2)、若过点 $B$ 且斜率不为0的直线与椭圆 $C$ 的交于 $M$ ， $N$ 两点，已知直线 $A_{1} M$ 与 $A_{2} N$ 相交于点 $G$ ，试判断点 $G$ 是否在定直线上？若是，请求出定直线的方程；若不是，请说明理由.

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22. 已知函数 $f (x) = 3 m e^{x} (x - 3) - x^{3} + 3 x^{2}$ .

(1)、若曲线 $y = f (x)$ 在 $(0 ， f (0))$ 处的切线斜率为 $- 6$ ，求实数 $m$ 的值；

(2)、若函数 $f^{'} (x)$ 有3个不同的零点 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， $x_{3}$ ，求实数 $m$ 的取值范围，并证明： $x_{1} + x_{2} + x_{3} > 4$ .

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$ξ$	-2	0	2
P	a	b	$\frac{1}{2}$