浙江省宁波市2021-2022学年高三上学期数学11月高考模拟考试试卷

试卷更新日期：2021-12-01 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知全集 $U = {- 1 ， 0 ， 1 ， 2 ， 3}$ ，集合 $A = {- 1 ， 0 ， 1}$ ， $B = {1 ， 3}$ ，那么 $A \cap ∁_{U} B =$ （）

A、 ${- 1 ， 0}$ B、 ${0 ， 2}$ C、 ${- 1 ， 0 ， 2}$ D、 ${- 1 ， 0 ， 1 ， 2}$

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2. 若实数x，y满足约束条件 ${\begin{array}{l} x - 2 y \leq 2 ， \\ x + y \leq 4 ， \\ x \geq - 1 ， \end{array}$ 则 $z = 2 x + y$ 的最小值是（）

A、-4 B、 $- \frac{7}{2}$ C、-3 D、 $- \frac{3}{2}$

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3. 如图为陕西博物馆收藏的国宝一唐•金筐宝钿团花纹金杯，杯身曲线内收，是唐代金银细工的典范之作．该杯的主体部分可以近似看作是双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{3} - \frac{y^{2}}{9} = 1$ 的右支与直线 $x = 0$ ， $y = 4$ ， $y = - 2$ 围成的曲边四边形ABMN绕y轴旋转一周得到的几何体，则双曲线C的渐近线方程是（）

A、 $y = \pm \frac{1}{3} x$ B、 $y = \pm 3 x$ C、 $y = \pm \frac{\sqrt{3}}{3} x$ D、 $y = \pm \sqrt{3} x$

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4. 某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的体积（单位：cm³）是（）

A、2 B、3 C、4 D、6

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5. 已知直线l、m和平面 $α$ ．若 $m \subset α$ ， $l \subset α$ ，则“ $l / / m$ ”是“ $l / / α$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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6. 若 $α \in {\frac{1}{2} ， 1 ， 2}$ ，则函数 $f (x) = x^{α} \cdot \ln (x^{2} + 1)$ 的图象不可能是（）

A、 B、 C、 D、

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7. 如图，椭圆 $Γ ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左，右焦点分别是 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，正六边形 $A B F_{2} C D F_{1}$ 的一边 $F_{2} C$ 的中点恰好在椭圆 $Γ$ 上，则椭圆 $Γ$ 的离心率是（）

A、 $\frac{2 \sqrt{3} - 1}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{13} - 1}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{14} - 1}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{15} - 1}{3}$

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8. 已知 $a > b > 0$ ，函数 $y = e^{a x}$ 在 $x = 0$ 处的切线与直线 $2 x - b y = 0$ 平行，则 $\frac{a^{2} + b^{2}}{a - b}$ 的最小值是（）

A、2 B、3 C、4 D、5

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9. 设 $a \in R$ ，函数 $f (x) = {\begin{array}{l} f (x + 3) ， x < a \\ x^{2} - (2 a + 1) x + a^{2} + 3 ， x \geq a \end{array}$ ，若 $f (x)$ 在区间 $(0 ， + \infty)$ 内恰有4个零点，则a的取值范围是（）

A、 $(\frac{11}{4} ， 3) \cup (9 - \sqrt{6} ， 9)$ B、 $(\frac{11}{4} ， 3) \cup (6 ， 9 - \sqrt{6})$ C、 $(3 ， \frac{13}{4}) \cup (9 - \sqrt{6} ， 9)$ D、 $(3 ， \frac{13}{4}) \cup (6 ， 9 - \sqrt{6})$

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10. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = a_{2} = 1$ ， $a_{n + 2} = a_{n + 1} + a_{n} (n \in N^{*})$ ．记 $S_{n}$ 为数列 ${\frac{1}{a_{n}}}$ 的前n项和，则（）

A、 $\frac{5}{2} < S_{2021} < 3$ B、 $3 < S_{2021} < \frac{7}{2}$ C、 $\frac{7}{2} < S_{2021} < 4$ D、 $4 < S_{2021} < \frac{9}{2}$

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二、填空题

11. 已知复数 -4 （ i 为虚数单位），则z的实部是， $| z | =$

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12. 已知函数 $f (x) = \frac{a x^{2} + b x}{| x | + 1}$ 是定义在 $[- 1 ， 1]$ 上的奇函数，则实数a= ，又若函数 $f (x)$ 的图象恒在直线 $y = 2$ 的下方，则实数b的取值范围是

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13. 在锐角 $△ A B C$ 中， $A B = 4$ ， $A C = 6$ ， $△ A B C$ 的面积为 $8 \sqrt{2}$ ，则 $B C =$ ；若D是CB延长线上一点， $∠ A B C = 2 ∠ A D B$ ，则 $\tan ∠ A D B =$ ．

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14. 已知直线 $y = k (x + 2)$ 与圆 ${(x - 2)}^{2} + y^{2} = 4$ 相交于A，B两点，则实数k的取值范围是；若 $| A B | = 2 \sqrt{2}$ ，则实数k=

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15. 若 $a = \log_{3} 2$ ，则 $9^{a} + 3^{- a} =$

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16. 在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，E为线段AB上任意一点（不含端点），F为 $C C_{1}$ 的中点，G为 $C_{1} D_{1}$ 的四等分点（靠近点 $C_{1}$ ），直线 $A A_{1}$ 交平面EFG于点H，则直线EH与直线 $B D_{1}$ 所成角的余弦值是

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17. 已知平面向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， $\vec{c}$ 满足 $| \vec{a} | = 1$ ， $| \vec{b} | = 2$ ， $\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{c} = \vec{c} \cdot \vec{a}$ ．若 $| \vec{c} | \geq 1$ ，则 $\vec{a} \cdot \vec{b}$ 的取值范围是

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三、解答题

18. 设函数 $f (x) = \sin x + \sqrt{3} \cos x (x \in R)$ ．

(1)、若 $x \in [0 ， π]$ ，求函数 $y = f (x)$ 的值域；

(2)、若函数 $y = {[f (x)]}^{2}$ 在区间 $(- m ， m) (m > 0)$ 上单调递增，求实数m的取值范围．

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19. 如图，在四棱雉P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形， $△ P C D$ 是正三角形，平面 $P C D ⊥$ 平面ABCD， $A C = P C$ ， $A C ⊥ P C$ ．

(1)、求证： $A C ⊥ P D$ ；

(2)、若M是PB的中点，求直线MD与平面ACP所成角的正弦值．

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20. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ， $a_{1} = 2$ ，且 $S_{6} = 3 S_{3} + a_{3}$ ．

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、记数列 ${\frac{a_{n}}{2^{n + 1}}}$ 的前n项和为 $T_{n}$ ，求数列 ${(2 - T_{n}) a_{n}}$ 中最大项的值．

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21. 已知抛物线 $C ： y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点为F，点P是以 $M (- 3 ， 0)$ 为圆心，半径为1的圆上的动点，且 $| P F |$ 的最大值为5．

(1)、求抛物线C的标准方程；

(2)、过点M的直线l与抛物线C交于不同两点A，B，直线OA，OB分别交直线 $y = - 2 x - 6$ 于S，T两点（O为坐标原点）．记直线l，直线FS，直线FT的斜率分别为 $k$ ， $k_{1}$ ， $k_{2}$ ，若 $3 k$ 是 $k_{1}$ ， $k_{2}$ 的等比中项，求k的值．

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22. 已知函数 $f (x) = \ln x + a \sqrt{x} - 2 x (a \in R)$ ．

(1)、当 $a = - 2$ 时，求函数 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、若函数 $f (x)$ 有两个不同零点 $x_{1}$ ， $x_{2} (x_{1} < x_{2})$ ，
①求实数a的取值范围；

②求证： $x_{1} \cdot x_{2}^{2} > \frac{a^{2}}{4}$ ．

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