四川省绵阳市2021-2022学年高三上学期理数第一次诊断性考试试卷

试卷更新日期：2021-12-01 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 设集合 $A = {x | - 1 < x \leq 1}$ ， $B = {x | \log_{2} x < 1}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 ${x | - 1 < x \leq 1}$ B、 ${x | - 1 < x < 1}$ C、 ${x | 0 < x \leq 1}$ D、 ${x | 0 < x < 1}$

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2. 若 $0 < a < b$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $\ln a > \ln b$ B、 $b^{2} < a^{2}$ C、 $\frac{1}{a} < \frac{1}{b}$ D、 ${(\frac{1}{2})}^{a} > {(\frac{1}{2})}^{b}$

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3. 设 $D$ ， $E$ 为 $△ A B C$ 所在平面内两点， $\vec{A D} = \vec{D C}$ ， $\vec{C B} = 2 \vec{B E}$ ，则 $\vec{D E} =$ （）

A、 $- \frac{3}{2} \vec{A B} + \vec{A C}$ B、 $\frac{3}{2} \vec{A B} - \vec{A C}$ C、 $\vec{A B} - \frac{3}{2} \vec{A C}$ D、 $- \vec{A B} + \frac{3}{2} \vec{A C}$

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4. 设 $x$ ， $y$ 满足约束条件 ${\begin{array}{l} x + y - 5 \leq 0 \\ 2 x + y - 8 \leq 0 \\ y \leq 3 \end{array}$ ，则 $z = 3 x + 4 y$ 的最大值是（）

A、12 B、17 C、18 D、 $\frac{39}{2}$

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5. 通常人们用震级来描述地震的大小，地震震级是对地震本身大小的相对量度，用 $M$ 表示，强制性国家标准GB17740-1999《地震震级的规定》规定了我国地震震级的计算和使用要求，即通过地震面波质点运动最大值 ${(A / T)}_{\max}$ 进行测定，计算公式如下 $M = \lg {(A / T)}_{m a x} + 1.66 lg Δ + 3.5$ （其中 $Δ$ 为震中距），已知某次某地发生了4.8级地震，测得地震面波质点运动最大值为0.01，则震中距大约为（）

A、58 B、78 C、98 D、118

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6. “ ${(a + 1)}^{\frac{1}{2}} < {(3 - 2 a)}^{\frac{1}{2}}$ ”是“ $- 2 < a < \frac{2}{3}$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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7. 函数 $f (x) = \frac{\sin x + x}{\cos x}$ 在 $(- \frac{π}{2} ， \frac{π}{2})$ 上的图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

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8. 已知 $a = {(\frac{16}{81})}^{- \frac{1}{4}}$ ， $b = \log_{3} 2 + \log_{2} 3$ ， $c = \frac{2}{3} \log_{3} 2$ ，则 $a$ ， $b$ ， $c$ 的大小关系为（）

A、 $c > b > a$ B、 $b > a > c$ C、 $a > c > b$ D、 $b > c > a$

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9. 已知首项为 $1$ 的数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ， $4 a_{n} a_{n + 1} = 16^{n}$ ，则下列说法不正确的是（）

A、数列 ${a_{n}}$ 是等比数列 B、数列 ${S_{n}}$ 为单调递增数列 C、 $a_{5} = 256$ D、 $4 a_{n} = 3 S_{n} + 4^{n - 1}$

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10. 设函数 $f (x) = {\begin{array}{l} - 1 ， x < \frac{1}{2} ， \\ \log_{2} x ， x \geq \frac{1}{2} ， \end{array}$ 则满足 $f (2 x - 1) < f (x)$ 的 $x$ 的取值范围是（）

A、 $(\frac{1}{2} ， \frac{3}{4}]$ B、 $[\frac{3}{4} ， 1)$ C、 $(- \infty ， \frac{3}{4}]$ D、 $(\frac{1}{2} ， 1)$

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11. 已知定义在 $R$ 上的函数 $y = f (x)$ 满足下列三个条件：
①对任意的 $1 \leq x_{1} < x_{2} \leq 2$ ，都有 $f (x_{1}) > f (x_{2})$ ；

② $y = f (x + 1)$ 的图象关于 $y$ 轴对称；

③对任意的 $x \in R$ ，都有 $f (x) = f (x + 2)$

则 $f (\frac{1}{3})$ ， $f (\frac{3}{2})$ ， $f (\frac{8}{3})$ 的大小关系是（）

A、 $f (\frac{8}{3}) > f (\frac{3}{2}) > f (\frac{1}{3})$ B、 $f (\frac{8}{3}) > f (\frac{1}{3}) > f (\frac{3}{2})$ C、 $f (\frac{1}{3}) > f (\frac{3}{2}) > f (\frac{8}{3})$ D、 $f (\frac{3}{2}) > f (\frac{8}{3}) > f (\frac{1}{3})$

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12. 函数 $f (x) = 3 sin (ω x + φ)$ （ $ω > 0$ ， $| φ | < \frac{π}{2}$ ），已知 $| f (\frac{π}{3}) | = 3$ ，且对于任意的 $x \in R$ 都有 $f (- \frac{π}{6} + x) + f (- \frac{π}{6} - x) = 0$ ，若 $f (x)$ 在 $(\frac{5 π}{36} ， \frac{2 π}{9})$ 上单调，则 $ω$ 的最大值为（）

A、11 B、9 C、7 D、5

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二、填空题

13. 设 $S_{n}$ 是等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和，若 $a_{1} = 2$ ， $S_{7} = 35$ ，则 $a_{6} =$ .

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14. 已知平面向量 $\vec{a} = (1 ， \sqrt{3})$ ， $\vec{b} = (m ， - 1)$ ，若 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则 $| \vec{b} | =$ .

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15. 若 $\tan a = 5 \tan \frac{π}{7}$ ，则 $\frac{\cos (a - \frac{5 π}{14})}{\sin (a - \frac{π}{7})} =$ .

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16. 已知函数 $f (x) = \cos 2 x + a \sin x - 1$ ，若不等式 $| f (x) | \leq 1$ 对任意的 $x \in [0 ， π]$ 恒成立，则实数 $a$ 的取值范围为.

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三、解答题

17. 已知函数 $f (x) = 2 \sqrt{3} \cos^{2} ω x + 2 \sin ω x \cos ω x - \sqrt{3}$ $(ω > 0)$ ，其图象的两条相邻对称轴间的距离为 $\frac{π}{2}$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 在 $[0 ， \frac{π}{2}]$ 上的单调递增区间；

(2)、将函数 $f (x)$ 的图象向左平移 $φ$ $(0 < φ < \frac{π}{2})$ 个单位后得到函数 $g (x)$ 的图象，若函数 $g (x)$ 为偶函数，求 $φ$ 的值.

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18. 已知 $S_{n}$ 是数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和， $a_{1} = 2$ ，且满足 $S_{n + 1} = 3 S_{n} + 2$ .

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、求数列 ${n a_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

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19. 在锐角 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ， $c = 3$ ，从以下三个条件中任选一个：① $b \tan C = (2 a - b) \tan B$ ；② $2 c \cos B = 2 a - b$ ；③ $a c \cos A + a^{2} (\cos C - 1) = b^{2} - c^{2}$ ，解答如下的问题

(1)、证明： $a = \sqrt{3} \sin B + 3 \cos B$ ；

(2)、若 $A B$ 边上的点 $P$ 满足 $A P = 2 P B$ ，求线段 $C P$ 的长度的最大值.

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20. 已知函数 $f (x) = - \frac{1}{3} x^{3} + a x^{2} + 3 a^{2} x - \frac{5}{3}$ .

(1)、若 $a = - 1$ 时，求 $f (x)$ 在区间 $[- 4 ， 2]$ 上的最大值与最小值；

(2)、若存在实数 $m$ ，使得不等式 $f (x) < 0$ 的解集为 $(m ， + \infty)$ ，求实数 $a$ 的取值范围.

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21. 已知函数 $f (x) = x e^{x} - b x \ln x - \frac{1}{2} x^{2}$ $(b \in R)$ ，其图象在点 $(1 ， f (1))$ 处的切线斜率为 $2 e - 3$ .

(1)、证明：当 $x > 1$ 时， $f (x) > x e^{x} - \frac{3}{2} x^{2} + 1$ ；

(2)、若函数 $g (x) = f (x) + (4 - a) x - 1$ 在定义域上无极值，求正整数 $a$ 的最大值.

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22. 如图，在极坐标系中，已知点 $M (2 ， 0)$ ，曲线 $C_{1}$ 是以极点 $O$ 为圆心，以 $O M$ 为半径的半圆，曲线 $C_{2}$ 是过极点且与曲线 $C_{1}$ 相切于点 $(2 ， \frac{π}{2})$ 的圆.

(1)、分别写出曲线 $C_{1}$ ， $C_{2}$ 的极坐标方程；

(2)、直线 $θ = α$ （ $0 < α < π$ ， $ρ \in R$ ）与曲线 $C_{1}$ ， $C_{2}$ 分别相交于点 $A$ ， $B$ （异于极点），求 $△ A B M$ 面积的最大值.

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23. 已知函数 $f (x) = | x + m | - | x - 2 m |$ $(m > 0)$ 的最大值为 $6$ .

(1)、求 $m$ 的值；

(2)、若正数 $x$ ， $y$ ， $z$ 满足 $x + y + z = m$ ，求证： $\sqrt{x y} + \sqrt{x z} \leq \sqrt{m}$ .

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