陕西省渭南市2021-2022学年高三上学期理数联考试卷

试卷更新日期：2021-12-01 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 已知集合 $U = {- 3 ， - 2 ， - 1 ， 0 ， 1 ， 2 ， 3}$ ， $A = {- 3 ， - 1 ， 0}$ ， $B = {- 2 ， - 1 ， 0 ， 1}$ ，则 $∁_{U} (A \cup B) =$ （）

A、 ${1 ， 3}$ B、 ${2 ， 3}$ C、 ${- 2 ， 1 ， 2}$ D、 ${- 3 ， - 2 ， - 1 ， 0 ， 1}$

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2. 设 $4 (z - \bar{z}) + 12 = 3 (z + \bar{z}) + 8 i$ ，则 $\bar{z} =$ （）

A、 $2 - i$ B、 $2 + i$ C、 $3 + i$ D、 $3 - i$

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3. 已知a， $b \in R$ ，则“ $a^{2} < b^{2}$ ”是“ $a^{4} < b^{4}$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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4. 已知单位向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 的夹角为60°， $\vec{a} + k \vec{b}$ 与 $\vec{a}$ 垂直，则 $k =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $- \frac{1}{2}$ C、2 D、-2

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5. 已知双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的右焦点到它的一条渐近线的距离为4，且焦距为10，则C的离心率为（）

A、 $\frac{4}{3}$ B、 $\frac{8}{5}$ C、 $\frac{5}{3}$ D、 $\frac{5}{4}$

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6. 已知 $α \in (0 ， \frac{π}{2})$ ， $1 + \cos 2 α = \frac{12}{5} \sin 2 α$ ，则 $\cos α =$ （）

A、 $\frac{12}{13}$ B、 $\frac{5}{12}$ C、 $\frac{5}{13}$ D、 $\frac{1}{2}$

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7. 在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，下列直线与 $A C$ 成60°角的是（）

A、 $B_{1} C_{1}$ B、 $B C_{1}$ C、 $D D_{1}$ D、 $B_{1} D$

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8. 已知 $f (x)$ 是奇函数，且当 $x < 0$ 时， $f (x) = - \log_{2} (a x)$ .若 $f (8) = 5$ ，则实数 $a =$ （）

A、-4 B、-3 C、-2 D、-1

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9. 函数 $f (x) = - \frac{3 x}{4} - \frac{1}{x} + \ln x$ 的图象在点 $(1 ， f (1))$ 处的切线方程为（）

A、 $5 x - 4 y - 12 = 0$ B、 $5 x - 4 y - 2 = 0$ C、 $5 x + 4 y - 12 = 0$ D、 $3 x + 4 y + 4 = 0$

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10. 在 $△ A B C$ 中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若 ${(3 a - 2 b)}^{2} + {(5 a - 4 c)}^{2} = 0$ ，则 $△ A B C$ 最小内角的正弦值为（）

A、 $\frac{4}{5}$ B、 $\frac{3}{4}$ C、 $\frac{3}{5}$ D、 $\frac{\sqrt{7}}{4}$

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11. 如图，将一个大等边三角形分成三个全等三角形与中间的一个小等边三角形，设 $D F = 2 A F$ ．若在大等边三角形内任取一点P，则该点取自小等边三角形内的概率为（）

A、 $\frac{3}{7}$ B、 $\frac{4}{7}$ C、 $\frac{4}{13}$ D、 $\frac{9}{13}$

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12. 已知定义在 $(- \frac{π}{2} ， \frac{π}{2})$ 上的奇函数 $f (x)$ 的导函数为 $f^{'} (x)$ ，且 $f^{'} (x) + \tan x \cdot f (x) > 0$ ，则（）

A、 $\sqrt{2} f (\frac{π}{6}) > \sqrt{6} f (\frac{π}{3}) > 0$ B、 $\sqrt{2} f (- \frac{π}{6}) + \sqrt{6} f (\frac{π}{3}) > 0$ C、 $\sqrt{2} f (\frac{π}{6}) < \sqrt{3} f (\frac{π}{4}) < 0$ D、 $\sqrt{3} f (- \frac{π}{4}) + \sqrt{2} f (\frac{π}{6}) > 0$

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二、填空题

13. 已知实数x，y满足 ${\begin{array}{l} x \leq 2 \\ y \leq \frac{1}{2} x \\ y \geq - 1 \end{array}$ ，则目标函数 $z = x + y$ 的最大值为.

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14. 在长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，已知 $A B = 1$ ， $B C = B B_{1} = 2$ ，在该长方体内放置一个球，则最大球的体积为.

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15. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{2} + y^{2} = 1$ 的左､右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，上顶点为A，直线 $A F_{1}$ 与椭圆C的另一个交点为B，则 $△ A B F_{2}$ 的面积为.

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16. 生活中人们常用“通五经贯六艺”形容一个人才识技艺过人，这里的“五经”是儒家典籍《周易》、《尚书》、《诗经》、《礼记》、《春秋》的合称．为弘扬中国传统文化，某校在周末兴趣活动中开展了“五经”知识讲座，每经排1节，连排5节，则满足《诗经》必须排在后2节，《周易》和《礼记》必须分开安排的情形共有．

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三、解答题

17. 已知各项均为正数的数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，且 $2 a_{n}$ ， $2 S_{n}$ ， $a_{n}^{2}$ 成等差数列．

(1)、求 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若 $S_{n} - 2 a_{n} = 40$ ，求n的值．

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18. 某保险公司根据官方公布的历年营业收入，制成表格如下：

表1

年份	2011	2012	2013	2014	2015	2016	2017	2018	2019	2020
年份序号x	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
营业收入y（亿元）	0.52	9.36	33.6	132	352	571	912	1207	1682	2135

由表1，得到下面的散点图：

根据已有的函数知识，某同学选用二次函数模型 $y = b x^{2} + a$ （b和a是待定参数）来拟合y和x的关系.这时，可以对年份序号做变换，即令 $t = x^{2}$ ，得 $y = b t + a$ ，由表1可得变换后的数据见表2.

表2

T	1	4	9	16	25	36	49	64	81	100
Y	0.52	9.36	33.6	132	352	571	912	1207	1682	2135

(1)、根据表中数据，建立y关于t的回归方程（系数精确到个位数）；

(2)、根据（1）中得到的回归方程估计2021年的营业收入，以及营业收入首次超过4000亿元的年份.

附：对于一组数据 $(u_{1} ， v_{1}) ， (u_{2} ， v_{2}) ， \dots ， (u_{n} ， v_{n})$ ，其回归直线 $v = \hat{β} u + \hat{α}$ 的斜率和截距的最小二乘估计分别为 $\hat{β} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (u_{i} - \bar{u}) (v_{i} - \bar{v})}{\sum_{i = 1}^{n} {(u_{i} - \bar{u})}^{2}}$ ， $\hat{α} = \bar{v} - \hat{β} \bar{u}$ .

参考数据： $\bar{t} = 38.5 ， \bar{y} \approx 703.45 ， \sum_{i = 1}^{10} {(t_{i} - \bar{t})}^{2} \approx 1.051 \times 10^{4} ， \sum_{i = 1}^{10} (t_{i} - \bar{t}) (y_{i} - \bar{y}) \approx 2.327 \times 10^{5}$ .

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19. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 为矩形， $A P ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $A B = A P$ ，点 $E$ ， $F$ 分别为 $B P$ ， $C P$ 的中点.

(1)、证明： $B P ⊥$ 平面 $A E F$ .

(2)、若 $A D = 2 A B = 4$ ，求平面 $A E F$ 与平面 $A F P$ 所成锐二面角的余弦值.

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20. 已知过抛物线 $C ： y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点，且斜率为 $\sqrt{3}$ 的直线交C于 $A (x_{1} ， y_{1})$ ， $B (x_{2} ， y_{2}) (x_{1} < x_{2})$ 两点， $| A B | = 16$ .

(1)、求抛物线C的方程；

(2)、O为坐标原点，D为C上一点，若 $\vec{O D} = \vec{O A} + λ \vec{O B}$ ，求 $λ$ 的值.

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21. 已知函数 $f (x) = 2 x e^{x} + 2 a x^{2} + 4 a x$ ， $g (x) = 2 a x^{2} - a \ln x$ ．

(1)、讨论 $f (x)$ 在区间 $(0 ， + \infty)$ 上的极值点；

(2)、若关于x的不等式 $f (x) > g (x) + 3 a x$ 在 $(0 ， + \infty)$ 上恒成立，求a的取值范围．

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22. 在直角坐标系 $x O y$ 中，曲线C的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = 1 + 3 \cos α \\ y = 2 + 3 \sin α \end{array}$ ，（ $α$ 为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.

(1)、写出曲线C的极坐标方程；

(2)、已知直线 $θ = \frac{3 π}{4} (ρ \in R)$ 与曲线C相交于A，B两点，求 $| A B |$ .

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23. 已知函数 $f (x) = | 3 x - 1 | + | 3 x + 2 |$ .

(1)、求不等式 $f (x) \geq 5$ 的解集；

(2)、若关于x的方程 $f (x) + t^{2} - 4 t = 0$ 有实数解，求实数t的取值范围.

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