陕西省部分名校2021-2022学年高三上学期理数10月月考试卷

试卷更新日期：2021-12-01 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | x \in N ， - x^{2} + x + 2 \geq 0}$ ，则集合A的真子集个数为（）

A、16 B、15 C、8 D、7

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2. 命题“ $\forall x \geq 1$ ，都有 $\ln x + x - 1 \geq 0$ ”的否定是（）

A、“ $\forall x \geq 1$ ，都有 $\ln x + x - 1$ ” B、“ $\exists x_{0} < 1$ ，都有 $\ln x_{0} + x_{0} - 1 < 0$ ” C、“ $\exists x_{0} \geq 1$ ，都有 $\ln x_{0} + x_{0} - 1 \geq 0$ ” D、“ $\exists x_{0} \geq 1$ ，都有 $\ln x_{0} + x_{0} - 1 < 0$ ”

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3. 设 $a = \log_{2} 3$ ， $b = \log_{3} 0.4$ ，则（）

A、 $a b < 0$ 且 $a + b > 0$ B、 $a b > 0$ 且 $a + b > 0$ C、 $a b > 0$ 且 $a + b < 0$ D、 $a b < 0$ 且 $a + b < 0$

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4. 已知函数 $f (x) = {\begin{matrix} \frac{5}{1 - x} ， x \leq 0 \\ \log_{0.5} x ， x > 0 \end{matrix}$ ，则不等式 $f (x) > 2$ 的解集为（）

A、 $(0 ， \frac{1}{4})$ B、 $(- \frac{3}{2} ， \frac{1}{4})$ C、 $(- \infty ， - \frac{3}{2}) \cup (0 ， \frac{1}{4})$ D、 $(- \frac{3}{2} ， 4)$

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5. 欧拉公式 $e^{i x} = \cos x + i \sin x$ （ $i$ 为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里非常重要，被誉为“数学中的天桥”．根据欧拉公式可知， $e^{- \frac{π}{3} i}$ 表示的复数位于复平面中的（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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6. 函数 $f (x) = x^{2} - 2^{| x |}$ 的图象为（　　）

A、 B、 C、 D、

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7. 从全体三位正整数中任取一数，则此数以2为底的对数也是正整数的概率为（）

A、 $\frac{1}{225}$ B、 $\frac{1}{300}$ C、 $\frac{1}{450}$ D、以上全不对

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8. 函数 $f (x) = \log_{3} x + x - 3$ 的零点所在的一个区间是（）

A、(1，2) B、(2，3) C、(3，4) D、(4，5)

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9. 在 $△ A B C$ 中，已知 $D$ 是 $A B$ 边上一点，若 $\vec{A D} = 3 \vec{D B} ， \vec{C D} = \frac{1}{4} \vec{C A} + λ \vec{C B}$ ，则 $λ =$ （）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{3}{4}$ C、 $- \frac{1}{4}$ D、 $- \frac{3}{4}$

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10. 设函数 $f (x) = \ln (1 + | x |) - \frac{1}{1 + x^{2}}$ ，则使 $f (x) > f (2 x - 1)$ 成立的 $x$ 的取值范围是（）

A、 $(\frac{1}{3} ， 1)$ B、 $(- \infty ， \frac{1}{3}) \cup (1 ， + \infty)$ C、 $(- \frac{1}{3} ， \frac{1}{3})$ D、 $(- \infty ， \frac{1}{3}) \cup (\frac{1}{3} ， + \infty)$

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11. 在 $△ A B C$ 中， $\vec{C B} = \vec{a}$ ， $\vec{C A} = \vec{b}$ ，且 $\vec{O P} = \vec{O C} + m (\frac{\vec{a}}{| \vec{a} | \sin B} + \frac{\vec{b}}{| \vec{b} | \sin A})$ ， $m \in R$ ，则点 $P$ 的轨迹一定通过 $△ A B C$ 的（）

A、重心 B、内心 C、外心 D、垂心

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12. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} - x^{2} - 2 x ， x \leq 0 \\ | \log_{\frac{1}{2}} x | ， x > 0 \end{array}$ ，若函数 $g (x) = f (x) + 2 - m$ 有4个零点，则 $m$ 的取值范围为（）

A、 $(0 ， 1)$ B、 $(- 1 ， 0)$ C、 $(1 ， 3)$ D、 $(2 ， 3)$

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二、填空题

13. 某学校高一､高二､高三年级的学生人数之比为2∶3∶4，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为54的样本，则应从高三年级抽取名学生.

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14. 已知函数 $f (x) = k x^{2} + 4 x - 2$ 在[1，2]上为增函数，求实数 $k$ 的取值范围.

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15. 奇函数 $f (x)$ 的定义域为 $R$ ，若 $f (x + 1)$ 为偶函数，且 $f (- 1) = - 1$ ，则 $f (2020) + f (2021) =$ .

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16. 函数 $f (x) = \frac{3 x + 4}{2 x - 1}$ 的对称中心是.

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三、解答题

17. 函数 $f (x) = A \sin (ω x + φ) (A > 0 ， ω > 0 ， 0 < φ < π)$ 的部分图象如图所示，

(1)、求函数 $f (x)$ 的解析式；

(2)、已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = 1$ ，且 $a_{n}$ 是 $a_{n + 1}$ 与 $3 f (- \frac{π}{6})$ 的等差中项，求 ${a_{n}}$ 的通项公式.

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18. 如图，在三棱锥 $A - B C D$ 中， $C D ⊥$ 平面ABC， $A C = C B = \frac{1}{2} C D$ ， $∠ A C B = 90 °$ ，点E，F分别是AB，AD的中点.

(1)、求证： $A C ⊥$ 平面BCD；

(2)、设 $A C = C B = 2$ ，求直线AD与平面CEF所成角的正弦值

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19. 已知抛物线 $C$ ： $y^{2} = 4 x$ ，坐标原点为 $O$ ，焦点为 $F$ ，直线 $l$ ： $y = k x + 1$ ．

(1)、若 $l$ 与 $C$ 只有一个公共点，求 $k$ 的值；

(2)、过点 $F$ 作斜率为1的直线交抛物线 $C$ 于 $A$ 、 $B$ 两点，求 $△ O A B$ 的面积．

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20. 现有4个人去参加某娱乐活动，该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择.为增加趣味性，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏，掷出点数为1或2的人去参加甲游戏，掷出点数大于2的人去参加乙游戏.
（Ⅰ）求这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率；

（Ⅱ）求这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率；

（Ⅲ）用X，Y分别表示这4个人中去参加甲、乙游戏的人数，记ξ=|X-Y|，求随机变量ξ的分布列与数学期望=Eξ.

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21. 已知函数 $f (x) = a x \ln x - \frac{1}{2} x^{2} - a x$ ．

(1)、若函数 $f (x)$ 的图象在 $x = e$ 处的切线过点 $(2 e ， 0)$ ，求实数 $a$ 的值；

(2)、 $\forall x_{1}$ ， $x_{2} \in (1 ， e)$ ， $\frac{f (x_{1}) - f (x_{2})}{x_{1} - x_{2}} < 3$ ，求实数 $a$ 的取值范围．

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22. 已知斜率为1的直线 $l$ 过点 $P (2 ， - 1)$ ，以坐标原点为极点， $x$ 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 $C$ 的极坐标方程为 $ρ \sin^{2} θ = 2 \cos θ$ ，直线 $l$ 和曲线 $C$ 的交点为A， $B$ .

(1)、求曲线 $C$ 的直角坐标方程：

(2)、求 $\frac{1}{| P A |} + \frac{1}{| P B |}$ 的值.

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23. 已知函数 $f (x) = | 2 x - 2 | - 3 | x + 1 |$ ．

(1)、求不等式 $f (x) < 2$ 的解集；

(2)、若存在 $x \in R$ ，使得 $f (x) > a$ ，求实数 $a$ 的取值范围．

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