山西省吕梁市2022届高三上学期理数11月阶段性测试试卷

试卷更新日期：2021-12-01 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | x = 3 n + 1 ， n \in N}$ ，集合 $B = {m | m = 6 n + 1 ， n \in N}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、A B、B C、N D、 $\emptyset$

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2. “ $a < 0$ ”是“函数 $f (x) = 2^{x} + \frac{a}{x}$ 在区间 $(- \infty ， 0)$ 上单调递增”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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3. 已知命题 $p$ ： $\forall x \in R$ ， $x - 3 > \ln x$ ，命题 $q$ ： $\exists x_{0} \in R$ ，使得 $x_{0}^{2} - 3 x_{0} + 2 < 0$ ，则（）

A、 $p \lor q$ 是假命题 B、 $p \land q$ 是真命题 C、 $p \lor (\neg q)$ 是真命题 D、 $(\neg p) \land q$ 是真命题

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4. 曲线 $y = f (x)$ 在 $x = 1$ 处的切线如图所示，则 $f^{'} (1) - f (1) =$ （）

A、0 B、-1 C、1 D、 $- \frac{1}{2}$

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5. 已知函数 $y = f (x)$ 的图象如图所示，则此函数可能是（）

A、 $f (x) = \frac{e^{x} - e^{- x}}{x^{2} + | x | - 2}$ B、 $f (x) = \frac{e^{x} + e^{- x}}{x^{2} + | x | - 2}$ C、 $f (x) = \frac{x^{2} + | x | - 2}{e^{x} - e^{- x}}$ D、 $f (x) = \frac{x^{2} + | x | - 2}{e^{x} + e^{- x}}$

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6. 已知 $\sin α = \frac{2}{5}$ ， $\sin 2 α < 0$ ，则 $\cos α =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{21}}{5}$ B、 $- \frac{\sqrt{21}}{5}$ C、 $\pm \frac{\sqrt{21}}{5}$ D、 $\frac{3}{5}$

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7. 有关数据显示，中国快递行业产生的包装垃圾在2019年约为400万吨，2019年的年增长率为50%，有专家预测，如果不采取措施，未来包装垃圾还将以此增长率增长，则快递业产生的包装垃圾超过4000万吨的年份是（）年．（参考数据： $\lg 2 \approx 0.3010$ ， $\lg 3 \approx 0.4771$ ）

A、2023 B、2024 C、2025 D、2026

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8. 把函数 $y = 3 \sin 2 x$ 的图象向左平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度，再将所得图象向上平移1个单位长度，可得到函数 $f (x)$ 的图象，则（）

A、 $f (x) = 3 \sin (2 x + \frac{π}{6}) + 1$ B、 $f (x)$ 的最小正周期为 $2 π$ C、 $f (x)$ 在 $(- \frac{2 π}{3} ， \frac{π}{6})$ 上单调递增 D、 $f (x)$ 的图象关于直线 $x = \frac{π}{12}$ 对称

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9. 如图， $△ A B C$ 中，点M是BC的中点，点N满足 $\vec{A N} = 2 \vec{N B}$ ，AM与CN交于点D， $\vec{A D} = λ \vec{A M}$ ，则 $λ =$ （）

A、 $\frac{2}{3}$ B、 $\frac{3}{4}$ C、 $\frac{4}{5}$ D、 $\frac{5}{6}$

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10. 在 $△ A B C$ 中，A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 $c^{2} = a b$ ， $b^{2} + a c = a^{2} + a b$ ，则 $\frac{a}{c \sin C} =$ （）

A、2 B、 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $\sqrt{3}$

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11. 关于函数 $f (x) = e^{x} + \sin x$ ， $x \in (- π ， π)$ ，下列四个结论中正确的个数为（）个
① $f (x)$ 在 $(- π ， 0)$ 上单调递减，在 $(0 ， π)$ 上单调递增；

② $f (x)$ 有两个零点；

③ $f (x)$ 存在唯一极小值点 $x_{0}$ ，且 $- 1 < f (x_{0}) < 0$ ；

④ $f (x)$ 有两个极值点.

A、0 B、1 C、2 D、3

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12. 设 $a = e^{0.02}$ ， $b = 7^{0.01}$ ， $c = {(1.02)}^{2}$ ， $\sqrt{7} \approx 2.646$ ， $\ln 2 \approx 0.6931$ ，则（）

A、 $a < b < c$ B、 $b < c < a$ C、 $c < a < b$ D、 $b < a < c$

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二、填空题

13. 已知向量 $\vec{a} = (1 ， 1)$ ， $\vec{b} = (3 ， - 4)$ ，则向量 $\vec{a}$ 在向量 $\vec{b}$ 方向上的投影为.

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14. 若函数 $f (x)$ 同时满足下列三个条件：
⑴ $f (x)$ 是偶函数；

⑵ $f (x)$ 在 $(- \infty ， 0)$ 上单调递增；

⑶ $f (x)$ 的值域是 $(0 ， + \infty)$ .则满足题意的 $f (x)$ 的解析式可以是（写出一个解析式即可）.

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15. 为了创建全国文明城市，吕梁市政府决定对市属辖区内老旧小区进行美化改造，如图，某小区内有一个近似半圆形人造湖面，O为圆心，半径为一个单位，现规划在 $△ O C D$ 区域种花，在 $△ O B D$ 区域养殖观赏鱼，若 $∠ A O C = ∠ C O D$ ，且使四边形OCDB面积最大，则 $\cos ∠ A O C =$ .

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16. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} x^{2} - 2 a x + 1 ， x \leq 0 \\ \ln x + a x ， x > 0 \end{array}$ 恰有两个零点，则实数 $a$ 的取值范围是.

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三、解答题

17. 已知函数 $f (x) = x^{3} - 3 a x + 2$ ，曲线 $y = f (x)$ 在 $x = 1$ 处的切线方程为 $3 x + y + m = 0$ .
（Ⅰ）求实数 $a$ ， $m$ 的值；

（Ⅱ）求 $f (x)$ 在区间 $[1 ， 2]$ 上的最值.

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18. 某学习小组要完成两个实习作业：验证百度地图测距的正确性及测算教学大楼主楼的高度.小组准备了三种工具：测角仪（可测量仰角与俯角），米尺（可测量长度），量角器（可测量平面角度）.

(1)、如图，在文明路的水平路面上选取A，B两点，首先利用百度地图测距功能测出AB长度为2km，接着在博爱路上选定水平路面上可直接测距的C，D两点，测得 $∠ B C A = 30 °$ ， $∠ A C D = 45 °$ ， $∠ B D C = 60 °$ ， $∠ A D B = 30 °$ ，请根据上述条件计算出CD长度，并将其与CD的实际长度2840m进行比较，若误差介于-20米~20米之间，则认为百度地图测距是准确的.你认为百度地图测距是否准确？ $(\sqrt{2} \approx 1.414)$

(2)、请你利用准备好的工具（可不全使用），设计一种测量教学楼的高度的方法，并给出测量报告.
注：测量报告中包括你使用的工具，测量方法的文字说明与图形说明，所使用的字母和符号均需要解释说明，并给出你最后的计算公式.

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19. 已知 $△ A B C$ 中，角A，B，C所对的边为a，b，c，若 $c = 1$ ， $b = 3$ ， $B - C = 60 °$ .

(1)、求 $\tan \frac{A}{2}$ ；

(2)、求 $△ A B C$ 的面积.

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20. 函数 $f (x) = x (x - 1) (x - a) (x - b)$ ， $(a < b)$ 关于 $x = 2$ 对称.

(1)、求a，b的值；

(2)、求 $f (x)$ 的最小值.

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21. 已知函数 $f (x) = A \sin (ω x + φ) (A > 0 ， ω > 0 ， 0 < φ < \frac{π}{2})$ 的图象如图所示.

(1)、求 $f (x)$ 的解析式；

(2)、若函数 $g (x) = f (x) + \sin 4 x$ ，当 $x \in [\frac{π}{6} ， \frac{π}{2}]$ 时，求 $g (x)$ 的值域.

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22. 已知函数 $f (x) = a e^{x} - 2 x$ ， $a \in R$ .

(1)、讨论函数 $f (x)$ 的单调性；

(2)、当 $a = 1$ 时，求证： $f (x) + x^{2} - \frac{21}{8} x + 1 > 0$ .

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