高中数学人教A版（2019）必修一第四章指数函数与对数函数

试卷更新日期：2021-12-01 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 以下四个关系中，能得到 $m > n$ 的是（）

A、 $2^{m} < 2^{n}$ B、 ${0.2}^{m} > {0.2}^{n}$ C、 $a^{m} > a^{n} (a > 1)$ D、 $a^{m} > a^{n} (0 < a < 1)$

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2. “ $a \geq 4$ ”是“二次函数 $f (x) = x^{2} - a x + a$ 有零点”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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3.

A、 B、 C、 D、0<a<1

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4. 已知实数 $a = 2^{\frac{3}{2}}$ ， $b = {(\frac{2}{3})}^{2}$ ， $c = \log_{2} \frac{2}{3}$ ，则 $a ， b ， c$ 的大小关系是（）

A、 $c > b > a$ B、 $c > a > b$ C、 $b > a > c$ D、 $a > b > c$

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5. 已知三个函数 $y = a^{x} ， y = x^{b} ， y = {log}_{c} x$ 的图象示，则（）

A、 $a > b > c$ B、 $c > a > b$ C、 $a > c > b$ D、 $c > b > a$

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6. 某工厂产生的废气经过过滤后排放，过滤过程中废气的污染物数量 $P mg/L$ 与时间 $t h$ 间的关系为 $P = P_{0} e^{- k t}$ ，如果在前5个小时消除了20%的污染物，则污染物减少50%需要花多少时间(精确到 $1 h$ (参考数据： $\ln 2 = 0.69$ ， $\ln 10 = 2.30$ )（）

A、 $13 h$ B、 $1 5h$ C、 $18 h$ D、 $20 h$

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7. 已知函数 $f (x) = \lg [x^{2} - 2 (a - 1) x + 5]$ 在区间 $(1 ， + \infty)$ 上有最小值，则a的取值范围是（）

A、 $(2 ， \sqrt{5} + 1)$ B、 $(\sqrt{5} - 1 ， 2)$ C、 $(2 ， \sqrt{5})$ D、 $(\frac{3}{2} ， \sqrt{5} + 1)$

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8. 已知函数 $f (x) = {\begin{cases} 2^{- x} ， x \geq 1 \\ {log}_{3} (1 - x) ， x < 1 \end{cases}$ ，则 $f (f (\frac{2}{3}))$ 等于（）

A、3 B、2 C、1 D、 $\log_{3} 2$ 　

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二、多选题

9. 设 $a > 1$ ，在下列函数中，图像经过定点 $(1 ， 1)$ 的函数有（）

A、 $y = x^{a}$ B、 $y = a^{x - 1}$ C、 $y = \log_{a} x + 1$ D、 $y = a x^{3} + 1$

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10. 设函数 $f (x) = \log_{\frac{1}{2}} x$ ，下列四个命题正确的是（）

A、函数 $f (x)$ 为偶函数 B、若 $f (a) = | f (b) |$ ，其中 $a > 0$ ， $b > 0$ ， $a \neq b$ ，则 $a b = 1$ C、函数 $f (- x^{2} + 2 x)$ 在（1，2）上为单调递增函数 D、若 $0 < a < 1$ ，则 $| f (1 + a) | > | f (1 - a) |$

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11. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} \ln x ， x > 0 ， \\ - x^{2} - 4 x ， x \leq 0. \end{array}$ 关于 $x$ 的方程 $f (x) - t = 0$ 的实数解个数，下列说法正确的是（）

A、当 $t \leq 0$ 时，方程有两个实数解 B、当 $t > 4$ 时，方程无实数解 C、当 $0 < t < 4$ 时，方程有三个实数解 D、当 $t = 4$ 时，方程有两个实数解

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12. 下列说法中正确的是（）

A、函数 $f (x) = \ln (x + 1) - \frac{2}{x}$ 只有一个零点，且该零点在区间 $(0, 1)$ 上 B、若 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的奇函数， $f (1 - x) = f (1 + x)$ ，且当 $x \in (- 1, 0)$ 时， $f (x) = \log_{2} x^{2}$ ，则 $f (\frac{3}{2}) = 2$ C、已知 $f (x)$ 的定义域为 $R$ ，且 $f (x - 1)$ 为奇函数， $f (x + 1)$ 为偶函数，则 $f (x + 7)$ 一定是奇函数 D、实数 $a \in (- 1, 0)$ 是命题“ $\exists x \in R, a x^{2} + 2 a x - 1 ⩾ 0$ ”为假命题的充分不必要条件

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三、填空题

13. 已知函数 $f (x) = \log_{a} x (0 < a < 1)$ 在区间 $[2 ， 4]$ 上的最大值比最小值大2，则 $a$ 的值为 .

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14. 若 $a > 0$ ，且 $a \neq 1$ ，则函数 $f (x) = a^{x - 1} + 1$ 的图象过定点.

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15. 已知函数 $y = {(\frac{1}{2})}^{m t - 7}$ （m为常数），当 $t = 4$ 时， $y = 64$ ，若 $y ⩽ \frac{1}{2}$ ，则t的取值范围为．

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16. 若关于x的方程 $| x^{2} - 1 | - x = m$ 有4个不相等的实数根，则实数m的取值范围是．

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四、解答题

17. 计算下列各式的值：

(1)、 $\sqrt[3]{{(- 4)}^{3}} - {(\frac{1}{2})}^{0} + {0.25}^{\frac{1}{2}} \times {(\frac{1}{\sqrt{2}})}^{- 4}$ ；

(2)、 $\log_{3} \sqrt{3} + \log_{4} 8 + \lg 2 + \lg 5$ .

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18. 已知函数 $f (x) = \log_{2} (2^{x} + k) (k \in R)$ .

(1)、当 $k = - 4$ 时，解不等式 $f (x) > 2$ ；

(2)、若函数 $f (x)$ 的图象过点 $P (0 ， 1)$ ，且关于 $x$ 的方程 $f (x) = x - 2 m$ 有实根，求实数 $m$ 的取值范围.

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19. 已知二次函数 $f (x) = x^{2} - (a + 2) x + 2 a$ ， $a \in R$ .

(1)、若函数 $f (x)$ 只有一个零点，求 $a$ 的值；

(2)、解关于 $x$ 的不等式 $f (x) \leq 0$

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20. 已知指数函数 $f (x) = a^{x} (a > 0$ 且 $a \neq 1)$ 的图象经过点 $(2 ， \frac{1}{4})$ ．

(1)、求指数函数 $f (x)$ 的解析式；

(2)、求满足不等式 $f (| x |) < \frac{1}{4}$ 的实数 $R$ 的取值范围．

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21. 已知函数 $f (x) = λ - \frac{2}{3^{x} + 1} (λ \in R)$ ．

(1)、若 $λ = \frac{3}{2}$ ，求函数 $f (x)$ 的零点；

(2)、探索是否存在实数 $λ$ ，使得函数 $f (x)$ 为奇函数？若存在，求出实数 $λ$ 的值并证明；若不存在，请说明理由．

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22. 已知函数 $f (x)$ 是定义在 $[- 4 ， 4]$ 上的奇函数，当 $x \in [0 ， 4]$ 时， $f (x) = 2^{x} + a \cdot 4^{x} (a \in R)$ ．

(1)、求 $f (x)$ 在 $[- 4 ， 0)$ 上的解析式；

(2)、若 $x \in [- 2 ， - 1]$ ，不等式 $f (x) \leq \frac{m}{2^{x}}$ 恒成立，求 $m$ 的取值范围．

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高中数学人教A版（2019） 必修一 第四章 指数函数与对数函数

一、单选题

二、多选题

三、填空题

四、解答题

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