高中数学人教A版（2019）选修一第三章圆锥曲线的方程

试卷更新日期：2021-12-01 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ ，直线 $a x - b y = 0$ 与圆 $M ： x^{2} + y^{2} - m x + 1 = 0$ 相切，则实数 $m$ 的值是（）

A、 $\pm 1$ B、 $\pm 2$ C、 $\pm 4$ D、 $\pm 8$

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2. 已知F₁,F₂是椭圆C： $\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{4} = 1$ 的两个焦点，点M在C 上，则|MF₁|·|MF₂|的最大值为（）

A、13 B、12 C、9 D、6

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3. 已知F₁ ， F₂是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且∠F₁PF₂=60°，|PF₁|=3|PF₂|，则C的离心率为（）

A、 $\frac{\sqrt{7}}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{13}}{2}$ C、 $\sqrt{7}$ D、 $\sqrt{13}$

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4. 设 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ 分别为双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左、右焦点，若在双曲线右支上存在点 $P$ ，满足 $| P F_{2} | = | F_{1} F_{2} |$ ，且 $F_{2}$ 到直线 $P F_{1}$ 的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的离心率 $e$ 为（）

A、 $\frac{4}{5}$ B、 $\frac{5}{4}$ C、 $\frac{3}{5}$ D、 $\frac{5}{3}$

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5. 双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ ， $P$ 是双曲线 $C$ 上一点， $P F_{2} ⊥ x$ 轴， $\tan ∠ P F_{1} F_{2} = \frac{3}{4}$ ，则双曲线的渐近线方程为（）

A、 $x \pm 2 y = 0$ B、 $2 x \pm y = 0$ C、 $\sqrt{3} x \pm y = 0$ D、 $x \pm \sqrt{3} y = 0$

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6. 抛物线 $C_{1} ： y^{2} = 12 x$ 的焦点到双曲线 $C_{2} ： y^{2} - x^{2} = 4$ 的渐近线的距离为（）

A、1 B、2 C、 $\sqrt{2}$ D、 $\frac{3 \sqrt{2}}{2}$

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7. 已知双曲线 $\frac{y^{2}}{4} - x^{2} = 1$ 的两条渐近线分别与抛物线 $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的准线交于 $A$ ， $B$ 两点． $O$ 为坐标原点．若 $Δ O A B$ 的面积为1，则 $p$ 的值为（）

A、1 B、 $\sqrt{2}$ C、 $2 \sqrt{2}$ D、4

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8. 已知点 $F$ 是抛物线 $x^{2} = 4 y$ 的焦点，点 $P$ 为抛物线上的任意一点， $M (1 ， 2)$ 为平面上点，则 $| P M | + | P F |$ 的最小值为（）

A、3 B、2 C、4 D、 $2 \sqrt{3}$

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二、多选题

9. 椭圆C的方程为 $\frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{16} = 1$ ，焦点为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，则下列说法正确的是（）

A、椭圆C的焦距为3 B、椭圆C的长轴长为10 C、椭圆C的离心率为 $\frac{3}{5}$ D、椭圆C上存在点P，使得 $∠ F_{1} P F_{2}$ 为直角

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10. 设抛物线 $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点为 $F$ .点 $M$ 在 $y$ 轴上，若线段 $F M$ 的中点 $B$ 在抛物线上，且点 $B$ 到抛物线准线的距离为 $\frac{3 \sqrt{2}}{4}$ ，则点 $M$ 的坐标为（）

A、 $(0 ， - 1)$ B、 $(0 ， - 2)$ C、 $(0 ， 2)$ D、 $(0 ， 1)$

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11. 某颗人造地球卫星的运行轨道是以地球的中心 $F$ 为一个焦点的椭圆，如图所示，已知它的近地点 $A$ （离地面最近的点）距地面 $m$ 千米，远地点 $B$ （离地面最远的点）距地面 $n$ 千米，并且 $F 、 A 、 B$ 三点在同一直线上，地球半径约为 $R$ 千米，设该椭圈的长轴长、短轴长、焦距分别为 $2 a 、 2 b 、 2 c$ ，则

A、 $a - c = m + R$ B、 $a + c = n + R$ C、 $2 a = m + n$ D、 $b = \sqrt{(m + R) (n + R)}$

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12. 已知椭圆 $C_{1} ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 与圆 $C_{2} ： x^{2} + y^{2} = b^{2}$ ，若在椭圆 $C_{1}$ 上存在点 $P$ ，使得由点 $P$ 所作的圆 $C_{2}$ 的两条切线相互垂直，则椭圆 $C_{1}$ 的离心率可以是（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{3}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{4}{5}$

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三、填空题

13. 已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ ，离心率 $e = 2$ ，则双曲线C的渐近线方程为．

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14. 已知O为坐标原点，抛物线C： $y^{2} = 2 px (p > 0 ）$ 的焦点为F，P为C上一点，PF与x轴垂直，Q为x轴上一点，且PQ⊥OP，若|FQ|=6，则C的准线方程为

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15. 已知双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{16} - \frac{y^{2}}{4} = 1$ 的左、右焦点分别是 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，直线 $l$ 过坐标原点 $O$ 且与双曲线 $C$ 交于点 $M$ ， $N$ ．若 $| M N | = | F_{1} F_{2} |$ ，则四边形 $M F_{1} N F_{2}$ 的面积为．

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16. 已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左焦点为F，O为坐标原点，P为双曲线C右支上一点， $| P F | - | P O | = 2 a$ ，则双曲线C的离心率的取值范围是.

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四、解答题

17. 已知抛物线C： $y^{2} = 2 p x$ (p>0)的焦点F到准线的距离为2.

(1)、求C的方程.

(2)、已知O为坐标原点，点P在C上，点Q满足 $\vec{P Q} = 9 \vec{Q F}$ ，求直线OQ斜率的最大值.

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18. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，过左焦点F且与x轴垂直的弦长为 $\sqrt{2}$ .

(1)、求椭圆C的方程；

(2)、已知 $A$ ， $B$ 为椭圆 $C$ 上两点， $O$ 为坐标原点，斜率为k的直线l经过点 $P (0 ， \frac{1}{2})$ ，若 $A$ ， $B$ 关于l对称，且 $O A ⊥ O B$ ，求l的方程.

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19. 已知椭圆 $M ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ ，直线 $x - \sqrt{15} y + \sqrt{15} = 0$ 过椭圆 $M$ 的一个焦点和一个顶点.

(1)、求椭圆 $M$ 的方程；

(2)、若 $A$ 为椭圆 $M$ 的左顶点， $B$ ， $C$ 是椭圆 $M$ 上的两点，△ $A B C$ 的内切圆 $K$ 的方程为 $x^{2} + y^{2} - 4 x + m = 0$ .
（i）求实数 $m$ 的值；

（ii） $P$ 为椭圆 $M$ 的上顶点，椭圆 $M$ 上是否存在两点 $E$ ， $F$ ，使得圆 $K$ 是△ $P E F$ 的内切圆？若存在，求出直线 $E F$ 的方程；若不存在，说明理由.

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20. 已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ (a>0,b>0)的离心率为 $\sqrt{3}$ ,

(1)、求双曲线C的渐近线方程.

(2)、当a=1时,直线x-y+m=0与双曲线C交于不同的两点A,B,且线段AB的中点在圆 $x^{2} + y^{2} = 5$ 上,求m的值.

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21. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ ，其上顶点与左右焦点 $F_{1} 、 F_{2}$ 围成的是面积为 $\sqrt{3}$ 的正三角形.

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、过椭圆 $C$ 的右焦点 $F_{2}$ 的直线 $l$ ( $l$ 的斜率存在)交椭圆 $C$ 于 $M ， N$ 两点，弦 $M N$ 的垂直平分线交 $x$ 轴于点 $P$ ，问： $\frac{| M N |}{| P F_{2} |}$ 是否是定值？若是，求出定值：若不是，说明理由.

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22. 已知点 $M (1, \frac{3}{2})$ ， $N (- 1, - \frac{3}{2})$ ，直线 $P M$ ， $P N$ 的斜率乘积为 $- \frac{3}{4}$ ， $P$ 点的轨迹为曲线 $C$ .
（Ⅰ）求曲线 $C$ 的方程；

（Ⅱ）设斜率为 $k$ 的直线交 $x$ 轴于 $T$ ，交曲线 $C$ 于 $A$ ， $B$ 两点，是否存在 $k$ 使得 $| A T |^{2} + | B T |^{2}$ 为定值，若存在，求出的 $k$ 值；若不存在，请说明理由.

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高中数学人教A版（2019） 选修一 第三章 圆锥曲线的方程

一、单选题

二、多选题

三、填空题

四、解答题

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