辽宁省葫芦岛市连山区2021-2022学年九年级上学期第一次月考数学试题

试卷更新日期：2021-11-30 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（）

A、 $2 x^{2} - 7 x = 0$ B、 $5 x + 5 = 2 x - 1$ C、 $a x^{2} + b x + c = 0$ D、 $2 x^{2} + \frac{2}{x} = 1$

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2. 观察下列表格，一元二次方程x²﹣x＝1.1的一个解x所在的范围是（）

x	1.1	1.2	1.3	1.4	1.5	1.6	1.7	1.8	1.9
x²﹣x	0.11	0.24	0.39	0.56	0.75	0.96	1.19	1.44	1.71

A、1.5＜x＜1.6 B、1.6＜x＜1.7 C、1.7＜x＜1.8 D、1.8＜x＜1.9

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3. 若关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} - 2 x - k = 0$ 有两个不相等的实数根，则 $k$ 的取值范围是（）

A、 $k \leq 1$ B、 $k < 1$ C、 $k \geq - 1$ D、 $k > - 1$

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4. 九年（5）班文学小组在举行的图书共享仪式上互赠图书，每个同学都把自己的图书向本组其他成员赠送一本，全组共互赠了 $132$ 本图书，如果设全组共有 $x$ 名同学，依题意，可列出的方程是（）

A、 $x (x - 1) = 132$ B、 $x (x + 1) = 132$ C、 $\frac{1}{2} x (x - 1) = 132$ D、 $\frac{1}{2} x (x + 1) = 132$

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5. 如图，在 $Δ A B C$ 中， $∠ A B C = 90 °$ ， $A B = 8$ cm， $B C = 7$ cm，动点 $P$ ， $Q$ 分别从点 $A$ ， $B$ 同时开始移动（移动方向如图所示），点 $P$ 的速度为1cm/s，点 $Q$ 的速度为2cm/s，点 $Q$ 移动到点 $C$ 后停止，点 $P$ 也随之停止运动，若使 $Δ P B Q$ 的面积为15cm² ，则点 $P$ 运动的时间是（）

A、 $3.5$ s B、5s C、4s D、3s

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6. 已知函数y＝（m＋3）x²＋4是二次函数，则m的取值范围为（）

A、m＞－3 B、m＜－3 C、m≠－3 D、任意实数

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7. 对于抛物线y＝（x﹣1）²﹣3，下列说法错误的是（）

A、抛物线开口向上 B、当x＞1时，y＞0 C、抛物线与x轴有两个交点 D、当x＝1时，y有最小值﹣3

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8. 如图，抛物线 $L_{1} ： y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 与 $x$ 轴只有一个公共点A（1，0），与 $y$ 轴交于点B（0，2），虚线为其对称轴，若将抛物线向下平移两个单位长度得抛物线 $L_{2}$ ，则图中两个阴影部分的面积和为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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9. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数 $y = - \frac{1}{2} x^{2} + b$ 的图象经过正方形 $A B O C$ 的顶点 $A$ ， $B$ ， $C$ ．且 $A$ 点为其顶点，将该抛物线经过平移，使其顶点为 $C$ 点，则平移后抛物线的表达式为（）

A、 $y = - \frac{1}{2} {(x - 2)}^{2} + 2$ B、 $y = - \frac{1}{2} {(x + 2)}^{2} + 2$ C、 $y = - 2 {(x + 2)}^{2} - 2$ D、 $y = - 2 {(x - 2)}^{2} + 2$

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10. 已知等腰直角 $Δ A B C$ 的斜边 $A B = 4 \sqrt{2}$ ，正方形 $D E F G$ 边长为 $\sqrt{2}$ ．把 $Δ A B C$ 和正方形 $D E F G$ 如图放置，点 $B$ 与点 $E$ 重合，边 $A B$ 与 $E F$ 在同一条直线上，将 $Δ A B C$ 沿 $A B$ 方向以每秒 $\sqrt{2}$ 个单位的速度匀速平行移动，当点 $A$ 与点 $E$ 重合时停止移动，在移动过程中， $Δ A B C$ 与正方形 $D E F G$ 重叠部分的面积 $S$ 与移动时间 $t (s)$ 的函数图象大致是（）

A、 B、 C、 D、

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二、填空题

11. 若方程 $(m - 1) x^{m^{2} + 1} - x - 2 = 0$ 是一元二次方程，则m的值为；

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12. 已知 $x = 1$ 是一元二次方程 $x^{2} + 2 x - a = 0$ 的一个根，则此方程的另一根为．

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13. 已知α，β是方程x²﹣4x﹣5＝0的两个实数根，则α²﹣2αβ﹣4α的值为.

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14. 将 $x^{2} + 6 x + 1 = 0$ 改写成 ${(x + p)}^{2} = q$ 的形式为．

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15. 二次函数 $y = x^{2} - 3 x + 5$ 的对称轴为．

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16. 如图是足球守门员在O处开出一记手抛高球后足球在空中运动到落地的过程，它是一条经过A、M、C三点的抛物线．其中A点离地面1.4米，M点是足球运动过程中的最高点，离地面3.2米，离守门员的水平距离为6米，点C是球落地时的第一点．那么足球第一次落地点C距守门员的水平距离为米．

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17. 已知二次函数 $y = m x^{2} + 2 x - m + 2$ 的图象与坐标轴只有两个交点，则 $m =$ ．

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18. 如图，二次函数 $y = a x^{2} + b x + c$ 的图象与 $x$ 轴交于点 $A (- 1 ， 0)$ ，与 $y$ 轴的交点 $B$ 在 $(0 ， 2)$ 与 $(0 ， 3)$ 之间（不包括这两点），对称轴为直线 $x = 2$ ．下列结论：① $a b c > 0$ ；② $9 a + 3 b + c > 0$ ；③若点 $M (\frac{1}{2} ， y_{1})$ 、点 $N (\frac{5}{2} ， y_{2})$ 是函数图象上的两点，则 $y_{1} > y_{2}$ ；④ $- \frac{3}{5} < a < - \frac{2}{5}$ ；⑤ $a x^{2} + b x + c = 0$ 的两根是 $x = 5$ 或 $x = - 1$ ；其中正确结论有．（填序号）

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三、解答题

19. 解方程

(1)、 $3 x^{2} - 2 x - 1 = 0$

(2)、 $x (x + 2) = 2 x + 4$

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20. 已知关于x的一元二次方程x²﹣（k+1）x+2k﹣3＝0．

(1)、求证：无论k为何实数，方程总有两个不相等的实数根；

(2)、等腰三角形ABC中，AB=3，若AC、BC为方程x²﹣（k+1）x+2k﹣3＝0的两个实数根，求k的值．

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21. 某农场要建一个饲养场（长方形 $A B C D$ ），饲养场的一面靠墙（最大可用长度为 $30$ 米），另三边用木栏围成，中间也用木栏隔开，分成两个场地，并在如图所示的三处各留 $1$ 米宽的门（不用木栏），建成后木栏总长 $57$ 米，设饲场（长方形 $A B C D$ ）的宽 $C D$ 为 $a$ 米．

(1)、饲养场的长为米（用含 $a$ 的代数式表示）；

(2)、若饲养场的面积为 $297$ m² ，求该饲养场的长和宽．

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22. 某游乐场的圆形喷水池中心O有一雕塑OA，从A点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同.如图，以水平方向为x轴，点O为原点建立直角坐标系，点A在y轴上，x轴上的点C，D为水柱的落水点，水柱所在抛物线第一象限部分的函数表达式为 $y = - \frac{1}{6} {(x - 5)}^{2} + 6$ .

(1)、求雕塑高OA.

(2)、求落水点C，D之间的距离.

(3)、若需要在OD上的点E处竖立雕塑EF， $O E = 10 m$ ， $E F = 1.8 m ， E F ⊥ O D$ .问：顶部F是否会碰到水柱？请通过计算说明.

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23. 已知二次函数 $y = a x^{2} + b x + c$ 的图象与 $y$ 轴相交于点 $A$ ， $y$ 与 $x$ 的部分对应值如表：

$x$

$- 1$

$0$

$1$

$2$

$3$

$y$

$0$

■

$- 4$

$- 3$

$0$

(1)、直接写出抛物线的开口方向，对称轴，顶点坐标及点 $A$ 的坐标；

(2)、在给出的坐标系中画出该函数图象的草图；

(3)、过点 $A$ 作直线 $l / / x$ 轴，将抛物线在 $y$ 轴右侧的部分沿直线 $l$ 翻折，抛物线的其余部分保持不变，得到一个新图象请你结合新图象回答：当直线 $y = n$ 与新图象有两个公共点时， $n$ 的值或取值范围为多少？直接写出结果即可．（注：新图像不必在答题卡上画出）

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24. 今年是我国脱贫胜利年，我国在扶贫方面取得了巨大的成就，技术扶贫也使得我省某县的一个电子器件厂脱贫扭亏为盈．该电子器件厂生产一种电脑显卡，2019年该类电脑显卡的出厂价是200元/个，2020年，2021年连续两年在技术扶贫的帮助下改进技术，降低成本，2021年该电脑显卡的出厂价调整为162元/件．

(1)、这两年此类电脑显卡出厂价下降的百分率相同，求平均每年下降的百分率．

(2)、2021年某赛格电脑城以出厂价购进若干个此类电脑显卡，以200元/个销售时，平均每天可销售20个．为了减少库存，商场决定降价销售．经调查发现，单价每降低5元，每天可多售出10个，如果每天盈利1150元，单价应降低多少元？

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25. 某乡镇农贸公司新开设了一家网店，销售当地农产品，其中一种当地特产在网上试销售，其成本为每千克 $2$ 元．公司在试销售期间，调查发现，每天销售量 $y$ （kg）与销售单价 $x$ （元）满足如图所示的函数关系（其中 $2 < x \leq 10$ ）．

(1)、求 $y$ 与 $x$ 之间的函数关系式；

(2)、销售单价 $x$ 为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？

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26. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $y = - x^{2} + b x + c$ ，与 $y$ 轴交于点 $A$ 与 $x$ 轴交于点 $E$ 、 $B$ ．且点 $A (0 ， 5)$ ， $B (5 ， 0)$ ，点 $P$ 为抛物线上的一动点．

(1)、求二次函数的解析式；

(2)、如图1，过点 $A$ 作 $A C$ 平行于 $x$ 轴，交抛物线于点 $C$ ，若点 $P$ 在 $A C$ 的上方，作 $P D$ 平行于 $y$ 轴交 $A B$ 于点 $D$ ，连接 $P A$ ， $P C$ ，当 $S_{四边形 A P C D} = \frac{24}{5} S_{Δ A O E}$ 时，求点 $P$ 坐标；

(3)、设抛物线的对称轴与 $A B$ 交于点 $M$ ，点 $Q$ 在直线 $A B$ 上，当以点 $M$ 、 $E$ 、 $P$ 、 $Q$ 为顶点的四边形为平行四边形时，请直接写出点 $Q$ 的坐标．

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$x$	$- 1$	$0$	$1$	$2$	$3$
$y$	$0$	■	$- 4$	$- 3$	$0$