辽宁省鞍山市台安县2021-2022学年九年级上学期学生素质评价数学试题

试卷更新日期：2021-11-30 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 函数 $y = - \frac{1}{5} x^{2} - \frac{2}{5} x - 5 \frac{1}{5}$ 的最大值是（）

A、 $- \frac{1}{5}$ B、 $5 \frac{1}{5}$ C、 $- 5$ D、 $- 5 \frac{1}{5}$

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2. 将下列一元二次方程化成一般形式后，其中二次项系数是3，一次项系数是﹣6，常数项是1的方程是（　　）

A、3x²+1＝6x B、3x²﹣1＝6x C、3x²+6x＝1 D、3x²﹣6x＝1

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3. 用配方法解方程 $x^{2} - 6 x + 5 = 0$ ，配方后所得的方程是（）

A、 ${(x + 3)}^{2} = - 4$ B、 ${(x - 3)}^{2} = - 4$ C、 ${(x + 3)}^{2} = 4$ D、 ${(x - 3)}^{2} = 4$

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4. 将抛物线 $y = 2 x^{2} - 4 x + 1$ 向下平移2个单位，再向右平移3个单位，则平移后抛物线的函数表达式为（）

A、 $y = 2 {(x + 2)}^{2} + 1$ B、 $y = 2 {(x - 4)}^{2} + 1$ C、 $y = 2 {(x + 2)}^{2} - 3$ D、 $y = 2 {(x - 4)}^{2} - 3$

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5. 已知关于x的一元二次方程 $x^{2} - m n x + m + n = 0$ ，其中m ， n在数轴上的对应点如图所示，则这个方程的根的情况是（）

A、有两个不相等的实数根 B、有两个相等的实数根 C、没有实数根 D、无法确定

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6. 定义运算：m☆n＝ $m n^{2} - m n - 1$ ．例如：4☆2＝ $4 \times 2^{2} - 4 \times 2 - 1 = 7$ ．若关于x的方程5☆x＝6－4x，则代数式3－2x＋10x²的值为（）

A、－11 B、10 C、11 D、17

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7. 已知抛物线 $y = - x^{2} - 2 x - 3$ 过 $A (- 2 ， y_{1})$ ， $B (- 3 ， y_{2})$ ， $C (2 ， y_{3})$ 三点，则 $y_{1}$ ， $y_{2}$ ， $y_{3}$ 的大小关系是（）

A、 $y_{1} > y_{2} > y_{3}$ B、 $y_{2} > y_{1} > y_{3}$ C、 $y_{1} > y_{3} > y_{2}$ D、 $y_{3} > y_{2} > y_{1}$

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8. 如图所示，二次函数 $y = a x^{2} + b x + c$ 的图象经过点 $A (- 3 ， 0)$ ，其对称轴为直线 $x = - 1$ ，有下列结论：① $a b c < 0$ ；② $a + b + c < 0$ ；③ $2 a - b = 0$ ；④ $4 a c - b^{2} > 0$ ．其中正确结论的个数是（）

A、 $1$ B、 $2$ C、 $3$ D、 $4$

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二、填空题

9. 一条抛物线的开口向上，对称轴在 $y$ 轴的左侧，请写出一个符合条件的抛物线的解析式．（只需写一个）

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10. 若关于x的一元二次方程 $k x^{2} + 2 x - 1 = 0$ 有实数根，则实数k的取值范围是

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11. 已知 $x_{1}$ ， $x_{2}$ 是一元二次方程 $2 x^{2} - 3 x - 4 = 0$ 的两根，则 $\frac{2}{x_{1}} + \frac{2}{x_{2}} =$ ．

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12. 二次函数

y = a x^{2} + b x + c

的变量

x

与变量

y

部分对应值如下表：

$x$	…	$- 3$	$- 2$	$0$	$1$	$3$	$5$	…
$y$	…	$7$	$0$	$- 8$	$- 9$	$- 5$	$7$	…

则此二次函数图象的顶点坐标是．

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13. 如图，要设计一副宽 $20cm$ 、长 $30cm$ 的图案，其中有两横两竖的彩条，横、竖彩条的宽度比为2∶3，如果要使彩条所占面积是图案面积的 $\frac{9}{25}$ ，则每个横彩条的宽度是cm．

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14. 已知抛物线y＝ax²+bx+c（a $<$ 0）的对称轴为x＝﹣1，与x轴的一个交点为（2，0），若关于x的一元二次方程ax²+bx+c＝p（p $>$ 0）有整数根，则p的值有个．

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15. 抛物线 $y = a x^{2} - x + 1 (a \neq 0)$ 与线段 $A B$ 有两个不同的交点，已知 $A (- 1 ， 0)$ ， $B (1 ， 1)$ ，则 $a$ 的取值范围是．

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16. 如图，小明的父亲在相距2米的两棵树间拴了一根绳子，给小明做了一个简易的秋千.拴绳子的地方距地面高都是2.5米，绳子自然下垂呈抛物线状，身高1米的小明距较近的那棵树0.5米时，头部刚好接触到绳子，则绳子的最低点距地面的距离为米.

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三、解答题

17. 解方程：

(1)、 $2 x^{2} + 3 x = 3$ ．

(2)、 $x (x - 3) + x = 3$ ．

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18. 设一元二次方程x²+ax﹣2＝0．

(1)、若该方程的一个解是x＝2，求a的值；

(2)、求证：一元二次方程x²+ax﹣2＝0有两个不相等的实数解．

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19. 如图，二次函数 $y = {(x + 2)}^{2} + m$ 的图象与 $y$ 轴交于点 $C$ ，点 $B$ 在抛物线上，且与点 $C$ 关于抛物线的对称轴对称，已知一次函数 $y = k x + b$ 的图象经过该二次函数图象上的点 $A (- 1 ， 0)$ 及点 $B$ ．

(1)、求二次函数和点 $B$ 的坐标；

(2)、根据图象，写出满足 ${(x + 2)}^{2} + m \geq k x + b$ 的 $x$ 的取值范围．

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20. 已知关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} - 2 (m - 1) x + m^{2} = 0$ 有实数根．

(1)、求 $m$ 的取值范围；

(2)、设此方程的两个根分别为 $x_{1} ， x_{2}$ ，若 $x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = 8 - 3 x_{1} x_{2}$ ，求 $m$ 的值．

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21. 为提高教学质量，市教育局准备采购若干套投影设备升级各学校教学硬件，经考察，公司有 $A$ 、 $B$ 两种型号的投影设备可供选择．

(1)、该公司2020年年初每套 $A$ 型投影设备的售价为 $2.5$ 万元，经过连续两次降价，年底套售价为 $1.6$ 万元，求每套 $A$ 型投影设备平均下降率 $n$ ；

(2)、2020年年底市教育局经过招标，决定采购并安装该公司 $A$ ， $B$ 两种型号的投影设备共 $80$ 套，采购专项经费总计不超过 $112$ 万元，采购合同规定：每套 $A$ 型投影设备价为 $1.6$ 万元，每套 $B$ 型投影设备售价为 $1.5 (1 - n)$ 万元，则 $A$ 型投影设备最多可购多少套？

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22. 在平面直角坐标系中，已知抛物线 $y = a x^{2} - 4 a x + 3 (a \neq 0)$ ，经过点 $(1 ， 0)$ ．

(1)、求抛物线的函数关系式；

(2)、抛物线上有一点 $P$ 到 $x$ 轴的距离为 $1$ ，求点 $P$ 坐标．

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23. 某商场购进一种每件价格为100元的新商品，在商场试销发现：销售单价x（元/件）与每天销售量y（件）之间满足如图所示的关系：

(1)、求出y与x之间的函数关系式；

(2)、写出每天的利润W与销售单价x之间的函数关系式；若你是商场负责人，会将售价定为多少，来保证每天获得的利润最大，最大利润是多少？

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24. 已知二次函数 $y = x^{2} - 2 m x + m - 1$ （ $m$ 是常数）．

(1)、求证：不论 $m$ 为何值，该函数的图象与 $x$ 轴有 $2$ 个公共点；

(2)、如图，若该函数与 $x$ 轴的一交点是原点，求另一交点 $A$ 的坐标及顶点 $C$ 的坐标；

(3)、在（2）的条件下， $y$ 轴上是否存在一点 $P$ ，使得 $P A + P C$ 最小？若存在，求出点 $P$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

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25. 如图，在△ABC 中，∠B=90°，AB=12 cm，BC=16 cm．点 P从点 A 开始沿 AB 边向点 B 以 1 cm/s的速度移动，点 Q从点 B开始沿 BC 边向点 C以 2 cm/s的速度移动．如果 P、 Q分别从 A、B同时出发，当一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设运动的时间为 t秒．

(1)、当 t 为何值时，△PBQ的面积等于 35cm2？

(2)、当 t 为何值时，PQ的长度等8 $\sqrt{2}$ cm？

(3)、若点 P，Q的速度保持不变，点 P在到达点 B后返回点 A，点 Q在到达点 C后返回点 B，一个点停止，另一个点也随之停止．问：当 t为何值时，△PCQ的面积等于 32cm²？

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26. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $y = a x^{2} + b x - 4$ （ $a \neq 0$ ）与 $x$ 轴交于点 $A (- 1 ， 0)$ ， $B (4 ， 0)$ ，与 $y$ 轴交于点 $C$ ．

(1)、求该抛物线的解析式；

(2)、直线 $l$ 为该抛物线的对称轴，点 $D$ 与点 $C$ 关于直线 $l$ 对称，点 $P$ 为直线 $A D$ 下方抛物线上一动点，连接 $P A$ ， $P D$ ，求 $△ P A D$ 面积的最大值；

(3)、在（2）中 $△ P A D$ 面积取最大值的条件下，将抛物线 $y = a x^{2} + b x - 4$ （ $a \neq 0$ ）沿射线 $A D$ 平移 $4 \sqrt{2}$ 个单位，得到新的抛物线 $y_{1}$ ，点 $E$ 为点 $P$ 的对应点，点 $F$ 为 $y_{1}$ 的对称轴上任意一点，在 $y_{1}$ 确定一点 $G$ ，使得以点 $D$ ， $E$ ， $F$ ， $G$ 为顶点的四边形是平行四边形，写出所有符合条件的点 $G$ 的坐标，并任选其中一个点的坐标，写出求解过程．

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