2021-2022学年北师版数学九年级下册《第一章直角三角形的边角关系》单元检测B卷

试卷更新日期：2021-11-29 类型：单元试卷

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一、单选题

1. sin45°的值是（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、1

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2. 如图，数学活动小组利用测角仪和皮尺测量学校旗杆的高度，在点D处测得旗杆顶端A的仰角∠ADE为55°，测角仪CD的高度为1米，其底端C与旗杆底端B之间的距离为6米，设旗杆AB的高度为x米，则下列关系式正确的是（）

A、tan55°＝ $\frac{6}{x - 1}$ B、tan55°＝ $\frac{x - 1}{6}$ C、sin55°＝ $\frac{x - 1}{6}$ D、cos55°＝ $\frac{x - 1}{6}$

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3. 如图，矩形AOBC的顶点A、B在坐标轴上，点C的坐标是(﹣10，8)，点D在AC上，将 $△$ BCD沿BD翻折，点C恰好落在OA边上点E处，则tan∠DBE等于（）

A、 $\frac{3}{4}$ B、 $\frac{3}{5}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ D、 $\frac{1}{2}$

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4. 在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=5，AC=12，则sinB的值是（）

A、 $\frac{5}{12}$ B、 $\frac{12}{5}$ C、 $\frac{5}{13}$ D、 $\frac{12}{13}$

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5. 如图是一架人字梯，已知 $A B = A C = 2$ 米，AC与地面BC的夹角为 $α$ ，则两梯脚之间的距离BC为（）

A、 $4 \cos α$ 米 B、 $4 \sin α$ 米 C、 $4 \tan α$ 米 D、 $\frac{4}{\cos α}$ 米

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6. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $A C = 6$ ， $B C = 8$ ，将 $△ A B C$ 绕点A逆时针旋转得到 $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ ，使点 $C^{'}$ 落在AB边上，连结 $B B^{'}$ ，则 $\sin ∠ B B^{'} C^{'}$ 的值为（）

A、 $\frac{3}{5}$ B、 $\frac{4}{5}$ C、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ D、 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$

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7. 如图，某研究性学习小组为测量学校A与河对岸工厂B之间的距离，在学校附近选一点C，利用测量仪器测得 $∠ A = 60 ° ， ∠ C = 90 ° ， A C = 2 km$ .据此，可求得学校与工厂之间的距离 $A B$ 等于（）

A、 $2km$ B、 $3km$ C、 $2 \sqrt{3} km$ D、 $4km$

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8. 如图， $△ A B C$ 底边 $B C$ 上的高为 $h_{1}$ ， $△ P Q R$ 底边 $Q R$ 上的高为 $h_{2}$ ，则有（）

A、 $h_{1} = h_{2}$ B、 $h_{1} < h_{2}$ C、 $h_{1} > h_{2}$ D、以上都有可能

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9. 如图，菱形ABCD的四个顶点均在坐标轴上，对角线AC、BD交于原点O， $A E ⊥ B C$ 于E点，交BD于M点，反比例函数 $y = \frac{\sqrt{3}}{3 x} (x > 0)$ 的图象经过线段DC的中点N，若 $B D = 4$ ，则ME的长为（）

A、 $M E = \frac{5}{3}$ B、 $M E = \frac{4}{3}$ C、 $M E = 1$ D、 $M E = \frac{2}{3}$

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10. 如图，将长、宽分别为12cm，3cm的长方形纸片分别沿AB，AC折叠，点M，N恰好重合于点P.若∠α＝60°，则折叠后的图案（阴影部分）面积为（）

A、（36 $- 6 \sqrt{3}$ ）cm² B、（36 $- 12 \sqrt{3}$ ）cm² C、24cm² D、36cm²

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11. 如图是某商场营业大厅自动扶梯的示意图.自动扶梯 $A B$ 的倾斜角为 $37 °$ ，大厅两层之间的距离 $B C$ 为6米，则自动扶梯 $A B$ 的长约为（ $\sin 37 ° \approx 0.6 ， \cos 37 ° \approx 0.8 ， \tan 37 ° \approx 0.75$ ）（）.

A、7.5米 B、8米 C、9米 D、10米

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12. 如图，在建筑物AB左侧距楼底B点水平距离150米的C处有一山坡，斜坡CD的坡度（或坡比）为 $i = 1 ： 2.4$ ，坡顶D到BC的垂直距离 $D E = 50$ 米（点A，B，C，D，E在同一平面内），在点D处测得建筑物顶A点的仰角为50°，则建筑物AB的高度约为（参考数据： $\sin 50 ° \approx 0.77$ ； $\cos 50 ° \approx 0.64$ ； $\tan 50 ° \approx 1.19$ ）

A、69.2米 B、73.1米 C、80.0米 D、85.7米

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二、填空题

13. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 ° ， ∠ C B A = 30 ° ， A C = 1$ ，D是 $A B$ 上一点（点D与点A不重合）.若在 $R t △ A B C$ 的直角边上存在4个不同的点分别和点A、D成为直角三角形的三个顶点，则 $A D$ 长的取值范围是.

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14. 如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，tan∠ABC＝ $\frac{3}{2}$ ，将△ABC绕A点顺时针方向旋转角α（0°＜α＜90°）得到△AB′C′，连接BB′，CC′，则△CAC′与△BAB′的面积之比等于 .

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15. 将一副三角板如图放置在平面直角坐标系中，顶点A与原点O重合，AB在x轴正半轴上，且 $A B = 4 \sqrt{3}$ ，点E在AD上， $D E = \frac{1}{4} A D$ ，将这副三角板整体向右平移个单位，C，E两点同时落在反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 的图象上.

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16. 如图，在矩形 $A B C D$ 中， $D E ⊥ A C$ ，垂足为点 $E$ .若 $\sin ∠ A D E = \frac{4}{5}$ ， $A D = 4$ ，则 $A B$ 的长为.

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17. 一条上山直道的坡度为1：7，沿这条直道上山，则前进100米所上升的高度为米.

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18. 如图，已知正方形ABCD边长为1，E为AB边上一点，以点D为中心，将 $△ D A E$ 按逆时针方向旋转得 $△ D C F$ ，连接EF，分別交BD，CD于点M，N.若 $\frac{A E}{D N} = \frac{2}{5}$ ，则 $\sin ∠ E D M =$ .

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三、解答题

19. 计算：

(1)、 ${(\frac{1}{2})}^{- 2} + 2 \sin 60 ° - \sqrt{12} + {(π - 2021)}^{0}$ ；

(2)、 $\cos 60 ° - \sin^{2} 45 ° + \frac{1}{4} \tan^{2} 30 ° + \cos 30 ° - \sin 30 °$ ．

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20. 如图，莽山五指峰景区新建了一座垂直观光电梯.某测绘兴趣小组为测算电梯AC的高度，测得斜坡AB＝105米，坡度i＝1：2，在B处测得电梯顶端C的仰角α＝45°，求观光电梯AC的高度.
（参考数据： $\sqrt{2}$ ≈1.41， $\sqrt{3}$ ≈1.73， $\sqrt{5}$ ≈2.24.结果精确到0.1米）

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21. 如图， $A ， B$ 两点被池塘隔开，在 $A B$ 外选一点C ，连接 $A C ， B C$ ．测得 $B C = 221 m$ ， $∠ A C B = 45 °$ ， $∠ A B C = 58 °$ ．根据测得的数据，求 $A B$ 的长（结果取整数）．
参考数据： $\sin 58 ° \approx 0 ． 85$ ， $\cos 58 ° \approx 0 ． 53$ ， $\tan 58 ° \approx 1 ． 60$ ．

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22. 如图①、图②分别是某种型号跑步机的实物图与示意图.已知跑步机手柄 $A B$ 与地面 $D E$ 平行，踏板 $C D$ 长为 $1.5 m$ ， $C D$ 与地面 $D E$ 的夹角 $∠ C D E = 15 °$ ，支架 $A C$ 长为 $1 m$ ， $∠ A C D = 75 °$ ，求跑步机手柄 $A B$ 所在直线与地面 $D E$ 之间的距离.（结果精确到 $0.1 m$ .参考数据： $\sin 15 ° \approx 0.26$ ， $\cos 15 ° \approx 0.97$ ， $\tan 15 ° \approx 0.27$ ， $\sqrt{3} \approx 1.73$ ）

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23. “2021湖南红色文化旅游节﹣﹣重走青年毛泽东游学社会调查之路”启动仪式于4月29日在安化县梅城镇举行，该镇南面山坡上有一座宝塔，一群爱好数学的学生在研学之余对该宝塔的高度进行了测量.如图所示，在山坡上的A点测得塔底B的仰角∠BAC＝13°，塔顶D的仰角∠DAC＝38°，斜坡AB＝50米，求宝塔BD的高（精确到1米）.
（参考数据：sin13°≈0.22，cos13°≈0.97，tan13°≈0.23，sin38°≈0.62，cos38°≈0.79，tan38°≈0.78）

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24. 如图，小明同学在民族广场A处放风筝，风筝位于B处，风筝线AB长为 $100 m$ ，从A处看风筝的仰角为 $30 °$ ，小明的父母从C处看风筝的仰角为 $50 °$ .

(1)、风筝离地面多少m？

(2)、AC相距多少m？（结果保留小数点后一位，参考数据： $sin 30 ° = 0.5$ ， $cos 30 ° ＝ 0.8660$ ， $tan 30 ° ＝ 0.5774$ ， $sin 50 ° ＝ 0.7760$ ， $cos 50 ° ＝ 0.6428$ ， $tan 50 ° ＝ 1.1918$ ）

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25. 某种落地灯如图1所示， $A B$ 为立杆，其高为 $84 cm$ ； $B C$ 为支杆，它可绕点 $B$ 旋转，其中 $B C$ 长为 $54 cm$ ； $D E$ 为悬杆，滑动悬杆可调节 $C D$ 的长度.支杆 $B C$ 与悬杆 $D E$ 之间的夹角 $∠ B C D$ 为 $60 °$ .

(1)、如图2，当支杆 $B C$ 与地面垂直，且 $C D$ 的长为 $50 cm$ 时，求灯泡悬挂点 $D$ 距离地面的高度；

(2)、在图2所示的状态下，将支杆 $B C$ 绕点 $B$ 顺时针旋转 $20 °$ ，同时调节 $C D$ 的长（如图3），此时测得灯泡悬挂点 $D$ 到地面的距离为 $90 cm$ ，求 $C D$ 的长.（结果精确到 $1 cm$ ，参考数据： $\sin 20 ° \approx 0.34$ ， $\cos 20 ° \approx 0.94$ ， $\tan 20 ° \approx 0.36$ ， $\sin 40 ° \approx 0.64$ ， $\cos 40 ° \approx 0.77$ ， $\tan 40 ° \approx 0.84$ ）

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二、填空题

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