2021-2022学年北师版数学九年级下册《第一章直角三角形的边角关系》单元检测A卷

试卷更新日期：2021-11-29 类型：单元试卷

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一、单选题

1. 计算 $| 1 - \tan 60 ° |$ 的值为（）

A、 $1 - \sqrt{3}$ B、0 C、 $\sqrt{3} - 1$ D、 $1 - \frac{\sqrt{3}}{3}$

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2. 如图，在平面直角坐标系内有一点P（3，4），连接OP，则OP与x轴正方向所夹锐角α的正弦值是（）

A、 $\frac{3}{4}$ B、 $\frac{4}{3}$ C、 $\frac{3}{5}$ D、 $\frac{4}{5}$

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3. 如图，在△ABC中，点O是角平分线AD、BE的交点，若AB＝AC＝10，BC＝12，则tan∠OBD的值是（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、2 C、 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{6}}{4}$

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4. 如图，点A、B、C在边长为1的正方形网格格点上，下列结论错误的是（）

A、sinB $= \frac{1}{3}$ B、sinC $= \frac{2 \sqrt{5}}{5}$ C、tanB $= \frac{1}{2}$ D、sin²B+sin²C＝1

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5. 如图， $△ A B C$ 中， $B D ⊥ A B$ ， $B D$ 、 $A C$ 相交于点D， $A D = \frac{4}{7} A C$ ， $A B = 2$ ， $∠ A B C = 150 °$ ，则 $△ D B C$ 的面积是（）

A、 $\frac{3 \sqrt{3}}{14}$ B、 $\frac{9 \sqrt{3}}{14}$ C、 $\frac{3 \sqrt{3}}{7}$ D、 $\frac{6 \sqrt{3}}{7}$

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6. 规定： $\sin (- x) = - \sin x ， \cos (- x) = \cos x ， \cos (x + y) = \cos x \cos y - \sin x \sin y$ 给出以下四个结论：（1） $\sin (- 30 °) = - \frac{1}{2}$ ；（2） $\cos 2 x = \cos^{2} x - \sin^{2} x$ ；（3） $\cos (x - y) = \cos x \cos y + \sin x \sin y$ ；（4） $\cos 15 ° = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ 其中正确的结论的个数为（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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7. 如图，在边长为2的正方形ABCD中，若将AB绕点A逆时针旋转 $60 °$ ，使点B落在点 $B^{'}$ 的位置，连接B $B^{'}$ ，过点D作DE⊥ $B B^{'}$ ，交 $B B^{'}$ 的延长线于点E，则 $B^{'} E$ 的长为（）

A、 $\sqrt{3} - 1$ B、 $2 \sqrt{3} - 2$ C、 $\frac{2}{3} \sqrt{3}$ D、 $\frac{4}{3} \sqrt{3}$

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8. 如图，菱形 $A B C D$ 的对角线 $A C$ 与 $B D$ 相交于点 $O$ ，点 $E$ 在 $B D$ 上，连接 $A E$ ， $C E$ ， $∠ A B C = 60 °$ ， $∠ B C E = 15 °$ ， $E D = 2 + 2 \sqrt{3}$ ，则 $A D =$ （）

A、4 B、3 C、 $2 \sqrt{2}$ D、2

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9. 如图，某梯子长10米，斜靠在竖直的墙面上，当梯子与水平地面所成角为 $α$ 时，梯子顶端靠在墙面上的点 $A$ 处，底端落在水平地面的点 $B$ 处，现将梯子底端向墙面靠近，使梯子与地面所成角为 $β$ ，已知 $\sin α = \cos β = \frac{3}{5}$ ，则梯子顶端上升了（）

A、1米 B、1.5米 C、2米 D、2.5米

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10. 如图，小明利用一个锐角是 $30 °$ 的三角板测量操场旗杆的高度，已知他与旗杆之间的水平距离 $B C$ 为 $15m$ ， $A B$ 为 $1 .5m$ （即小明的眼睛与地面的距离），那么旗杆的高度是（）

A、 $(15 \sqrt{3} + \frac{3}{2}) m$ B、 $5 \sqrt{3} m$ C、 $15 \sqrt{3} m$ D、 $(5 \sqrt{3} + \frac{3}{2}) m$

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11. 如图，拦水坝的横断面为梯形ABCD.其中 $A D // B C$ ， $∠ A B C = 45 °$ ， $∠ D C B = 30 °$ ，斜坡AB长8m.则斜坡CD的长为（）

A、 $6 \sqrt{2} m$ B、 $8 \sqrt{2} m$ C、 $4 \sqrt{6} m$ D、 $\sqrt{3} m$

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12. 如图，为了测量某建筑物BC的高度，小颖采用了如下的方法：先从与建筑物底端B在同一水平线上的A点出发，沿斜坡AD行走130米至坡顶D处，再从D处沿水平方向继续前行若干米后至点E处，在E点测得该建筑物顶端C的仰角为60°，建筑物底端B的俯角为45°，点A、B、C、D、E在同一平面内，斜坡AD的坡度i＝1：2.4．根据小颖的测量数据，计算出建筑物BC的高度约为（参考数据： $\sqrt{3}$ ≈1.732）（）

A、136.6米 B、86.7米 C、186.7米 D、86.6米

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二、填空题

13. 计算： $| 1 - \sqrt{2} | + {(\frac{1}{2})}^{- 1} + 2 \cos 45 ° + {(- 1)}^{0} =$ .

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14. 如图，在矩形ABCD中，BD是对角线，AE⊥BD，垂足为E，连接CE，若 $\tan ∠ A D B = \frac{1}{2}$ ，则tan∠DEC的值是.

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15. 如图，直立于地面上的电线杆 $A B$ ，在阳光下落在水平地面和坡面上的影子分别是 $B C$ 、 $C D$ ，测得 $B C = 5$ 米， $C D = 4$ 米， $∠ B C D = 150 °$ ，在 $D$ 处测得电线杆顶端 $A$ 的仰角为 $45 °$ ，则电线杆 $A B$ 的高度约为米.（参考数据： $\sqrt{2} \approx 1.414$ ， $\sqrt{3} \approx 1.732$ ，结果按四舍五入保留一位小数）

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16. 如图，从楼顶 $A$ 处看楼下荷塘 $C$ 处的俯角为 $45 °$ ，看楼下荷塘 $D$ 处的俯角为 $60 °$ ，已知楼高 $A B$ 为 $30$ 米，则荷塘的宽 $C D$ 为米.（结果保留根号）

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17. 在直角 $△ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $\frac{1}{\tan A} + \frac{1}{\tan B} = \frac{5}{2}$ ， $∠ C$ 的角平分线交 $A B$ 于点 $D$ ，且 $C D = 2 \sqrt{2}$ ，斜边 $A B$ 的值是.

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18. 如图，等腰三角形ABC中，AB＝AC，BC＝6，cos∠ABC＝ $\frac{1}{3}$ ，点P在边AC上运动（可与点A，C重合），将线段BP绕点P逆时针旋转120°，得到线段DP，连接BD，则BD长的最大值为.

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三、解答题

19. 计算：（2021﹣π）⁰﹣|2﹣ $\sqrt{12}$ |+（ $\frac{1}{2}$ ）^﹣¹•tan60°.

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20. 计算： $6 \sin 45 ° - | 1 - \sqrt{2} | - \sqrt{8} \times {(π - 2021)}^{0} - {(\frac{1}{2})}^{- 2}$ .

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21. 有诗云：东山雨霁画屏开，风卷松声入耳来.一座楼阁镇四方，团结一心建家乡.1987年为庆祝湘西自治州成立三十周年，湘西州政府在花果山公园内修建了一座三层楼高的“一心阁”民族团结楼阁.芙蓉学校数学实践活动小组为测量“一心阁” $C H$ 的高度，在楼前的平地上A处，观测到楼顶 $C$ 处的仰角为30°，在平地上 $B$ 处观测到楼顶 $C$ 处的仰角为 $45 °$ ，并测得A、 $B$ 两处相距 $20 m$ ，求“一心阁” $C H$ 的高度.（结果保留小数点后一位，参考数据： $\sqrt{2} \approx 1.41$ ， $\sqrt{3} = 1.73$ ）

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22. 如图，莽山五指峰景区新建了一座垂直观光电梯.某测绘兴趣小组为测算电梯AC的高度，测得斜坡AB＝105米，坡度i＝1：2，在B处测得电梯顶端C的仰角α＝45°，求观光电梯AC的高度.
（参考数据： $\sqrt{2}$ ≈1.41， $\sqrt{3}$ ≈1.73， $\sqrt{5}$ ≈2.24.结果精确到0.1米）

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23. 在一次课外活动中，某数学兴趣小组测量一棵树 $C D$ 的高度.如图所示，测得斜坡 $B E$ 的坡度 $i = 1 ： 4$ ，坡底 $A E$ 的长为8米，在 $B$ 处测得树 $C D$ 顶部 $D$ 的仰角为 $30 °$ ，在 $E$ 处测得树 $C D$ 顶部 $D$ 的仰角为 $60 °$ ，求树高 $C D$ .（结果保留根号）

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24. 随着科学技术的不断进步，无人机被广泛应用到实际生活中，小星利用无人机来测量广场 $B ， C$ 两点之间的距离.如图所示，小星站在广场的 $B$ 处遥控无人机，无人机在 $A$ 处距离地面的飞行高度是 $41 .6m$ ，此时从无人机测得广场 $C$ 处的俯角为 $63 °$ ，他抬头仰视无人机时，仰角为 $α$ ，若小星的身高 $B E = 1.6 m ， E A = 50 m$ （点 $A ， E ， B ， C$ 在同一平面内）.
$(\sin 63 ° \approx 0.89 ， \cos 63 ° \approx 0.45 ， \tan 63 ° \approx 1.96 ， \sin 27 ° \approx 0.45 ， \cos 27 ° \approx 0.89 ， \tan 27 ° \approx 0.51)$

(1)、求仰角 $α$ 的正弦值；

(2)、求 $B ， C$ 两点之间的距离（结果精确到 $1m$ ）.

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25. 已知，在△ABC中，∠BAC＝90°

(1)、如图1，已知点D在BC边上，∠DAE＝90°，连结CE.试探究BD与CE的关系；

(2)、如图2，已知点D在BC下方，∠DAE＝90°，连结CE.若BD⊥AD，AB＝2 $\sqrt{10}$ ，AD交BC于点F，求AF的长；

(3)、如图3，已知点D在BC下方，连结AD、BD、CD.若∠CBD＝30°，AB²＝6，AD²＝4+ $\sqrt{3}$ ，求sin∠BCD的值.

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一、单选题

二、填空题

三、解答题

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