辽宁省沈阳市三校2021-2022学期高三上学期数学联考试卷

试卷更新日期：2021-11-26 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | - 1 \leq x \leq 2} ， B = {x | 0 < x \leq 3}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 ${x | - 1 \leq x < 0}$ B、 ${x | - 1 \leq x \leq 0}$ C、 ${x | 0 < x < 2}$ D、 ${x | 0 < x \leq 2}$

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2. 已知复数 $z = \sqrt{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} i$ ，i为虚数单位，则 $z^{2} =$ （）

A、 $\frac{5}{2} - 2 i$ B、 $\frac{5}{2} + 2 i$ C、 $\frac{3}{2} - 2 i$ D、 $\frac{3}{2} + 2 i$

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3. 已知 $a = {(\frac{4}{5})}^{4.1} ， b = {(\frac{4}{5})}^{- 0.9} ， c = {(\frac{5}{4})}^{0.1}$ ，则这三个数的大小关系为（）

A、 $a > c > b$ B、 $b > c > a$ C、 $c > a > b$ D、 $c > b > a$

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4. 在 $△ A B C$ 中，内角 $A ， B ， C$ 所对的边分别为 $a ， b ， c ， △ A B C$ 的面积为 $S ，$ 若 $S = \frac{1}{2} a c \sin C$ ，则 $△ A B C$ 的形状一定是（）

A、直角三角形 B、等边三角形 C、等腰三角形 D、锐角三角形

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5. 已知 $p ： \frac{1}{x} > 1$ ； $q ： x > m$ ，若 $p$ 是 $q$ 的充分条件，则实数 $m$ 的取值范围是（）

A、 $[0 ， + \infty)$ B、 $[1 ， + \infty)$ C、 $(- \infty ， 0]$ D、 $(- \infty ， 1]$

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6. 已知 $\vec{a} ， \vec{b} ， \vec{c}$ 均为单位向量，且 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ .若 $\vec{a} \cdot \vec{c} = \frac{3}{4}$ ，则 $| \vec{b} \cdot \vec{c} | =$ （）

A、 $\frac{3}{4}$ B、 $\frac{3}{5}$ C、 $\frac{4}{5}$ D、 $\frac{\sqrt{7}}{4}$

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7. 已知 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的偶函数，则以下函数中图象一定关于点 $(- 1 ， 0)$ 成中心对称的是（）

A、 $y = (x - 1) f (x - 1)$ B、 $y = (x + 1) f (x + 1)$ C、 $y = x f (x) + 1$ D、 $y = x f (x) - 1$

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8. 已知角 $θ$ 满足 $\sin θ \cos θ (\sin θ + \cos θ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ ，则 $\tan (\frac{θ}{2} - \frac{3 π}{8}) =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ D、-1

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二、多选题

9. 有一组样本数据：1，2，4，3，1，2，1，则（）

A、这组数据的众数为2 B、这组数据的极差为3 C、这组效据的平均数为2 D、这组数据的中位数为 $\frac{3}{2}$

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10. 已知函数 $f (x) = 2 \sin x \cos x + 2 \cos^{2} x - 1$ ，则下列说法正确的是（）

A、函数 $f (x)$ 的最小正周期为 $π$ B、函数 $f (x)$ 的增区间为 $[k π - \frac{π}{8} ， k π + \frac{3 π}{8}] (k \in Z)$ C、点 $(\frac{π}{4} ， 0)$ 是函数 $f (x)$ 图象的一个对称中心 D、将函数 $y = \sqrt{2} \sin 2 x$ 的图象向左平移 $\frac{π}{8}$ 个单位长度，可得到函数 $f (x)$ 的图象

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11. 已知 $a > 0 ， b > 0$ ，且 $a b = 4 ，$ 则（）

A、 $\sqrt{a} + \sqrt{b} \leq 2 \sqrt{2}$ B、 $\frac{a^{2}}{b} + \frac{b^{2}}{a} \geq 4$ C、 $\log_{2} \frac{a^{2} + b^{2}}{a + b} \geq 1$ D、 $2^{a (a - b)} > \frac{1}{8}$

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12. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} - \frac{\ln x}{e} ， x \in (0 ， 1) \\ \frac{- 4}{x} + 4 ， x \in [1 ， + \infty) \end{array}$ (其中 $e$ 是自然对数的底数)，函数 $g (x) = f (x) - k x$ 有三个零点 $x_{1} ， x_{2} ， x_{3} (x_{1} < x_{2} < x_{3})$ ，则（）

A、实数 $k$ 的取值范围为 $(0 ， 1)$ B、实数 $k$ 的取值范围为 $(0 ， e)$ C、 $x_{1} x_{2} x_{3}$ 的取值范围为 $(\frac{4}{e} ， + \infty)$ D、 $x_{1} x_{2} x_{3}$ 的取值范围为 $(e ， + \infty)$

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三、填空题

13. 观测两相关变量得如下数据：

x

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

y

1

2

3

4

5

6

7

则两变量 $x ， y$ 间的回归直线必过点.

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14. 经过长期调研，某火车站每日的客流量（单位：千人）服从正态分布 $N (20 ， σ^{2})$ ，该车站每日可供出售的有座车票数为2.2万张，且仅在有座车票已经售罄后，才开始出售无座车票.若需要出售无座车票的概率为 $\frac{1}{12}$ ，则有座车票每日剩余没能售出的车票数超过4千张的概率为.

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15. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{n + 1} = λ a_{n} + 1$ ，且 $a_{1} = 1 ， a_{2} = 3$ ，则数列 ${a_{n}}$ 前6项的和为.

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16. 已知函数 $f (x) = | x^{2} - 2 x + a | + a$ 在区间 $[0 ， 2]$ 上的最大值是1，则实数a的取值范围是.

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四、解答题

17. 代驾就是当车主不能自行开车到达目的地时，由专业驾驶人员驾驶车主的车将其送至指定地点并收取一定费用的行为.某互联网代驾平台为了分析客户的需求，以便于更好的服务广大客户，随机调查了1000名代驾司机一个月内的客户满意或不满意的评价，得到如下列联表：

	非常满意	基本满意	合计
驾龄 $5 \sim 10$ 年	300	$x$
驾龄10年以上	$y$	$z$
合计

其中 $x ： y ： z = 1 ： 4 ： 2$

(1)、求

x

、

y

、

z

的值；

(2)、分别估计客户对“驾龄

5 \sim 10

年”、“驾龄10年以上”代驾司机服务基本满意的概率；

(3)、请完成上述列联表，并判断能否有

99.5

％的把握认为不同驾龄的代驾司机对客户对该互联网代驾平台的评价有差异？

附： $K^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ， $n = a + b + c + d$

$P (K^{2} \geq k)$	0.050	0.010	0.005	0.001
k	3.841	6.635	7.879	10.828

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18. 在等差数列 ${a_{n}}$ 中，已知 $a_{1} = 1 ，$ 公差 $d > 0$ ，其前 $n$ 项和 $S_{n}$ 满足 $4 S_{n} = n (a_{n} + a_{n + 1})$ .

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设数列 ${a_{n} \cdot 2^{a_{n}}}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ，求 $T_{n}$ 的表达式.

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19. 在 $△ A B C$ 中，内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ 且 $2 a^{2} (\cos B \cos C + \cos A) = \sqrt{3} b c \sin 2 A$ .

(1)、求 $A$ ；

(2)、若 $c \sin C = 4 (a + b) (\sin A - \sin B)$ ， $△ A B C$ 的周长为 $\frac{7 + \sqrt{13}}{2}$ ，求 $△ A B C$ 的面积.

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20. 已知函数 $f (x) = a x^{3} - 2 a x^{2} + b (a \neq 0)$ 在区间 $[- 1 ， 2]$ 上的最小值为-2，最大值为1.

(1)、求实数 $a$ ， $b$ 的值；

(2)、若函数 $g (x) = f (x) - m$ 有且仅有三个零点，求实数 $m$ 的取值范围.

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21. 已知有五个大小相同的小球，其中3个红色，2个黑色.现在对五个小球随机编为1，2，3，4，5号，红色小球的编号之和为A，黑色小球的编号之和为B，记随机变量 $X = | A - B |$ .

(1)、求 $X = 3$ 时的概率；

(2)、求随机变量X的概率分布列及数学期望.

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22. 已知函数 $f (x) = a e^{x} - \ln (x + 3) + \ln a$ .

(1)、当 $a = \frac{1}{3}$ 时，求函数 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、若 $f (x) ⩾ 3$ ，求实数a的取值范围.

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x	0.5	1	1.5	2	2.5	3	3.5
y	1	2	3	4	5	6	7